专题09 分式方程及应用（讲义）（解析版）-2023-2024学年七年级下数学期末专题复习

专题09分式方程及应用知识点一分式方程的概念分式方程的定义：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程.注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．【典例1】（2023秋•宣化区期末）在①＝5；②（x﹣1）+（x+1）＝4；③﹣＝1；④+＝﹣1；⑤（3x﹣7）中，分式方程有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【点拨】根据分式方程定义进行解答即可．【解析】解：③﹣＝1；④+＝﹣1是分式方程，共2个，故选：B．【点睛】此题主要考查了分式方程定义，关键是掌握判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．【变式训练】1．（2022秋•绥中县期末）下列方程中，是分式方程的是（）A． B． C．3x＝x﹣5 D．2x﹣y＝1【点拨】根据分母中含有未知数的方程叫做分式的定义进行判断即可．【解析】解：A．该方程是一元一次方程，不符合题意；B．该方程是分式方程，符合题意；C．该方程是一元一次方程，不符合题意；D．该方程是二元一次方程，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解决问题的关键．2．（2023春•成华区校级期中）下列方程：（1）＝5，其中是分式方程的有（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（3）（4）【点拨】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断．【解析】解：（1）的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；（2）（3）（4）的方程分母中含未知数x，所以是分式方程．故选：D．【点睛】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．3．（2023春•苏家屯区期中）在①x2﹣x+，②﹣3＝a+4，③+5x＝6，④＝1中，其中关于x的分式方程的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【点拨】分母中含有未知数的方程叫做分式方程．【解析】解：①x2﹣x+是分式，不是分式方程；②﹣3＝a+4是关于a的分式方程；③+5x＝6是一元一次方程；④＝1是关于x的分式方程，故关于x的分式方程只有一个．故选：A．【点睛】本题主要考查的是分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解题的关键．4．（2023秋•宁江区校级期末）有下列方程：①，②，③（m为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有②（填序号）．【点拨】根据分式方程的定义逐个判断即可．【解析】解：①方程﹣＝1的分母中不含有未知数，不是分式方程；②方程﹣2＝5的分母中含有未知数，是分式方程；③方程＝﹣6（m为不等于2的常数）的分母中不含有未知数，不是分式方程；所以分式方程有②．故答案为：②．【点睛】本题考查了分式方程的定义，能熟记分式方程的定义（分母中含有未知数的方程叫分式方程）是解此题的关键．知识点二分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．【典例2】（2024春•桐柏县校级月考）解分式方程：（1）（2）＝【点拨】（1）方程两边同乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后可得答案；（2）方程两边同乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后可得答案．【解析】解：（1）方程两边同乘以（x﹣2）得：1﹣x﹣2（x﹣2）＝﹣1，解得：x＝2，检验：当x＝2时，x﹣2＝0，所以x＝2是增根，原方程无解；（2）方程两边同乘以（x+1）（x﹣1）得：x+1﹣2（x﹣1）＝4，解得：x＝﹣1，检验：当x＝﹣1时，（x+1）（x﹣1）＝0，所以x＝﹣1是增根，原方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是找到分式方程分母的最简公分母，解题过程注意不要漏乘．【变式训练】1．（2023秋•郴州期末）将关于x的分式方程＝0去分母可得（）A．3x+（x﹣2）＝0 B．3x﹣（x﹣2）＝0 C．3（x﹣2）+x＝0 D．3（x﹣2）﹣x＝0【点拨】原方程两边同乘x（x﹣2）即可求得答案．【解析】解：原方程两边同乘x（x﹣2）得：3x﹣（x﹣2）＝0，故选：B．【点睛】本题考查解分式方程﹣去分母，找到正确的最简公分母是解题的关键．2．（2023秋•交口县期末）解方程，去分母后正确的是（）A．3（x+1）＝1﹣x（x﹣1） B．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1） C．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x+1） D．3（x﹣1）＝1﹣x（x+1）【点拨】分式方程左右两边同乘（x+1）（x﹣1）去分母得到结果，即可作出判断．【解析】解：去分母得：3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）．故选：B．【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．3．（2023秋•林州市期末）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝＝﹣．则方程x⊗（﹣2）＝﹣1的解是（）A．x＝4 B．x＝5 C．x＝6 D．x＝7【点拨】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．【解析】解：根据题意，得＝﹣1，去分母得：1＝2﹣（x﹣4），解得：x＝5，经检验x＝5是分式方程的解．故选：B．【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．4．（2023春•内乡县期末）以下是小明同学解方程的过程．