初高中衔接完整

PAGE1PAGE2我们知道(a+b)2=a2+2ab+b23因此得到 方将公式中的b全部改为-b又得到差 上述两个公式称为完全立方式它们可以合写为【例1】化简：(x1)3xx23x3b3(a+b)(a+b)2-3ab=a3+ (a+b)a2-ab+

=a3+将立方和公式中的b全部改为-b得到立 (a-b)a2+ab+b2=a3-【例2a(1+a)(1-a)1+a+

1-a+

1-a+

=(1+a)1-a+a2(1-a)1+a+=1+

1-

=1-a6a-0(1+a)(1-a)1+a+

1-a+

≤3(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+2ca2【例3abc0，abbcca=-12(1)a2+b2+【解析】(1a2b2c2ab+cabbccaa4b4c4=a22+b22+c22(1a2b2+b2c2+c2a20a2b2c21a2b2c21．(2abbcca1a2b2b2c2c2a22abc(abc)=1 4abc0a2b2b2c2c2a2=142a4+b4+c4=1．20 (x+1)3-(x-=x3+3x2+3x+1-x3-3x2+3x-=x3+3x2+3x+1-x3+3x2-3x+=6x2+x21x6x226(1x286x (x+1)3-(x-=(x+1-x+1)(x+1)2+(x+1)(x-1)+(x-=2x2+2x+1+x2-1+x2-2x+=6x2+2 A. B. C. 若x+y+z=0则x3+y3+z3 A. B.x2y+y2z+C.x2+y2+ A=n+13，Bn3+1+6n>0A，B大小关系为 A.A BA CA D.(5-x)25+5x+x2= (a-b)(a+b)=a2-(a-b)a2+ab+b2=a3-(a-b)a3+a2b+ab2+b3=a4-可得到(ab)ann-1bb1yx2)3x3

= (n为正整数x=332x+

4x22+ -1 x

x=y=z

axbycz)2 §1.2因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式是互逆变形．我们已学过两种分解因式的方法我们知道形如x2+(p+q)x+pq的二次三项式它的 1图1．2-1“十字相乘乘积相加方式建立联系得到x2 (pq)xpqxpxq)2x27x32分23)

1×p+1×q=p+1.22125 - - 1×3+2×1=

1×1+2×3=

-

-图1.2- 图1.2- 图1.2- 图1.2-1251-12-3-7恰好等于一次项系数-7．由于(x3)(2x1)=2x27x+3从而2x2-7x+3=(x-3)(2x-十相法2x2+x- (2)-6a2+7a+2-3) -1

1.2当二次项系数为负时二次项系数分解成的两个 -先把负号提到括号外面-6a27a5=

1.2-6a2-7a-

6a2-7a-512-7112x2+x-3=(x-1)(2x+(2因为-6a27a5-6a27a5)

6a2-7a-5-6a2+7a+5=-(2a+1)(3a-【解析】x2-xx2-x+1

-2=x2-x-

x2-x+

=(x-2)(x+xmxn+ym+yn它的各项并没有公因式xy(mny(mn)．这时又有了公因式(mn)xmxn+ynxm+xn+ym+yn=x(m+n)+y(m+n)=(m+n)(x+x3-x2+x-x2+4(xy-1)+1x3x2x1x3-

+(x-1)=x2(x-1)+(x-1)=(x2x3x2x1x3(x-

-x2+

=xx2+

-x2+

=x2+x2+4(xy-1)+4y2=x2+4xy-4+4y2=x2+4xy+4y2-=(x+2y)2-4=(x+2y+2)(x+2y-先将多项式分组后分解因式的方法称为分组分解法．用这种方法分解因式，=(x-1)x2+x+1+3(x-=(x-1)x2+x+40【解答】x32x2yxy22y3x2(x2yy2(x2yxx2-=(x-2y)(x+y)(x-所以(x2yxyxy00xz-2yz+1=z(x-2y)+1=对多项式4x2+2xyy2用分组分解法分解因式，下面分组正确的是 4x2+

-y+

4x2+2x-y2-4x2-

+2x-

4x2-

+(2x-要使二次三项式x2-6x+m在整数范围内可分解，m为正整数那么m的取 A.2 把多项式2ab+1-a2-b2分解因式结果 (a+b-1)(b-a+ B.(a-b+1)(b-a+C.(a+b-1)(a-b+ D.(a-b+1)(a-b-m4+m2+1=m4+ m2+ ．4x2-x-3x2+2ax-x3-y3-x2y+2a2-b2+ab-2a+xyx-1时，x32x25x60x32x25x6分第一章测试题多项式-3y2-2yx+x2分解因式的结果 -(y+x)(3y+ C.-(y-x)(3y- 1 A. B.- C. D.±若多项式2x2+7x+m分解因式的结果中有因式x+3则此多项式分解因式 A.2x- B.2x+ C.x+ D.x-a+13a2a3a4+

