2025版高考数学一轮复习课后限时集训48双曲线文含解析北师大版

PAGE1-课后限时集训(四十八)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1.(2024·浙江高考)双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的焦点坐标是()A．(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0) B．(－2,0)，(2,0)C．(0，－eq\r(2))，(0，eq\r(2)) D．(0，－2)，(0,2)B[∵双曲线方程为eq\f(x2,3)－y2＝1，∴a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在x轴上，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(3＋1)＝2，即得该双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．故选B.]2．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的两条渐近线相互垂直，那么它的离心率为()A．2 B.eq\r(3)C．eq\r(2) D.eq\f(3,2)C[由渐近线相互垂直可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)))·eq\f(b,a)＝－1，即a2＝b2，即c2＝2a2，即c＝eq\r(2)a，所以e＝eq\r(2).]3．(2024·青岛二模)直线l：x－2y－5＝0过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为()A．eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1 B．eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1C．eq\f(x2,4)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,4)＝1A[依据题意，令y＝0，则x＝5，即c＝5.又eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，所以a2＝20，b2＝5，所以双曲线的方程为eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1.]4．(2024·湖南师大附中模拟)已知A是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左顶点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，G是△PF1F2的重心，若存在实数λ使得eq\o(GA,\s\up6(→))＝λeq\o(PF1,\s\up6(→))，则双曲线的离心率为()A．3 B．2C．4 D．与λ的取值有关A[由题意，可知|PG|＝2|GO|，GA∥PF1，∴2|OA|＝|AF1|，∴2a＝c－a，∴c＝3a，∴e＝3.]5．已知F是双曲线C：x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为()A．eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D.eq\f(3,2)D[由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－eq\f(y2,3)＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝eq\f(1,2)|PF|·|AP|＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2).]二、填空题6．已知(2,0)是双曲线x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________.eq\r(3)[因为(2,0)是双曲线x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的一个焦点，所以1＋b2＝4，则b＝eq\r(3).]7．(2024·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为eq\f(\r(3),2)c，则其离心率的值为________．2[双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，焦点F(c,0)到渐近线的距离d＝eq\f(|bc＋0|,\r(b2＋a2))＝b.∴b＝eq\f(\r(3),2)c，∴a＝eq\r(c2－b2)＝eq\f(1,2)c，∴e＝eq\f(c,a)＝2.]8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m2＋4)＝1的离心率大于eq\r(6)，则m的取值范围为________．(0,1)∪(4，＋∞)[由双曲线方程可得m>0，所以e＝eq\f(\r(m＋m2＋4),\r(m))>eq\r(6)，解得m>4或m<1.由m>0，故可得m的取值范围为(0,1)∪(4，＋∞)．]三、解答题9．已知椭圆D：eq\f(x2,50)＋eq\f(y2,25)＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9.双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．[解]椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.∴eq\f(|5a|,\r(b2＋a2))＝3，得a＝3，b＝4，∴双曲线G的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.10．(2024·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq\r(2)，且过点P(4，－eq\r(10))．(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0.[解](1)∵e＝eq\r(2)，∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，－eq\r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线的方程为x2－y2＝6，即eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1.(2)证明：法一：由(1)可知，a＝b＝eq\r(6)，∴c＝2eq\r(3)，∴F1(－2eq\r(3)，0)，F2(2eq\r(3)，0)，∴kMF1＝eq\f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq\f(m,3－2\r(3))，kMF1·kMF2＝eq\f(m2,9－12)＝－eq\f(m2,3).∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0.法二：由(1)可知，a＝b＝eq\r(6)，∴c＝2eq\r(3)，∴F1(－2eq\r(3)，0)，F2(2eq\r(3)，0)，eq\o(MF1,\s\up6(→))＝(－2eq\r(3)－3，－m)，eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)－3，－m)，∴eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(3＋2eq\r(3))×(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2，∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0.B组实力提升1．(2024·湖南四校联考)已知A，B，P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB＝3，则该双曲线的离心率为()A．eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D．3C[由双曲线的对称性知，点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，P(x2，y2)，则eq\f(x\o\al(2,1),a2)－eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)－eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，又kPA＝eq\f(y2－y1,x2－x1)，kPB＝eq\f(y2＋y1,x2＋x1)，所以kPA·kPB＝eq\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1))＝eq\f(b2,a2)＝3，所以离心率e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2，故选C．]2．(2024·天津高考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B．eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1 D．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1C[如图，不妨设A在B的上方，则A(c，eq\f(b2,a))，B(c，－eq\f(b2,a))．其中的一条渐近线为bx－ay＝0，则d1＋d2＝eq\f(bc－b2＋bc＋b2,\r(a2＋b2))＝eq\f(2bc,c)＝2b＝6，∴b＝3.又由e＝eq\f(c,a)＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝eq\r(3).∴双曲线的方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1.故选C．]3．(2024·北京高考)若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4)＝1(a>0)的离心率为eq\f(\r(5),2)，则a＝________.4[由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))知eq\f(a2＋4,a2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2＝eq\f(5,4)，∴a2＝16.∵a>0，∴a＝4.]4．已知双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为eq\f(2\r(5),5).(1)求此双曲线的方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，求△AOB的面积．[解](1)依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＝2，,\f(|2×0＋a|,\r(5))＝\f(2\r(5),5)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))故双曲线的方程为eq\f(y2,4)－x2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设A(m,2m)，B(－n,2n)，其中m＞0，n＞0，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))得点P的坐标为eq\