【解析】方程两边同时乘（x﹣3），得1﹣x＝﹣1﹣2…第一步解得x＝4…第二步检验：当x＝4时，x﹣3＝4﹣3＝1≠0…第三步所以，原分式方程的解为x＝4…第四步①小明的解法从第一步开始出现错误；出错的原因是﹣2没有乘以（x﹣3）；②解分式方程的思想是利用C的数学思想，把分式方程化为整式方程．A．数形结合；B．特殊到一般；C．转化；D．类比．③写出解方程的正确过程．【点拨】①根据等式性质判断即可；②根据解分式方程需先化为整式方程判断；③根据解分式方程的步骤解答．【解析】解：①小明的解法从第一步开始出现错误；出错的原因是﹣2没有乘以（x﹣3）；故答案为：一；﹣2没有乘以（x﹣3）；②解分式方程的思想是利用转化的数学思想，把分式方程化为整式方程，故选：C；③，方程两边同时乘（x﹣3），得1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣3），解得x＝4，检验：当x＝4时，x﹣3＝4﹣3＝1≠0，所以，原分式方程的解为x＝4．【点睛】此题主要是考查了分式方程的解法，能够熟练掌握解分式方程的方法是解答此题的关键．5．（2024春•碑林区校级月考）解分式方程：（1）；（2）．【点拨】（1）根据去分母、解整式方程、检验、写结论的求解过程计算即可；（2）根据去分母、解整式方程、检验、写结论的求解过程计算即可．【解析】解：（1）去分母，得x+2（x﹣3）＝﹣3，去括号，得x+2x﹣6＝﹣3，移项、合并同类项，得3x＝3，化系数为1，得x＝1，检验：当x＝1时，x﹣3≠0，∴原方程的解为x＝1；（2）去分母，得（x﹣2）2﹣16＝x2﹣4，去括号，得x2﹣4x+4﹣16＝x2﹣4，移项、合并同类项，得﹣4x＝8，化系数为1，得x＝﹣2，检验：当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0，∴x＝﹣2是原方程的增根，即原方程无解．【点睛】本题考查解分式方程，熟知解分式方程的解法步骤是解答的关键，注意结果要检验．6．（2023秋•广阳区校级期末）解下列分式方程：（1）；（2）．【点拨】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解析】解：（1）方程两边都乘3（x+1），得3x＝2x+3（x+1），去括号得：3x＝2x+3x+3，移项合并同类项得：﹣2x＝3，解得，经检验，是分式方程的解，（2）去分母，得2（x+2）﹣4＝x﹣2，去括号得：2x+4﹣4＝x﹣2，移项合并同类项得：x＝﹣2，经检验，x＝﹣2是分式方程的增根，∴原分式方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，知识点三分式方程的解及增根问题【典例3】（2023秋•临邑县期末）已知关于x的分式方程的增根是x＝2，则m的值为8．【点拨】根据分式方程的增根的意义和产生的背景进行计算即可．【解析】解：关于x的分式方程，去分母得，x（x+2）﹣x2+4＝m，即m＝2x+4，关于x的分式方程有增根x＝2，而x＝2是方程m＝2x+4，所以m＝8，故答案为：8．【点睛】本题考查分式方程的增根，理解增根产生的背景是正确解答的关键．【变式训练】1．（2023秋•新乡期末）已知关于y的方程的解为y＝1，则实数k的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2【点拨】把y＝1代入关于y的方程得关于k的方程，解方程即可．【解析】解：把y＝1代入关于y的方程得：，k+1＝3，解得：k＝2，故选：D．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是把方程的解代入分式方程得关于k的方程．2．（2023秋•万年县期末）关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是（）A．a≠3 B．a≠0 C．a≠3且a≠0 D．a＝3且a＝1【点拨】根据分式方程的解法以及分式方程的增根可确定a的取值范围即可．【解析】解：将关于x的分式方程的两边都乘以x（x﹣4），得3（x﹣4）＝ax，即（3﹣a）x＝12，由于分式方程有解，∴a≠3，又∵分式方程有增根x＝0和x＝4，∴当x＝4时，a＝0，综上所述x≠3且x≠0．故选：C．【点睛】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的意义是正确解答的关键．3．（2023秋•宁津县期末）若关于x的分式方程+1＝有增根，则k＝﹣4．【点拨】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣2＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出k的值即可．【解析】解：去分母，得：5+k+x﹣2＝1，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程，可得：k＝﹣4．故答案为：﹣4．【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．4．（2021秋•青云谱区校级期末）若关于x的方程有正数解，则（）A．m＞0且m≠3 B．m＜6且m≠3 C．m＜0 D．m＞6【点拨】解分式方程得到x＝6﹣m，结合已知可得6﹣m＞0，同时注意，分式方程中x≠3，所以6﹣m≠3，则可求m的取值范围．【解析】解：分式方程两边同时乘以（x﹣3），得x﹣2（x﹣3）＝m，解得x＝6﹣m，∵方程有正数解，∴6﹣m＞0，解得m＜6，∵x≠3，∴6﹣m≠3，则m≠3，∴m的取值范围是m＜6且m≠3，故选：B．【点睛】本题考查分式方程；掌握分式方程的求解方法，切勿遗漏分式方程的增根情况是解题的关键．5．（2023秋•黄石港区期末）若关于x的分式方程+＝无解，则m的值为10或﹣4或3．【点拨】分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．【解析】解：（1）x＝﹣2为原方程的增根，此时有2（x+2）+mx＝5（x﹣2），即2×（﹣2+2）﹣2m＝5×（﹣2﹣2），解得m＝10；（2）x＝2为原方程的增根，此时有2（x+2）+mx＝5（x﹣2），即2×（2+2）+2m＝5×（2﹣2），解得m＝﹣4．（3）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得2（x+2）+mx＝5（x﹣2），化简得：（m﹣3）x＝﹣14．当m＝3时，整式方程无解．综上所述，当m＝10或m＝﹣4或m＝3时，原方程无解．故答案为：10或﹣4或3．【点睛】本题考查的是分式方程的解，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．