+1+

A. B. C. 多项式4-x2-2xy-y2分解因式的结果 (2+x+y)(2-x- B.(2+x+y)(2-x+C.(1+x-y)(4-x- 3 A. B. C. D.-若8x3+12x2y2+6xy4+y6可分解为2x+ym3则m= 若关于x的二次三项式ax2+3x-9的两个因式的和为3x则a= x2+x+1+1-4=1+x+ 1+x- ． 分解因式：(1)x35x26x；(2)4m3mx2x10x5x43x33x2x

a2-9x2+6xy-(a3x)2ay3xy)1求证：y第二章分式与根式分式运算与因式分解关系密切 ÷a+1a2-a+ a+a+2a+

a+1a2-a+ a+

a2-a+

×a+1=a+【例2】先化简求值：

m2+

-

÷m+n m33m2n3mn2n3m57，n3．m3+m2nmn2n3

【解析】分式混合运算时需合理安排运算顺序最后乘上的分式其分子是完全立方 2

(m+【解答】=(mn)2-mn×(mn)2×(mn)2(m=

m2+

-

×(m+

(m+

(m-=m2-2mn+n2×(m+(m+ m-nm+

(m-m+ 1

x2-3x+ x4-9x2+ =1所以x2-3x+1=1得x+1=4．x2-3x+x49x21x2+

-9=x+

2-11=16-11=2因 2x4-9x2+2

5=15x2+1=x+

- ++1+ c【解答】b+1111bc+11c1-1 所以(1b)1-111-1b+b11b+b ba-1abb0b1a10bba+1=b1 + + =1．ab+a+ bc+b+ ac+c+→ca可将其中一项变为另两项1原式= + + ab+a+ a(bc+b+ ab(ac+c+= + + ab+a+ abc+ab+ abac+abc+= + + ab+a+ a+1+ =ab+a =1原式= + + ab+a+ bc+b+ b(ac+c+= + + bc+b+ bac+bc+= + + bc+b+ =bc+b =2

⋯ 1xx+x

，1+

⋯繁分式可以通过适当的代数变换转化成普通的分式．例如，11x+PAGE10PAGE11 =x xxx+x

x2+1+1- 11它们各分母的最简公分母1+1-x

xy+y-

1-1-

21+1-

÷1-1-xy=x+1-x÷xy-1+xyxy2xy-1

2÷

x2+

-x-1+x．xx x

1-x-

x2+

-2x-2+x【解析】x+1x2+1=x+x

22 2xx+1a原式的形就变简单了x【解答】x+1ax2+1=x+

1 2

a2-a+

a2-a+1

(a-原式aa-12-

÷a2-2a+1=a-x=a-1=x+1-x

a-

×a2-a+下列运算中错误的 A.a=ac(c≠ B.-a-b=- a+C.0.5a+

=5a+

D.x-y=y-0.2a-

2a-

x+ y+若x+1=4

x4+x2+A.A.B.C. D. a+1c+2aA.B.C. 化简 1 x1-1-xa3a2a1

2

× 1-

a2-2a+

-1+1+10求证：a2b2c2ab 已知xyz=1，x+y+z=2，x2+y2+z2=16求 + + 的值．zx+

xy+

yz+3个条件：把分母中的根号化去

=

=6×525×55 ；(2) x-

(x≠ x-

x+ -

x+

3x-3

3x+3(有理化因式)(2)题还可以将分子用平方差公式分解因式后进行约分(3题也可以将分子用立方和(差公式分

= 2+ =2+3=-(2+2-3)=-2-

(2-3)(2+

2-x+

(x-y)(x-(x+y)(x-

=(x-y)(x-y)=xx-x-

x- x+

(x+y)(x-y)=x-y．x+y

x-

x+

(3x)3-(3

(3x)3+(3

3x+3y

3x-3

3x+3=(3x)2+3x3y+(3y)2-(3x)2+3x3y-(3=23【例2】计算：123+(1+3)(3+

+ 5+27+ (5+7)(7+【解析】观察分式的分子和分母(1+33+5123+5(5+7)+(73)=5273．因此可先将他们拆成两项之和， 原式= + + + 1+ 3+ 5+ 7+= 1- + 3- + 5- (1+3)(1- (3+5)(3- (5+7)(5-+ 7- (7+3)(7-2=-1(1-3+3-5+5-7+7-22=-1(1-3)=2【例3】计算：1-x-1+ ÷2+x．1+x-

2-

x-(1-x- 原式=(1+x-1)(1-x-1)

2-

x-12+x=1-2x-1+x-1+2x-1= 1-x+

2-

2- 求1-2a+a2- a2-2a+1的值2+

a-

【解析】(a1)2|a =2-3<1所以2+(a-

(a-

|a-

-(a-原式a1+a

a-1

a(a-1)=(a-1)-a(a-1)=a-1

a(a-1)=a=2-3-1+2+3=【例5】已知(x+c)2+y2 2ab20

==【解答【证明因为(x+c)2+y2 2a(x+c)2+y2=2a a2-cx=a(x-c)2+a2c2x2a2y2a2a2c2

2 2 2

2 acbbxayababa2+b2【例6】已知a，b都是非负数并且1-a2 1-b2=ab求证：a1-b2b1-a2=A2B2ABA，B1a2×1b2ab1a2+b2=1．

