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连续函数性质在开区间的推广分析综述目录TOC\o"1-3"\h\u21287连续函数性质在开区间的推广分析综述 [8]若函数在开区间上是连续的，并且成立与，其中，都为常数，则函数在上有界。证：定义，则在闭区间上连续。根据闭区间上连续函数的有界性定理，，有。显然，，有。即函数在上有界。最值定理的推广定理3.2若函数在开区间上是连续的，且满足，，则（1）若存在，使得，则可在内取得最大值。（2）若存在，使得，则可在内取得最小值。证：（1）设则在闭区间上连续，因此在上可取得最大值。因为存在，有，所以或不可能是最大值点。假设最大值为，则。若，则也是在上的最大值，所以是在开区间上的最大值点。若，则根据题意，可得，是在开区间上的最大值点。综上所述，在内可以取到最大值。同理，可证在内可以取到最小值。零点定理的推广定理3.3若函数在开区间上连续，并且成立，，，异号（即），那么，在开区间内至少存在一点，使得成立。证：设则在闭区间上是连续的，故在成立介值性，那么，在内至少会存在一点，使得。当时，，即定理得证。介值性定理的推广定理3.4如果函数在开区间上是连续函数，并且成立，，，若其中的任何实数。那么，在内至少会存在一点，使。证：设，则是上的连续函数，故在上成立介值性，若是开区间的任意实数，那么，在内至少会存在一点，使得。当时，，即定理得证。一致连续性定理的推广定理3.5如果在连续，并且，则在一致连续。证:已知与，即因此，有若，则成立。若，有。若，因为在上一致连续。所以，有。若，因为在连续，所以，有。因此当时，成立。若，类似（4），时，有。若，，则当，，

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