知识点四分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答【典例4】（2023秋•信州区期末）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？【点拨】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要10天完成，可得出方程解答即可；（2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．【解析】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：（+）×15+＝1．解得：x＝30．经检验x＝30是原分式方程的解．答：这项工程的规定时间是30天．（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（+）＝22.5（天），则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）．答：该工程的费用为225000元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．【变式训练】1．（2023秋•温岭市期末）一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，用这台机器收割10公顷小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用1小时，设这台收割机每小时收割x公顷小麦，则所列方程正确的是（）A．B．C． D．【点拨】设这台收割机每小时收割x公顷小麦，则农民工每小时收割公顷小麦，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率列出方程即可．【解析】解：设这台收割机每小时收割x公顷小麦，则农民工每小时收割公顷小麦，由题意得，，即，故选：C．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，找到等量关系是列出方程的关键．2．（2023秋•赵县期末）为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行40千米的时间与乙匀速骑行35千米的时间相同，已知甲每小时比乙每小时多骑行2千米，设甲每小时骑行x千米，根据题意列出的方程正确的是（）A． B． C． D．【点拨】题目已经设甲每小时骑行x千米，则乙每小时骑行（x﹣2）千米，根据题意可得等量关系：甲匀速骑行30千米的时间＝乙匀速骑行25千米的时间，再根据路程、速度、时间之间的关系和题目中的等量关系列出方程即可．【解析】解：设甲每小时骑行x千米，则乙每小时骑行（x﹣2）千米，根据题意得：，故选：A．【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程的建模能力，能够根据路程、速度、时间之间的关系和题目中的等量关系列出方程是解题的关键．3．（2023秋•新兴县期末）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站15公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的1.5倍，若孔子和学生们同时到达书院，设学生们步行的速度为每小时x公里，则可列方程＝+1．【点拨】根据时间＝距离÷速度，结合学生早出发1小时，孔子和学生们同时到达书院列分式方程即可．【解析】解：设学生步行的速度为每小时x里，则牛车的速度是每小时1.5x里，∵学生早出发1小时，孔子和学生们同时到达书院，∴＝+1，故答案为：＝+1．【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，正确找到等量关系列出方程是解题关键．4．（2023秋•泰山区期末）中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗，某商场在中秋节来临之际购进A、B两种汾阳月饼共1500个，已知购进A种月饼和B种月饼的费用分别为2000元和3000元，且A种月饼的单价比B种月饼单价多1元，求A、B两种月饼的单价各是多少？设A种月饼单价为x元，根据题意，列方程是+＝1500．【点拨】设A种月饼单价为x元，根据“购进A、B两种汾阳月饼共1500个”列出方程．【解析】解：根据题意，得+＝1500．故答案为：+＝1500．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．5．（2023秋•澄海区期末）某工厂搬运货物，为了提高搬运速度，安装了1台传送带．已知1台传送带的工作效率相当于1名搬运工人的20倍．若用这台传送带搬运1500箱货物要比15名搬运工人搬运这些货物少半小时．求这台传送带每小时搬运货物多少箱？【点拨】设这台传送带每小时搬运货物x箱，则1名搬运工人每小时搬运货物x箱，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合用这台传送带搬运1500箱货物要比15名搬运工人搬运这些货物少半小时，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解析】解：设这台传送带每小时搬运货物x箱，则1名搬运工人每小时搬运货物x箱，根据题意得：﹣＝，解得：x＝1000，经检验，x＝1000是所列方程的解，且符合题意．答：这台传送带每小时搬运货物1000箱．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．6．（2023秋•白水县期末）某地区以移动互联和大数据技术支持智慧课堂，实现学生的自主、个性和多元学习，全区学生逐步实现上课全部使用平板电脑．某商场用6万元购进甲种型号的平板，很快销售一空．该商场又用12.8万元购进了乙种型号的平板，所购数量是甲型平板购进数量的2倍，但单价贵了40元，甲型平板和乙型平板售价都是700元，但最后剩下的50件乙型平板按售价的八折销售，很快售完．（1）该该商场购进甲型平板和乙型平板的单价各多少元？（2）售完这两种平板，商场共盈利多少元？【点拨】（1）设该商场购进甲型平板的单价为x元，则购进乙型平板的单价为（x+40）元，由题意：某商场用6万元购进甲种型号的平板，该商场又用12.8万元购进了乙种型号的平板，所购数量是甲型平板购进数量的2倍，列出分式方程，解方程即可