1-

=1-

a1-b2+b1-

2=a21-

+b21-

+2ab1-b2a，ba1b2b1a20．a1b2b1a21．nxn=axan16an次方根用符号nan次方根用符号na表2-2±416=类比平方根与立方根的性质n次方根运算都限在实数范围内．【例7】(1求-

注意正数的偶次方根一定有两个 32

-243

-35=-3(2)±6-8)2=±626=【例8】(1x0|x|+4x423x3(2n2n2na2n|a|．2na2n-aa0．类似于二次根式的性质n(na)n=n为奇数时，nanan为偶数时，nan|a|a,ampamp=nam(a≥0)，nab=na⋅nb(a≥0,b≥na=na(a≥0,b>0)，nam=(na)m(a≥ n

n -aa2aa3，⋯aana1n

下列说法正确的 正数有一个偶次方 B.负数没有偶次方C.负数有两个奇次方 当a>0时，-ax3 A.x B.x- C.-x- D.-x把a-b(a≠b)分母有理化的结果 a+a-- B.aa-

a+b-2aba-ba+b-2b--1)101的7次方根是 -4)2的4次方根是 (- -5-计算-

1= ，1832= 已知a= = 求1-1 的值．3+2

3-2

b-

a-(a-b)3+2aa+b

3b-3化简：

aa+b

a- 化简：(1 a-2a-1(1<a<2)；(2)n(a-b)nn(a+b)na<b<0,n>n∈N∗证明：a2+1 =a+1- ． (ab+ ab+1第二章测试题x-若分式x+y中的x，y的值都变为原来的3倍则此分式的x-3不 C.是原来的36D6计算a-

÷a+b的结果 aa-a

ba+b

a-

a+ba把a+b(a≠b)分母有理化的结果 baa-a-- B.aa-

a-ba+b+2b-下列式子错误的 (a)2= B.3a3=C.(na)n=a(n>1的整数 D.nan=a(n>1的整数x化简 -|x|的结果 x- - D. A.a≥ B.a C.a Da 立方根是 化简：

+ +2x+4x3

= x-

x+ x2+ x4+化简 1x1+1+x

= 当x<0时，5x5+4x4+3x3= 若(x10)2+4y40yx10x+1-x-化简：x1

x+1x2-当a= 时求a2+6-a+1+

2-

a-

我们已经学习了二元一次方程组及其解法,想是:二元一次方程组⟶一元一次方程.元法和加减消元法.消元的目的是把二元一次方程组化归为一元一次方程在现实生活中,我们会遇到末知数不止两个的方程,下面我们就来学习三元一次方程组.像 x+2y+5z=22,+2 这类方程组中含有三个末知数,含末知数的项的次数都是1,这样的方程组叫做三元一次方程组.解三元一次方程组的基本思想与解二元一次方程组一致,消 消们会解的方程组:三元一次方程组⟶二元一次方程组⟶一元一次方程.解三元一次方程组的基本方法有代人消元法和加减消元法.1x+2y+5z=22,③分别代入方程①②,得到只含y,z的二元一次方程组③分别代入方程①②,5y+z=126y+5z=22解得yz=把y2,z2代人方程①,得x2212,所以x【例2x+2y-z=3,转化为二元一次方程组.+②,z,+2,z,从而得到二元一次方程组+②,5x4y3.④方程③2,得4x3y2.⑤xy=

5x+4y=4x+3y=把x=-y=2代人方程②,得-1+2×2-z=3,所以z=2x-y+3z=

本题含有三个末知数,只有两个方程,方程①含有比例xay2a,z7ax,y,z三个末知数之间的关系,代入方程②即可求解.,设x=a,y=2a,z=代人方程②2a2a21a21a于是x=y=2,z=(第五章).虽然方程组形式上是两个方程但方程①实际上隐含了两个方程:2xy,7y2z.通过上面几道例题,我们发现,三元一次方程组的解法仍是用代人法或加减法消元,化归为二元一次方程组,再化归为一元一次方程.实际上,消元是解一次方程组的主要方法.解一次方程组的消元“化归”基本思想,可以推广到“四元”“五元”解方程组2x+y-4z=1,若要使运算简便,消元的方法应选取. A.先消去 B.先消去 C.先消去 2xyz5x+8y-z=

则x+y的值 A.14 B.2 C.- D.-3xy70,2x3y1,kx9有公共解,k A.6 B.5 C.4 4x=0,1,-1时,ax2+bx+c的值分别为5,6,0a b= ,c= x2yz2x+4y-z=解下列三元一次方程组①2x+y-z=②x:y:z=2:3:5x+y+z=100

