2024年高考数学考纲解读与热点难点突破专题19概率与统计教学案理含解析

PAGEPAGE5概率与统计【2024年高考考纲解读】1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等学问，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注．3.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.4.将古典概型与概率的性质相结合，考查学问的综合应用实力．5.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回来方程、独立性检验等.6.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现．【重点、考点剖析】一、排列组合与计数原理的应用1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理假如每种方法都能将规定的事务完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；假如须要通过若干步才能将规定的事务完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．2.名称排列组合相同点都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复不同点①排列与依次有关；②两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列依次完全相同①组合与依次无关；②两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同二、二项式定理1．通项与二项式系数Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr，其中Ceq\o\al(r,n)(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．2．各二项式系数之和(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＝2n－1.三、古典概型与几何概型1．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(事务A中所含的基本领件数,试验的基本领件总数).2．几何概型的概率公式P(A)＝eq\f(构成事务A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积).四、相互独立事务和独立重复试验1．条件概率在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).2．相互独立事务同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B)．3．独立重复试验、二项分布假如事务A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.五、离散型随机变量的分布列、均值与方差1．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；站邀请，确定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最终去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路途数为()A．24B．18C．16D．10解析：分两种状况，第一种：最终体验甲景区，则有Aeq\o\al(3,3)种可选的路途；其次种：不在最终体验甲景区，则有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)种可选的路途．所以小李可选的旅游路途数为Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)＝10.选D.答案：D【变式探究】某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出依次有如下要求：节目甲必需排在前三位，且节目丙、丁必需排在一起．则该校毕业典礼节目演出依次的编排方案共有()A．120种B．156种C．188种D．240种解析：解法一记演出依次为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法种数分别为Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)，故总编排方案有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝120(种)．解法二记演出依次为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的状况有4种，则有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的状况有3种，共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝36(种)；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的状况有3种，共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．答案：A【变式探究】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化学问；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺支配一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必需排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课依次共有()A．120种 B．156种C．188种 D．240种答案A解析当“数”排在第一节时有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)＝48(种)排法，当“数”排在其次节时有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)＝36(种)排法，当“数”排在第三节时，若“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)＝12(种)排法；若“射”和“御”两门课程排在后三节时有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)＝24(种)排法，所以满意条件的共有48＋36＋12＋24＝120(种)排法．(2)若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“快乐数”．例如：32是“快乐数”．因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“快乐数”，因为23＋24＋25产生进位现象，那么，小于100的“快乐数”的个数为()A．9B．10C．11D．12答案D解析依据题意个位数须要满意要求：n＋(n＋1)＋(n＋2)<10，即n<2.3，∴个位数可取0,1,2三个数，∵十位数须要满意：3n<10，∴n<3.3，∴十位可以取0,1,2,3四个数，故小于100的“快乐数”共有3×4＝12(个)．【感悟提升】(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．(2)对于困难的两个原理综合运用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．【变式探究】(1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包嬉戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的状况有()A．18种 B．24种C．36种 D．48种答案C解析若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝12(种)抢法；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝12(种)抢法；若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,3)＝6(种)抢法；若甲、乙抢的是两个6元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq\o\al(2,3)＝6(种)抢法．依据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的状况共有36种．(2)(2024·百校联盟联考)某山区希望小学为丰富学生的伙食，老师们在校内旁边开拓了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有()1234A.9种 B．18种C．12种 D．36种答案B解析若种植2块西红柿，则他们在13,14或24位置上种植，剩下两个位置种植黄瓜和茄子，所以共有3×2＝6(种)种植方式；若种植2块黄瓜或2块茄子也是3种种植方式，所以一共有6×3＝18(种)种植方式．题型二二项式定理例2、(1)[2024·全国卷Ⅲ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))5的绽开式中x4的系数为()A．10B．20C．40D．80【解析】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))5的绽开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,)5·(x2)5－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))r＝Ceq\o\al(r,)5·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故绽开式中x4的系数为Ceq\o\al(2,)5·22＝40.故选C.【答案】C【变式探究】(2024·浙江)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________.答案164解析a4是x项的系数，由二项式的绽开式得a4＝Ceq\o\al(3,3)·Ceq\o\al(1,2)·2＋Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(2,2)·22＝16.a5是常数项，由二项式的绽开式得a5＝Ceq\o\al(3,3)·Ceq\o\al(2,2)·22＝4.【变式探究】(2024·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，一般队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)答案660【变式探究】若(1－3x)2018＝a0＋a1x＋…＋a2018x2018，x∈R，则a1·3＋a2·32＋…＋a2018·32018的值为()A．22018－1B．82018－1C．22018D．82018【解析】由已知，令x＝0，得a0＝1，令x＝3，得a0＋a1·3＋a2·32＋…＋a2018·32018＝(1－9)2018＝82018，所以a1·3＋a2·32＋…＋a2018·32018＝82018－a0＝82018－1，故选B.所以ξ的分布列为ξ0123Peq\f(1,30)eq\f(13,60)eq\f(9,20)eq\f(3,10)Eξ＝0×eq\f(1,30)＋1×eq\f(13,60)＋2×eq\f(9,20)＋3×eq\f(3,10)＝eq\f(121,60).题型五离散型随机变量的分布列、均值与方差例5、[2024·北京卷]电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类其次类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设全部电影是否获得好评相互独立．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率．(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率．(3)假设每类电影得到人们喜爱的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜爱，“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜爱(k＝1,2,3,4,5,6)．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．【解析】(1)解：由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50，故所求概率为eq\f(50,2000)＝0.025.(2)解：设事务A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事务B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．故所求概率为P(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B)＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)(1－P(B))＋(1－P(A))P(B)．由题意知P(A)估计为0.25，P(B)估计为0.2.故所求概率估计为0.25×0.8＋0.75×0.2＝0.35.(3)解：Dξ1>Dξ4>Dξ2＝D