2025届高考数学一轮复习第二篇函数导数及其应用第5节对数函数课时作业理含解析新人教A版

PAGEPAGE4第5节对数函数课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．计算2log63＋log64的结果是()(A)log62(B)2(C)log63(D)3B解析：2log63＋log64＝log69＋log64＝log636＝2.故选B.2．若函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a(A)eq\f(\r(2),4)(B)eq\f(\r(2),2)(C)eq\f(1,4)(D)eq\f(1,2)A解析：∵0＜a＜1，∴函数f(x)是定义域上的减函数，所以f(x)max＝logaa＝1，f(x)min＝loga2a，∴1＝3loga2a⇒a＝(2a)3⇒8a2＝1⇒a＝eq\f(\r(2),4)3．(2024泸州中学)若实数a满意logaeq\f(2,3)＞1＞logeq\f(3,4)a，则a的取值范围是()(A)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) (B)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,4)))(C)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) (D)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))C解析：依据对数函数的性质，由logaeq\f(2,3)＞1，可得eq\f(2,3)＜a＜1，由logeq\f(3,4)a＜1，得a＞eq\f(3,4)，综上eq\f(3,4)＜a＜1，∴a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))，故选C.4．(2024宜宾模拟)已知loga2＜1(a＞0且a≠1)，则a的取值范围是()(A)(2，＋∞) (B)(0,1)(C)0，eq\f(1,2)∪(2，＋∞) (D)(0,1)∪(2，＋∞)D解析：因为loga2＜logaa，(1)0＜a＜1时，函数是减函数，a＜2，即0＜a＜1.(2)a＞1时，函数是增函数，a＞2.综上，0＜a＜1或a＞2，故选D.5．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝lgx，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围是()(A)[0，＋∞) (B)(0，＋∞)(C)[1，＋∞) (D)(1，＋∞)C解析：因为f(a)＝a2≥0，所以g(b)＝lgb≥0，所以b≥1.故选C.6．(2024泰安一中)设a＝log0.10.2，b＝log1.10.2，c＝1.20.2，d＝1.10.2(A)a＞b＞d＞c (B)c＞a＞d＞b(C)d＞c＞a＞b (D)c＞d＞a＞bD解析：0＜a＜1，b＜0，c＞1，d＞1，由y＝x0.2在(0，＋∞)上为增函数，得c＞d，故选D.7．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ex－1x＜2，,log3x2－1x≥2，))，则不等式f(x)＞2的解集为()(A)(－2,4) (B)(－4，－2)∪(－1,2)(C)(1,2)∪(eq\r(10)，＋∞) (D)(eq\r(10)，＋∞)C解析：令2ex－1＞2(x＜2)，解得1＜x＜2；令log3(x2－1)＞2(x≥2)，解得x＞eq\r(10)，故选C.8．设函数f(x)＝log3(9x)·log3(3x)，eq\f(1,9)≤x≤9，则f(x)的最小值为__________．解析：因为eq\f(1,9)≤x≤9，所以－2≤log3x≤2，则f(x)＝(log3x＋2)·(log3x＋1)＝logeq\o\al(2,3)x＋3log3x＋2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3x＋\f(3,2)))2－eq\f(1,4)，则当log3x＝－eq\f(3,2)，即x＝eq\f(\r(3),9)时f(x)min＝－eq\f(1,4).答案：－eq\f(1,4)9．已知5lgx＝25，则x＝______；已知函数f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.解析：因为5lgx＝25＝52，所以lgx＝2，即x＝100；因为f(x)＝lgx，且f(ab)＝1，所以f(a2)＋f(b2)＝lga2＋lgb2＝lg(ab)2＝2lg(ab)＝2f(ab答案：100；210．已知实数a＞1，若函数y＝aeq\f(x,e)的图象与函数y＝elogax的图象有两个不同的交点，则a的取值范围为________．解析：令b＝aeq\f(1,e)＞1，则y＝aeq\f(x,e)＝bx，y＝elogax＝logaeq\f(1,e)x＝logbx，即这两个函数互为反函数且为增函数，故其图像有两个交点等价于y＝logbx与y＝x的图像有两个交点，即函数f(x)＝logbx－x有两个零点，f′(x)＝eq\f(1,x)(logbe－x)⇒f(x)max＝f(logbe)⇒f(logbe)＞0⇒1＜a＜e.答案：(1，e)11．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logeq\f(1,2)x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2.解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝logeq\f(1,2)(－x)．因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以函数f(x)的解析式为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log\f(1,2)x，x>0，,0，x＝0，,log\f(1,2)－x，x<0.))(2)因为f(4)＝logeq\f(1,2)4＝－2，f(x)是偶函数，所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以|x2－1|<4，解得－eq\r(5)<x<eq\r(5)，即不等式的解集为(－eq\r(5)，eq\r(5))．实力提升练(时间：15分钟)12．已知函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|log2x|，若a＝f(－3)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系是()(A)a＞b＞c (B)b＞a＞c(C)c＞a＞b (D)a＞c＞bB解析：由函数y＝f(x＋2)的图像关于直线x＝－2对称，得函数y＝f(x)的图像关于y轴对称，即y＝f(x)是偶函数．当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝|log2x|，且当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝log2x单调递增，又a＝f(－3)＝f(3)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝f(4)，所以b＞a＞c，故选B.13．已知点(n，an)(n∈N*)在y＝ex的图象上，若满意Tn＝lna1＋lna2＋…＋lnan＞k时n的最小值为5，则k的取值范围是()(A)k＜15 (B)k＜10(C)10≤k＜15 (D)10＜k＜15C解析：由题意得，an＝en，∴Tn＝lna1＋lna2＋…＋lnan＝1＋2＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，又Tn＞k时n最小值为5，∴T4≤k＜T5,10≤k＜15，故选C.14．已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满意m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则n＝________.解析：由题意可得0＜m＜1＜n，－log2m＝log2n∴log2mn＝0，∴mn＝1.函数f(x)＝|log2x|在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．依据f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，可得|log2m2|＝2或log2n＝2.当|log2m2|＝2时，log2m2＝－2，∴m2＝eq\f(1,4)，∴m＝eq\f(1,2)，∴n＝eq\f(1,m)＝2满意条件．当log2n＝2时，n＝4，m＝eq\f(1,4)，此时f(x)在区间[m2，n]上的最大值为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,16)))＝4，不满意条件．综上可得，n＝2.答案：215．已知函数f(x)＝loga(2－ax)，是否存在实数a，使函数f(x)在[0,1]上是关于x的减函数，若存在，求a的取值范围．解：∵a＞0，且a≠1，∴u＝2－ax在[0,1]上是关于x的减函数．又f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是关于x的减函数，∴函数y＝logau是关于u的增函数，且对x∈[0,1]时，u＝2－ax恒为正数．其充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞1,2－a＞0))，即1＜a＜2.∴a的取值范围是(1,2)．16．(2024太原期中)已知函数f(x)＝－x＋log2eq\f(1－x,1＋x).(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2014)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2014)))的值；(2)当x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)，a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)f(x)的定义域是(－1,1)，f(x)＝－x＋log2eq\f(1－x,1＋x)，f(－x)＝x＋log2eq\f(1＋x,1－x)，＝－(－x)＋log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))－1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋log2\f(1－x,1＋x)))＝－f(x)．即f(x)＋f(－x)＝0.所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2014)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a