则x:y:z= |ab1|+b2ac)2|2cb|0a,b,c的值4x-3y-6z= 2x2+3y2+ 求x2+5y2+7z2的一元二次方程ax2bxc0(a0)x 2=b2-4acx 因为a0,所以4a20.式子b24ac的值有以下三种情况①b2-4ac>这时b24ac0,x+

b2-4ac,

x=-b+b2-4ac,x=-b-b2-1②b2-4ac=

这时b24ac0由①式得x

0,22

2③b2-4ac<2

x1=x2=-b这时b2

<0,由①式得x+

0,而x取任何实数都不能使x+

20,因此方程无实数根2这说明根据b2-4ac的值的符号,我们可以判定一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的情况.一般地,式子b24ac叫做方程ax2bxc0(a0)的根的判别式通常用希腊字母Δ表示它即Δb24ac.归纳起来,①Δ0⇔方程有两个不相等的实数根Δ0⇔方程有两个相等的实数根③Δ0⇔方程没有实数根,②5x2=2(x-③8x2+(m+1)x+m-7=①x2+2x-1=Δ224-180,所以方程有两个不相等的实数根②将原方程整理,可得5x2-2x+20=因为Δ-2)24520-3960,所以方程没有实数根③Δ=(m+1)2-4×8×(m-7)=m2-30m+225=(m-m取何值,都有Δm15)20,所以方程有两个实数根【例22x(k2)x2k2k1)x有两个不相等的实数根,求k的范围.,二次项系数k-2≠0.因为一元二次方程有两个不相等的实数根,所以Δ>0.(k-2)x2+k=(2k-1)x可化为(k-2)x2-(2k-1)x+k=因为方程有两个不相等的实数根,224k4

Δ=[-(2k-1)]-4k(k-2)=4k+1>且k

4所以k的取值范围是k>-4

且k【例3:关于x的一元二次方程m21x22mx+m2数根,只要证Δ0即可m21

0Δ=-2m)2-4m2+

m2+

=-4m4+4m2+

=-4m2+2因为无论m取什么实数,都有m220,所以-4m2220,即Δ0.此一元二次方程m21x22mxm240没有实数根【例4m为何值时,关于x的方程m2根

x2+2(m+1)x+1=0和m2-4≠0两种情形讨论m240,即m2时,2(m10,方程为一元一次方程,总有2m240m±2时要使方程m24x22(m1)x102数根,则Δ2(m1)]24m2

8m200,解得m52因此m2

且m2时,方程有实数根2综合①②m2

时,方程有实数根x2+1=0,x+x=0,x+x-1=0,x-x=0中, A.1个 B.2个 C.3个 D.4个xax22x10中a0()有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根C.没有实数根 xax2bxc0(a0)中,ac异号, 有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根 x(m2)2x22(m1)x10有两个不相等的实数根,m的取值范围是若二次三项式3x2-4x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的积,k不解方程,判别下列方程的根的情况③5x2+1-7x=①2x2+3x-4=xmx2(m2)x-1必有实数根xk21x22(k1)x10有实数根,k的取值ax2bxc0(a0x=-b±b24ac由方程的系数a,b,c决定根的值,而且反映了根与系数之间的联系.本节我们进一步讨论根与系数的关系.根据求根公式可知,当b2-4ac≥0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠的两根为x=-b+b2-4ac,x=-b-b2-

x+x=-b+b2-4ac+-b-b2-4ac=-2b=-

axx=-b+b2-4ac⋅-b-b2-4ac=-b)2-b2-4ac=1

a因此,方程的两个根1,2和系数a,b,c有如下关系x1+x2=-b,12=c 这个一元二次方程的根与系数的关系叫做韦达定理反过来,如果1,满足x1+x2=-b,1=c,那么1,一定是方程ax2 bxc0(a0)的两个根这就是韦达定理的逆定理.①如果方程x2+px+q=0的两个根是1,2,那么x1+x2=-p,12=②以两个数1,2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-x1x2xx1x2=01求下列方程两根的和与积①x2-5x-8=②3x2=1- 2x243x220ax2bxc≠0),直接应用韦达定理x1+x2=-b,12=

来求 x1x2-55,12-33x26x10x1x2-2,1213③x1+x2=--43=26=-22=- 【例25x22x150,求:①两根的倒数和;②两根的平方和,但是计算较繁.根据韦达定理,将代数式变形成念有x1+x2和x1x2形式的式子,可以筒化运算.51,2,根据韦达定理,有x1+x2=-2,12=-5 x+ - =①=

+x2

5-

=15②x2+x2=x+

2-2xx=-22-2×-3)=154

1 3k取何值时x3x22(3k1)x3k210为零;②有两个互为相反数的实根;(3)两根互为倒数.【解】要使方程有根,必须Δ=2(3k+1)]24×33k23-23

