2024年高考数学一轮复习专题2.16定积分与微积分练习含解析

PAGEPAGE1定积分与微积分【套路秘籍】【套路秘籍】千里之行始于足下一．定积分的概念（1）定积分的概念一般地，假如函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即.这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.（2）定积分的几何意义从几何上看，假如在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线，和曲线所围成的曲边梯形的面积.这就是定积分的几何意义.（3）定积分的性质由定积分的定义,可以得到定积分的如下性质：；②；③（其中）.二．微积分基本定理一般地，假如是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.为了便利，我们经常把记成，即.【修炼套路】【修炼套路】为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一利用定积分的几何意义求曲线的面积【例1】（1）定积分011-（2）已知fx是偶函数，且05f(3)xdx=。(4)cosxdx=。【答案】（1）π4【解析】（1）由y=1-x2得x2+（2）∵f（x）是偶函数∴-55fxdx＝205fx故答案为：12．(3)如图①，xdx＝－A1＋A1＝0.(4)如图②，cosxdx＝A1－A2＋A3＝0.【套路总结】【套路总结】利用定积分的几何意义求解时，常见的平面图形的形态是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形.2.对于简洁图形的面积求解，我们可以干脆运用定积分的几何意义，此时，（1）确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标.（2）确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差.这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了.3.设函数在闭区间上连续，则若是偶函数，则；若是奇函数，则.【举一反三】1．定积分-aaa【答案】1【解析】由题意可知定积分表示半径为a的半个圆的面积，所以S=12．已知函数f(x)＝求f(x)在区间[－1,3π]上的定积分．【答案】【解析】由定积分的几何意义知：∵f(x)＝x5是奇函数，故x5dx＝0；＝0(如图(1)所示)；xdx＝(1＋π)(π－1)＝(如图(2)所示)．∴f(x)dx＝x5dx＋xdx＋＝xdx＝．利用定积分的几何意义求，其中.【答案】见解析【解析】.∵为奇函数，∴.利用定积分的几何意义，如图，∴，，故.考向二微积分定理的运用【例2】计算下列定积分：（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.【举一反三】1．-10【答案】-【解析】-12．-11【答案】π【解析】由定积分的几何意义知-111∴-3．-11【答案】2【解析】原式化为-11x2dx+-111-x2dx，-11x24．13【答案】10【解析】13x-1考点三积分在几何中的运用【例3】求由曲线与，，所围成的平面图形的面积（画出图形）.【答案】1【解析】画出曲线与，则下图中的阴影部分即为所要求的平面图形.解方程组，可得.故平面图形的面积为=1.所以所求图形的面积为1【套路总结】【套路总结】定积分可正、可负或为零，而平面图形的面积总是非负的.（2）若图形比较困难，可以求出曲线的交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上平面图形的面积再求和，留意在每个区间上被积函数均是由上减下.【举一反三】1．由直线x=-π6，x=π6，y=0【答案】1【解析】题目所求封闭图形的面积为定积分-π2．如图，求曲线所围成图形的面积.【解析】由解得.由解得.所以所求阴影部分的面积为.3．曲线y＝x与直线y＝2x－1及x轴所围成的封闭图形的面积为。【答案】5【解析】由解析式作出如图所示简图：由图像可知封闭图形面积为曲线与x轴围成曲边三角形OCB的面积与△ABC的面积之差.联立两函数解析式，求出交点C的坐标为：(1,1)，则点B的坐标为：(1,0)，求出直线与x轴交点A坐标为：(0.5,0)，则曲边三角形的面积为：SOCB=01x所以两线与x轴围成图形的面积为：512考向四定积分在物理中的应用【例4】设有一长25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹簧伸长到30cm，又已知弹簧伸长所须要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功.【答案】见解析【解析】设x表示弹簧伸长的量(单位：m)，表示加在弹簧上的力(单位：N).由题意，得，且当时，，即，解得，则.故将弹簧由25cm伸长到40cm时所做的功为.【套路总结】【套路总结】1．已知变速直线运动的方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分.2．利用定积分求变力做功的问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即可.【举一反三】1．已知甲、乙两车由同一起点同时动身，并沿同一路途(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为和(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1，下列推断中肯定正确的是A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面【答案】A【解析】由图可知，曲线，直线和t轴所围成图形的面积大于曲线，直线和t轴所围成图形的面积，则在t0时刻，甲车在乙车前面，故C错误；同理，在t1时刻，甲车在乙车前面，故A正确，D错误；t1时刻后，甲车会领先乙车一小段时间，但从两曲线的趋势可预料总会有某时刻乙车会超过甲车，故B错误.【运用套路】【运用套路】纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1．01【答案】π【解析】函数y=1-x2结合定积分的几何意义和定积分的运算法则可得：012．若函数fx=Asin【答案】．2【解析】由图可知，A=1，T2=π3-(-π6)=∴图中的阴影部分面积为S=-3．从图示中的长方形区域内任取一点M，则点M取自图中阴影部分的概率为。【答案】1【解析】图中阴影部分的面积为01因此，点M取自图中阴影部分的概率为134．若，，，则的大小关系为。【答案】【解析】，，，所以.5.已知函数为偶函数，且，则________.【答案】16【解析】因为函数为偶函数，所以.6.若，则实数等于________.【答案】-1【解析】取，则，所以，解得.7．物体以的速度在始终线上运动，物体在直线上，且在物体的正前方5m处，同时以的速度与同向运动，动身后物体追上物体所用时间为【答案】5s【解析】物体A经过ts行驶的路程为，物体B经过ts行驶的路程为，则有，解得t=5.10.已知函数，则.【答案】【解析】，其中，由定积分的几何意义可知，其表示半径为的圆的面积的，即，故.故填.11．如图，在边长为1的正方形内，阴影部分是由两曲线围成，在正方形内随机取一点，且此点取自阴影部分的概率是，则函数的值域为________.【答案】【解析】设阴影部分的面积为S，则，又正方形的面积为1，所以.故，则的值域为.12．已知函数f(x)=cosx,x∈[-π【答案】1+【解析】由已知得-π13．定积分e1【答案】1【解析】01其中011-x2dx的几何意义为函数y=即圆x2+y而01xdx=12x14．已知定义在R上的函数fx与gx，若函数fx为偶函数，函数gx为奇函数，且【答案】12.【解析】∵函数fx为偶函数，函数g∴函数fx的图象关于y轴对称，函数g∴-aafx∴-aa15．已知2≤12(k+1)dx【答案】1,3【解析】依题意得12k+1dx=k+1x|12=k+116．-44【答案】8π【解析】由于y=16-x2表示圆心在原点，半径为4的圆的上半部分，故-4416-17．计算由直线y=x-4,曲线y=2x以及x轴所围图形的面积S为【答案】40【解析】做出草图如下，解方程组y=2因此，由y=2018．求-22(【答案】e【解析】∵y=x2∴-22(19．直线x=-1，x=1，y=0与偶函数y=