第27讲图形的相似

第27讲图形的相似考试-目标锁定考纲要求备考指津1.了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．2.了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用．3.了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.相似多边形的性质是中考考查的热点，其中以相似多边形的相似比、面积比、周长比的关系考查较多．相似三角形的判定、性质及应用是考查的重点，常与方程、圆、四边形、三角函数等相结合，进行有关计算或证明．根底自主导学考点一比例线段1．比例线段的定义：在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．2．比例线段的性质：(1)根本性质：eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)ad＝bc；(2)合比性质：eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)eq\f(a＋b,b)＝eq\f(c＋d,d)；(3)等比性质：假设eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)＝…＝eq\f(m,n)(b＋d＋…＋n≠0)，那么eq\f(a＋c＋…＋m,b＋d＋…＋n)＝eq\f(a,b).3．黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．考点二相似多边形1．定义：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比，相似比为1的两个多边形全等．2．性质：(1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例；(2)相似多边形周长的比等于相似比；(3)相似多边形面积的比等于相似比的平方．考点三相似三角形1．定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．2．判定：(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(4)三边对应成比例，两三角形相似；(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．3．性质：(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；(3)相似三角形周长的比等于相似比；(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方考点四图形的位似1．定义：如果两个图形仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形叫位似图形．这个点叫做位似中心，这时的相似比称为位似比．2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．3．画位似图形的步骤(1)确定位似中心点；(2)连接图形各顶点与位似中心的线段(或延长线)；(3)按位似比进行取点；(4)顺次连接各点，所得的图形就是所求图形．1．假设eq\f(a－b,b)＝eq\f(2,3)，那么eq\f(a,b)＝()．A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3) C．eq\f(4,3) D．eq\f(5,3)2．如下图的两个四边形相似，那么∠α的度数是()．A．87°B．60° C．75° D．120°3．如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC，假设AC＝2，AD＝1，那么DB＝__________.4．如图，图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，假设△ABC与△A1B1C15．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F.(1)求证：△ACB∽△DCE；(2)求证：EF⊥AB．规律-方法探究一、相似图形的性质【例1】如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影局部)与原矩形相似，那么留下矩形的面积是()．A．2cm2B．4cm2C．8cm2D．解析：根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，得eq\f(S阴影,S原矩形)＝(eq\f(4,8))2，eq\f(S阴影,4×8)＝eq\f(1,4)，S阴影＝8(cm2)．答案：C相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，利用相似多边形的性质可求多边形的边长、角、周长或面积．二、相似三角形的性质与判定【例2】如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE.(1)写出图中两对相似三角形(不得添加字母和线)；(2)请分别说明两对三角形相似的理由．解：(1)△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE.(2)①证明△ABC∽△ADE.∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC．即∠BAC＝∠DAE.又∵∠ABC＝∠ADE.∴△ABC∽△ADE.②证明△ABD∽△ACE.∵△ABC∽△ADE，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AE)又∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE.判断两三角形相似时，首先看是否存在两对对应角相等；假设只有一对对应角相等，再看夹这个角的两边是否成比例；假设无内角相等，就考虑三组对应边是否成比例．如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E.(1)求证：△ABD∽△CED．(2)假设AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．三、位似图形【例3】如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，假设OA＝2AA′，S△ABC＝8，那么S△A′B′C′＝__________.解析：位似图形一定是相似图形，并且对应点到位似中心的距离之比等于位似比．∵OA＝2AA′，∴eq\f(OA,OA′)＝eq\f(2,3).∴△ABC与△A′B′C′的位似比是2∶3.∴eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)＝(eq\f(2,3))2.∵S△ABC＝8，∴S△A′B′C′＝18.答案：18位似图形一定是相似图形，利用相似多边形的性质解决所要求的问题．四、相似三角形的应用【例4】问题背景：在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图(1)，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组：如图(2)，测得学校旗杆的影长为900cm.丙组：如图(3)，测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为200cm，影长为156cm.任务要求：(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；(2)如图(3)，设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．