0,解得k,则xx0.xx=3k210,k=±31 1 因为±32k

时,方程有一个根为零 3,x1x20.x1x2=2(3k10,3k112k

时, 根,xx1.xx=3k211,k231 1 因为2332,而232,所以当k=2

时, 倒数3【例4使它的两个根为-5和23,给出根与系数的关系可以构造出一元二次方程,但得到的一元二次方程不唯一,不过它们各次项的系数对应成比例.为了方便,一般设所求的方程为x2+px+q=0.3x2pxq0,-5+2-3× 因此x2+13x-1003x213x10 121,22x26x30的两根,x2x2()12A.15 B.6 D.3x22x30()y2+5y-6= B.y2+5y+6=C.y2-5y+6= D.y2-5y-6=m,nx22x20020的两实数根,3mmn3n的值是().--D.19964xm22x2(m2)x10的两实根互为倒数,以方程x2-3x-1=0设1,2是方程2x2+4x-3=0的两个根,利用根与系数的关系求下列各②x1+x2 ③x1-xax2bxc0,3:5,求证:=已知关于x的一元二次方程2x2+ax-2a+1=0,429,a的值4我们已经学过可化为一元一次方程的分式方程及其解法.本节学习可化为一元二次方程的分式方程的解法.【例1解方程4- =1. x-,首先要找这个分式方程的最简公分母,然后方程两边同乘以最简公分母,约去分母,使分式方程化为整式方程.x(x-1),4(x-1)-x=x(x-整理x24x4解得x1x2x=2时,x(x-1)=2(2-1)=2≠所以原方程的根是x=验根的一般方法是:把整式方程的根代人最简公分母,看结果是不是零,使最简公分母为零的根是增根,必须舍去.为什么要检验呢?根据方程同解原理:方程两边都乘以不等于零的同一个数,所得方程与原方程同解.而我们在解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母,它是一个整式,当这个整式为零时,就不符合方程的同解原理要求,所得整式方程的根就不一定是原方程的根,因此解分式方程必须验根.【例2解方程 -4x-5=1.x+ x2-x-,从而确定出最简公分母是(x+2-(x2x3)x3(4x5x2x整理x22x8解得x142检验x-4x2时(x2x3所以原方程的根是x1=-42=

8x2+2xx2-

3x2-1= x+ 应先去分母整理后为一元四次方程结果较繁观察方程x22xx2

互为倒数可以通过“换元”将方程化简x2- x2+x22xy,则x21=1,8y+3x2- x2+ 8y,8y211y30y1=1,2=3.88y经检验y11,2=38y+311的根8yy1时,x22x1,去分母,整理,x2-2x112

x2+2x=x2-y=3时,x22x=3,去分母,整理, x2- 5x23,x315

5x2+16x+3=检验x1,x-3,x

分别代人原方程的分母,各分母都不为零 所以x11,23,x31 解下列方程2- =1; (2)2x2-6x=x 2x-

x-解下列方程x-1-1= x2-

x- - -2x-

=4x2-4x- 4x2-8x+ 1-解下列方程x+x+

+ xx+

+6=x2-3+3x=13 x2- §3.5像2x2-7x=x-2,3x-5-x+2=,x+1- =3这类根号x+内含有末知数2的方程叫做二次根式方程二次根式方程可以通过把方程的两边平方化为整式(或分式方程来解.因此解二次根式方程时必须把变形所得整式(或分式)方程的根,代人原方程进行检验.12x27xx2x2-7x=x2-4x+整理x23x4x14,x2检验:x4代人原方程,左边=242742,右边422,xx-1代人原方程右边-3而左边的算术平方根不可能是负数x-1是x=23x5-x2如果直接平方结果较繁一般把其中一个根式移到方程的右边,使方程左右两边各含有一个根式.3x5=x2两边平方3x512x2x化简x4=x两边再平方并整理,x2-9x+14=x122经检验,x2是增根;x7是原方程的根3x28x+x28x【分析】x28xx28x的算术平方根,如果直接平方,结果很繁.x2+8x=y,y的一元二次方程x28xy,x28xy2,y2y12y14,2当y=-4时 x2+8x=-4无解当y=3时 x2+8x=3,解得x1=-92=经检验,x1=-92=解下列方程

2x-2x+1= (2)x+x-3=解下列方程2x-5-x-3= 5x+4x+3= 解下列方程x-1-5= x+2 (2)x2+xx+ x-x2+x-2-4=§3.6x2y2=x-2y2+x+3y-10这类含有两个末知数,并且含有末知数的项的2的整式方程叫做二元二次方程.由含有相同的两个末知数的两个二元二次方程或一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组叫做二元二解二元二次方程组就是求方程组中两个方程的公共解.解二元二次方程组的基本思想是消元和降次,消元就是把二元化为一元,降次就是把二次降为一次,其目的本节内容主要解决简单的二元二次方程组问题x2+y2= (【解由方程(2),得y=1- 把方程(3代人方程(1)x21x)2整理x2xx1=02=x0代人方程(3),yx1代人方程(3),yy1=1;y2=,其解法是先由二元一次方程出发,用含一个末知数的式子表示另一个末知数,再把这个式子代人二元二次方程,达到消元的目的,转化为一元二次方程求解.

