2025版高中数学第一章常用逻辑用语1.1.1命题学案含解析新人教B版选修2-1

PAGEPAGE101.1.1命题学习目标1.了解命题的概念.2.会推断命题的真假．学问点命题的概念1．命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题．2．命题定义中的两个要点：“可以推断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．3．分类命题eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(真命题：推断为真的语句，,假命题：推断为假的语句.))1．一般陈述句都是命题．(×)2．命题也可以是这样的表达式：“x>5”．(×)3．我们学过的“定义”、“定理”都是命题．(√)4．含有变量的语句也可能是命题．(√)5．假如一个陈述句推断为假，那么它就不是命题．(×)题型一命题的推断例1下列语句为命题的有________．(填序号)①一个数不是正数就是负数；②梯形是不是平面图形呢？③220是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.答案①④解析①是陈述句，且能推断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句，且能推断真假；⑤不是陈述句．反思感悟推断一个语句是不是命题的三个关键点(1)陈述句才可能是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．(2)语句表述的结构可以推断真假，含义模糊不清，无法推断真假的语句不是命题．(3)对于含有变量的语句，要留意依据变量的取值范围，看能否推断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．跟踪训练1推断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)eq\f(π,3)是有理数；(2)3x2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；(5)一个数的算术平方根肯定是负数；(6)若a与b是无理数，则ab是无理数．考点命题的定义题点命题的定义解(1)“eq\f(π,3)是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(2)因为无法推断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．(4)“若x∈R，则x2＋4x＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题．(5)“一个数的算术平方根肯定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(6)“若a与b是无理数，则ab是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．题型二命题真假的推断例2给定下列命题：①若a>b，则2a>2b；②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；③直线x＝eq\f(π,2)是函数y＝sinx的一条对称轴；④在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>0，则△ABC是钝角三角形．其中为真命题的是________．(填序号)答案①③④解析结合函数f(x)＝2x的单调性，知①为真命题；函数y＝sinx的对称轴方程为x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，故③为真命题；因为eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|cos(π－B)＝－|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cosB>0，所以cosB<0，从而得B为钝角，所以④为真命题．引申探究本例中命题④改为：若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))<0，则△ABC是锐角三角形，该命题还是真命题吗？解不是真命题，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))<0只能说明∠B是锐角，其他两角的状况不确定．只有三个角都是锐角时，才可以判定三角形为锐角三角形．反思感悟一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲推断一个命题为真命题，需进行论证，而要推断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．跟踪训练2下列命题中为真命题的是()A．若x＜e，则lnx＜1B．若向量a，b，c满意a∥b，b∥c，则a∥cC．已知数列{an}满意an＋1－2an＝0，则该数列为等比数列D．在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若满意acosB＝bcosA，则该三角形为等腰三角形答案D解析对于A，需满意x＞0；对于B，若b＝0，其结论不肯定成立；对于C，若an＝0，则结论不成立．命题改写要关注大前提典例“已知c>0，当a>b时，ac>bc”．把该命题改写成“若p，则q”的形式．解该命题的“若p，则q”的形式为已知c>0，若a>b，则ac>bc.[素养评析](1)将含有大前提的命题改写成“若p，则q”的形式时，要留意其书写格式为“大前提，若p，则q”，对含有大前提的命题，在写其他三种命题时，应保持大前提不变．(2)驾驭命题的基本形式和规则是进行逻辑推理的前提和基础，有利于培育学生有条理，合乎逻辑的思维素养.1．下列语句为命题的是()A．2x＋5≥0 B．求证对顶角相等C．0不是偶数 D．今日心情真好啊考点命题的定义题点命题的定义答案C解析结合命题的定义知C为命题．2．下列命题是真命题的为()A．若a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列C．若|x|<y，则x2<y2D．若a＝b，则eq\r(a)＝eq\r(b)答案C解析选项A，只有当a>b且ab>0时，才能得到eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；选项B，令a＝b＝c＝0，此时明显不是等比数列；选项D，若a＝b<0，则结论明显不成立，故选C.3．下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则ac2>bc2；④矩形的对角线相互垂直．其中假命题的个数是________．答案4解析①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不肯定全等；②当x，y中一个为零，另一个不为零时，|x|＋|y|≠0；③当c＝0时不成立；④菱形的对角线相互垂直，矩形的对角线不肯定垂直．4．若命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a的取值范围为__________．答案(－∞，0)∪(0,1)解析据题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,4－4a>0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,a<1，))故a的取值范围为(－∞，0)∪(0,1)．