(友情提示：如图(3)，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562＋2082＝2602)解：(1)如题图，△ABC∽△DEF，∴eq\f(AB,DE)＝eq\f(AC,DF)，∵AB＝80cm，AC＝60cm，DF＝900cm，∴eq\f(80,DE)＝eq\f(60,900).∴DE＝1200(cm)，即DE＝12m.故学校旗杆的高度是12m.(2)如题图(3)，连接OM，设⊙O的半径为rcm.与(1)类似得eq\f(AB,GN)＝eq\f(AC,GH)，即eq\f(80,GN)＝eq\f(60,156).∴GN＝208.在Rt△NGH中，根据勾股定理得NH2＝1562＋2082＝2602，∴NH＝260.∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH.那么∠OMN＝∠HGN＝90°，又∠ONM＝∠HNG.∴△OMN∽△HGN.∴eq\f(OM,HG)＝eq\f(ON,HN).又∵ON＝OI＋IN＝OI＋(GN－GI)＝r＋8，∴eq\f(r,156)＝eq\f(r＋8,260)，解得r＝12.∴景灯灯罩的半径是12cm.应用相似三角形解决实际问题，首先要建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，然后利用相似三角形对应边成比例或相似三角形的性质建立等量关系求解．知能优化训练1．(2021贵州铜仁)如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2∶1，那么以下结论正确的选项是()．A．∠E＝2∠KB．BC＝2HIC．六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF＝2S六边形GHIJKL2．(2021重庆)，△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，那么△ABC与△DEF的面积之比为__________．3．(2021浙江湖州)如图，梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1∶9，假设AD＝1，那么BC的长是__________．4．(2021山东菏泽)如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝2，ED＝4，(1)求证：△ABE∽△ADB；(2)求AB的长；(3)延长DB到F，使得BF＝BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．1．如图，小正方形的边长均为1，那么以下图中的三角形(阴影局部)与△ABC相似的是()．2．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，那么以下结论：①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；③eq\f(AD,AE)＝eq\f(AB,AC)，其中正确的有()．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个3．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，假设AD∶AB＝3∶4，AE＝6，那么AC等于()．A．3 B．4 C．6 D．84．一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如下图．剪得的纸条中有一张是正方形，那么这张正方形纸条是()．A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张5．△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2∶3，那么△ABC与△DEF的周长比为__________．6．如图，∠1＝∠2，添加一个条件：__________，使得△ADE∽△ACB．7．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，假设AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，那么GF的长为__________．8．张明同学想利用树影测量校园内的树高．他在某一时刻测得小树高为1.5m时，其影长为1.2m．当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一局部影子在墙上．经测量，地面局部影长为6.4m，墙上影长为1.4m，那么这棵大树高约为__________m.9．如图，直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AD∥BC，点E在BC上，点F在AC上，∠DFC＝∠AEB．(1)求证：△ADF∽△CAE；(2)当AD＝8，DC＝6，点E，F分别是BC，AC的中点时，求直角梯形ABCD的面积．参考答案根底自主导学自主测试1．D2.A3．34.(9,0)5．证明：(1)∵eq\f(AC,DC)＝eq\f(3,2)，eq\f(BC,CE)＝eq\f(6,4)＝eq\f(3,2)，∴eq\f(AC,DC)＝eq\f(BC,CE).又∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ACB∽△DCE.(2)∵△ACB∽△DCE，∴∠ABC＝∠DEC.又∠ABC＋∠A＝90°，∴∠DEC＋∠A＝90°.∴∠EFA＝90°，∴EF⊥AB.规律方法探究变式训练解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°，∵CE是外角平分线，∴∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE.又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED.(2)作BM⊥AC于点M(如图)，AC＝AB＝6，∴AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝3eq\r(3).∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4，MD＝1.在Rt△BDM中，BD＝eq\r(BM2＋MD2)＝2eq\r(7).由(1)△ABD∽△CED得，eq\f(BD,ED)＝eq\f(AD,CD)，即eq\f(2\r(7),ED)＝2，∴ED＝eq\r(7)，∴BE＝BD＋ED＝3eq\r(7).知能优化训练中考回忆1．B2.9∶13.34．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠C＝∠D.∴∠ABC＝∠D.又∵∠BAE＝∠EAB.∴△ABE∽△ADB.(2)∵△ABE∽△ADB，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(AE,AB)，∴AB2＝AD·AE＝(AE＋ED)·AE＝(2＋4)×2＝12.∴AB＝2eq\r(3).(3)直线FA与⊙O相切．理由如下：连接OA，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝eq\r(12＋(2＋4)2)＝4eq\r(3)，BF＝BO＝eq\f(1,2)BD＝2eq\r(3)，∵AB＝2eq\r(3)，∴BF＝BO＝AB，∴∠OAF＝90°，∴直线FA与⊙O相切．模拟预测1．A2.A3.D4.C5．2∶36．∠D＝∠C(答案不唯一)7．38．9.49．解：(1)证明：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAF＝∠ACE.∵∠DF