x2+2xy+y2=(1变形为(xy)21xy10y10分别与方程(2x24y28x24y28;组即可

x2+4y2= x2+4y2=分别解这两个方程组,

1

,如果能把其中一个二元二次方程分解为两个二元一次方程,就可以转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成

x2-1-y+2=01 (1是根式方程将其移项x21y2这样方程组(1移项再两边平方x21y整理x2y3方程(3(2)x22x15x152x5代人方程(2),yx-3代人方程(2)yx=y=

y=6

分别代人原方程组检验,它们都是原方程组的解

x1=5,

y2=6.解下列方程组x2-y2=x2-4y2+x+3y+1=

解下列方程组x2+y2=x2-5xy+6y2=x2+y2-2x=x2+y2-2x=-13

解下列方程组x+2=

=(6题,6分,36分)12设1,2是方程2x2-8x+5=0的两根则x2+x2的值是 12A. B. C. 下列方程中,有两个相等的实数根的是 2y2+5= B.x2+5=2C.3x2-2x+2= D.3x2-26x+1=x24xy4y22x4y30转化来的两个二元一次方程为().x-2y=3,x-3y=- B.x-3y=3,x-2y=-C.x-2y=3,x-2y=- D.x-3y=3,x-3y=-方程组x+y=xy=-

x,y可以看成是一个一元二次方程的两个根,()z2+3z-10= B.z2-3z+10=C.z2-3z-10= D.z2+3z+10=m,nx22x20020的两个实数根,m23mn的值是().A. B. D.x2+2y2=

有一组实数解,m()A.- B. C. D.4x的一元二次方程ax22x10有实数根,a的取值范围是已知方程x2-4x+m=0的一个根为2+3,则方程的另一根为 的值为 若2x2-5x+ -5=0,则2x2-5x-1的值是 2x2-5x+写出一个一元二次方程,使它的根是方程2x2-6x+1=0的根的2倍,则这个一元二次方程可以是 解下列方程组3x-2y+5z=解下列方程

x2+y2=x2-4xy+3y2=xx2+x

2-x2+1-2= (2)x2-x2-3x+5=3x+xxx

- =kx+

只有一个解(x-

x2- 个),k..第四章函数是反映现实世界中变量间数量关系和变化规律的一种数学模型.在高中阶段,我们知道,yax2bxc(a0)的图象是一条抛物线,4-1所示.4-a>a<y y x=-x=--b,4ac- -b,4ac- xb时，y取最小值xb时，y取最大值4ac-4ac-xb，yxxb，yxxb，yxxb，yx现在我们进一步从函数图象及其变化的角度探讨二次函数的一些问题1yax2bx10x3x2006时的函数值相等,x=2009时的函数值.4.11,Ax1,y0上纵坐标相同的两个点,

yax2bxcy

11y0=ax2+bx+ 11 由(1(2ax2x2bxx0xxxxb

2y-ax2+bx+cx=-b,x=x1+x222图象的对称轴.反之,x=x1+x2为二次函数的图象的对称轴,21,2时的函数值相等.(请同学们自己证明用上述知识可解本题x3x2006时的函数值相等y=ax2bx10x=3+2006=2009. 2x=2009+0x2009x0时的函数值相等.x0时,y10,x2009时,y10.22y2x2bx,x1时,yx的增大而增大,y2x2bx图像的对称轴与增减性x1y2x2bx的拋物线开口向上,x4b1yx的增大而增大b-4因此bb-2.我们知道,二次函数的解析式有两种形式一般式:y=ax2+bx+c(a≠顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中顶点坐标是求二次函数的解析式,a,b,ca,h,k的值.通常需要通过分析二次函数的图象和性质,并运用待定系数法等才能解得.【例3】已知二次函数的图象过点0(0-(25,求此二次函数的解析式,运用待定系数法来确定二次函数的解yax2bxc-

解得b因此,二次函数的解析式为y=2x2-x-【例4(-2,1)(0,1)x2求,再用二次函数的顶点式或一般式解决.-2(0,且顶点到x22x=-2+0-1-2)--2-2)时,y=a(x+1)2+2.因为函数图象-2,a21a-1y--2x+同理--2)时,y3x26x因此,y-x22x1y3x26xA-4,1,B-1,2,C1,y3yx24x5三点,则1,2,3的大小关系是 )A.y1<y2< 已知二次函数y=-x2+2x,当-1<x<a时,y随着x的增大而增大,则a的取值范围为( ).A.a> B.-1<a≤ 已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=m+1时的函数值与当x=1-时的函数值相等,则二次函数的图象 )关于y轴对 B.关于y=1轴对C.关于x=1轴对 D.关于x=2轴对y=m22x22mx1(-1,3)m= 已知某二次函数的图象过点为(-1,1),(1,1)(0,2),式2-18),它与x6,求此二次函数的解析式§4.2我们知道,ax2bxc0yax2bxc的图x轴公共点的横坐标.设Δ=b2-4ac,则当Δ>0时,ax2+bx+c=0x1x2,yax2bxcxx1,0x2,0;当Δ0时,ax2bxc0x1x2=-byax2bxcx-