5．若命题“函数y＝log2(x2－mx＋4)的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为________________．答案(－∞，－4]∪[4，＋∞)解析由题意可知，满意条件时，需方程x2－mx＋4＝0的判别式Δ≥0，即(－m)2－4×4≥0，解得m≤－4或m≥4.1．依据命题的定义，可以推断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题须要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin45°＝1C．x2＋2x－1>0D．指数函数的图象真美丽！答案B2．下列说法正确的是()A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“标准大气压下，100℃时水沸腾”不是命题C．命题“对角线相互垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题考点命题的真假推断题点命题真假的推断答案D解析对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；对于B，所给语句是命题；对于C，反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．3．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1B．2C．3D．4答案B解析②④正确．4．下列命题是真命题的是()A．若ab＝0，则a2＋b2＝0B．若a>b，则ac>bcC．若M∩N＝M，则N⊆MD．若M⊆N，则M∩N＝M答案D解析A中，当a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；B中，c≤0时不成立；C中，M∩N＝M说明M⊆N.故A，B，C均错误．5．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是()A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α，β相交，则a，b相交答案D解析D中假如α，β相交，a和b可以相交，也可以异面．6．对随意平面对量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2答案B解析设向量a，b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cosθ，所以|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，A成立；由向量的运算律易知C，D成立．故选B.7．“若x2－2x－8<0，则p”为真命题，那么p是()A．2<x<4 B．x<2或x>4C．－2<x<4 D．x<－2或x>4考点命题的真假推断题点由命题的真假求参数的取值范围答案C解析由x2－2x－8<0，解得－2<x<4，∴p是“－2<x<4”．8．已知命题“直线l与平面α有公共点”是真命题，那么下列命题：①直线l上的点都在平面α内；②直线l上有些点不在平面α内；③平面α内随意一条直线都不与直线l平行．其中真命题的个数是()A．3B．2C．1D．0答案D解析直线l与平面α有公共点，则直线l与平面α相交或直线l在平面α内，因此可推断①②③都是假命题，故选D.二、填空题9．给出下列语句，其中不是命题的有________．(填序号)①eq\r(2)是无限循环小数；②当x＝4时，2x>0；③垂直于同一条直线的两条直线肯定平行吗？④一个数不是奇数就是偶数；⑤2030年6月1日上海会下雨．答案③⑤解析③为疑问句，故③不是命题；⑤不是命题，因为该语句无法推断其真假．10．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.其中真命题的序号是____________．答案①②④解析①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，故为真命题；②由不等式的性质知，明显是真命题；③如等腰梯形对角线相等，但它不是矩形，故为假命题；④为真命题．11．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．答案(0,2)解析函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点等价于函数y＝|2x－2|与y＝b的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中作出函数y＝|2x－2|及y＝b的图象，如图．由图可知b∈(0,2)．三、解答题12．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并推断命题的真假．(1)当ac>bc时，a>b；(2)当m>eq\f(1,4)时，mx2－x＋1＝0无实根；(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0.解(1)若ac>bc，则a>b.∵ac>bc，当c<0时，a<b，∴该命题是假命题．(2)若m>eq\f(1,4)，则mx2－x＋1＝0无实根．∵Δ＝1－4m<0，∴该命题是真命题．(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.该命题是真命题．13．(1)已知命题“方程ax2＋bx＋1＝0有解”是真命题，求a，b满意的条件；(2)已知命题“若x1<x2<0，则eq\f(a,x1)>eq\f(a,x2)”是假命题，求a满意的条件．解(1)因为ax2＋bx＋1＝0有解，所以当a＝0时，bx＋1＝0有解，只有b≠0时，方程有解x＝－eq\f(1,b).当a≠0时，方程为一元二次方程，有解的条件为Δ＝b2－4a≥0.综上，当a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0时，方程ax2＋bx＋1＝0有解．(2)因为命题当x1<x2<0时，eq\f(a,x1)>eq\f(a,x2)为假命题，所以应有当x1<x2<0时，eq\f(a,x1)≤eq\f(a,x2)，即eq\f(ax2－x1,x1x2)≤0.因为x1<x2<0，所以x2－x1>0，x1x2>0，所以a≤0.14．给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅；命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围：(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．解命题甲为真命题时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，即a>eq\f(1,3)或a<－1.命题乙为真命题时，2a2－a>1，即a>1或a<－eq\f(1,2).(1)甲、乙两个命题中至少有一个是真命题时，a的取值范围是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(a<－\f(1,2)或a>\f(1,3))))).(2)甲、乙两个命题中有且只有一个是真命题，有两种状况：甲真乙假时，eq\f(1,3)<a≤1；甲假乙真时，－1≤a<－eq\f