,0;当Δ0时,ax2bxc0没有实数根,yax2bxcx轴没有公共y=ax2+bx+c(a≠0)xAx1,0,Bx2,0,1,2ax2bxc0的两根,1,2

x1+x2=-b,12=c 因此y=ax2+bx+c=ax2+bx+c=ax2-x1+x2x+x1x2 ax-x1x-x2y=ax-

x-

是表示二次函数的一种解析式(两根式),1,2次方程ax2bxc0的根)x轴的公共点,可转化为讨论相应的一元二次方程实数根的情况,于是可以利用一元二次方程的根的判别式.x2-x+a=0,Δ=1-4Δ14a0,a<4

时,二次函数y=x2-x+a的图象与x有两个公共点4Δ14a0,a=4

时,二次函数y=x2-x+a的图象与x4Δ14a0,a>4

时,二次函数y=x2-x+a的图象与x【例2(-30(0x2,求-30(0,所以可设二次函数为x2,-2)--2-2)时-2,-4a2,a122同理--2)时,-4a-2,a=12因此y=1x2x-3y1x2x+3 【例3】已知二次函数y=ax2+bx+c同时满足下列条件:(1)对称轴为x=(2)15;(3x轴有两个交点,其横坐标的立方17..条件(3可以联系韦达定理解决.5,设二次函数的解析式y=a(x1)2+15.xax22axa150x1ax1x22,12=a+15ax3x3=x

33xxxx8-6(a15)17,a-

1 y-6(x1)215-6x212x函数y=-x2+x-1的图象与x轴的公共点个数是 )A. B C 如图,已知二次函数y=ax2+bx+c点P的横坐标为4,图象交x轴于点A(m,0)和点B, 且m>4,那么AB的长为 A.4+ B.C.2m- D.8- yxcxd4x(6,0)和0,则c= ,d= 二次函数y=-x2+4x+12的图象与x轴交于A,B两点,则A,B之间的距离为 求a的取值范围,使得二次函数y=x2-ax+a-1的图象与x有)已知某二次函数的图象与x轴交于A(-B且过点C(2,4),

§4.3所谓平移变换,就是将一个图形上的所有点,沿同一方向移动相同的距离得到在坐标平面内,可以从函数图象中点的坐标变化来考察函数图象的整体变化【例1y=(x+2y=(x-1)2y=x2的图象变换关系4-x⋯--012⋯y=⋯41014⋯4-x⋯01⋯y=(x+⋯41014⋯4-x⋯-0123⋯y=(x-⋯41014⋯利用描点法画出三个函数的图象(图4.3-y=x+1

yy=x2y=x-1-1 -2,4)yx2的图象上时-24)和同样的规律一般地,(a,b)yx2图象上的任意一点,即b=b=[(a-1)+]2b=[(a+1)-,2由此,yx1)2yx2图象上的所有点,x轴向负方向(左1个单位后得到的图形;yx1)2的图yx2图象上的所有点,x轴向正方向(右1一般地,ya(xh)2(h0)yax2图象上的所有点,x轴向负方向(左)h个单位后得到的图形;y=a(x-h)2(h>0)y=ax2图象上的所有点,x轴向正方向(右)平移h个单位后得到的图形.类似地,还可以得到如下结论yax2k(k0)yax2图象上的所有点,沿y轴向正方向(上)k个单位后得到的图形;y=ax2k(k>0)的图象可以看作是将函数y=ax2图象上的所有点,y轴向负方向(下)k个单位后x-【例2【例2】(1)函数yx-

的图象可以由函数y=

x到xy=13y=

的图象如何变换得到 x(a,b)y=x

y图象上的任意一点则

b=1ab= a(a+3)-

-1 x-即点(a+3,b)在函数y=x-x因此,y=x

图象上的所有点,x轴向正方向(右3个单位x-得到函数y=x-(2)通过列表描点画出两个函数的图象(图4.3 x(a,b)y=x

图象上的任意一点,

b=1aab-3=1-aa

- -x(a,b3)y=13的图象上xx因此,y=x

图象上的所有点,y轴向负方向(下)3x位,y=13的图象x所谓对称变换,就是将一个图形上的每一个点沿一条直线翻折得到一个新的图形(即两个图形关于此直线对称).【例3】函数y=x2-2x的图象是抛物线,系(1)y=x2+2x;(2)y

yy=x2+ y=x2--x2-2x函数的图象(4.34).观察函数图象可以发现,若点(a,b)y=x2-2x图象上的任x22x的图象上-b)

-1

y=-x2+y-x22x,yx22x的图象;yx22xx点后y-x22x的图象一般地,x换成-xy保持不变,得到一个新的函数,y轴的对称变换得到.类似的,y换成-yx保持不变,得到一个新的函数,其图象可看作是原函数的图象通过关于x轴的对称变换得到.【例4yx21的图象yx21的图象的变换关 - -1 2x21,x1x2y=x-1=-x2-1,-1<x<由解析式的特点可知,x1x-1时,y=x21的图象与函yx21重合,x轴上方部分保持不变;-1x1时,yx21y-x21yx21x轴对称,xx轴翻折.yx21(4.3函数y=2x2的图象经过下列某个平移变换得到函数y=2(x1)2+的图象,则.此平移变换是 )1个单位,31个单位,31个单位,31个单位,3x(a,b)y1-x

图象上的一点,那么下列点一定在函数x=1+x

图象上是 )A. B.- C.- D.--y=2x+11个单位得到一个图象,其所对应的函数解析式是().A.y=2x- B.y=2x- C.y=2x+ D.y=2x+将函数y=-x2的图象向（左或右平移 单位,就可得到函数y=-(x+2)2的图象,再将此函数的图象向（上或下平移 位,就可得到函数y=-(x+2)2+3的图象.将函数y=x+1图象上的所有点通过 变换得到函数y=-x+的图象.(只要写出一种你认为合适的图象变换即可试分析函数y= 的图象与函数y=1

的图象的关系,x+ 图象画出函数y=x2-2x-3的图象,并通过图象的变换画出下列函数的图象(1)y=-x2-2x-3;(2)y=x2+2x-3;(3)y=x2-2x-§4.4函数是中学阶段重要的数学知识,在初中我们已经学习了一次函数、二次函,而运用函数的图象和性质去解决相关问题更是一种重要的思想方法.【例1l4.41所示的形状(上部为半圆形,下部为长方形),求此图形的面积的最大值.BC长的变化而变化,由此可选取BCx,x的取值范围,yxy在限定范围内的最大值.BCxAB=l-π+2x0x2l.y=x

-π+2

+1×π

2=lx

xπ+4x8

=-π+4x-

2 π+ 2π+显然,x2l(0x

,y2π+最大值,最大值 2π+

因此,当BC长为2l时,折成的图形面积最大 2π+其最大值 2π+,0x<的条件下,y=lx-π+4x2的最大值 x,x的取值范围x的函数x的限定范围内,求此函数的最值【例22-1≤x≤a(a为大于-1的常数),求函数y=x2My=x2-1≤x≤a截取抛物线yx2的图象,xa与抛物线的对称轴(y轴的相. 1a

a当-1a04.42(1x-1时,y1;x=a时，y有最小值a2.0a14.42(2x-1时,y1;xa1时4.42(3xa时，ya2;x0时，y综合(1)(2)(3) yx2是确定不变的a的变化而变化,y=x2在-1≤x≤a范围内的图象也相应地变化,其最值需要结合函数图象,.解决函数在限定范围上的最值问题,要注意体会数形结合与分类讨论思想在解题中的应yx2-5x4图象的特点,y的范围确定自变量x的相应取值范围吗?(1)y= (2)y> (3)y<y=x2-5x+4x轴公共点的横坐标,y=0,x2-40x的值x25x40x1xy=x2-5x+4的图象(图4.4-3)x轴上方的点的横坐标,>0,x2-5x+4>0x的值,观察图象可知,x<1x>y=x2-5x+4x轴下方的点的横坐标,y<0,x25x40x的值,观察图象可知,1x函数值的范围,x的不等式问题.象,根据图象上点的纵坐标与函数值之间的内在联系,3,解不等式:2x2-5x>-2x2-5x+3>y=2x2-5x+3的图象(图4.4-22x25x30,x1x=322,x轴的上方,y0,2x25x30.22因此2x25x-3x1x>32

O 4y 1324.4-0a的取值范围.a所满足的不等关系由此可得出解答,y=x2-2(a-1)x+2(a-1),则抛物线开口向上,x轴没有公共点.因此Δ<0, y4(x1x3的图象(4.45可得1x3时y04(x1x3

3.因此,不等式(11a3,a1ax-1x2x0的条件下y=x

的函数值的取值范围是A.-1<y<1,且y≠ B.-1<y<1且y≠22Cy-1y>2

2Dy-1y<2y=-2x2+x(0≤x≤2)()8 B.- C.8

D.-)2x B1x Cx-1xD.x<-2或x> y=ax2+bx+c的图象如图所示,式ax2+bx+c<0的解集 ,不等-ax2+bx+c>0的解集为c>0的解

x2y=1x2x1M2 (2)-2≤x≤ (3)2≤x≤试利用函数的图象与性质解不等式(1)-x2+5x> (2)2x2-x>1≤x≤2的条件下,y=-x2+2ax+1(a是实常数)M和最m.20元的价格购进货物,30元的价格售出400件.试销中发现1元,20件,每件售价应为多少元,才能使利润最大?(6小题,5分,30分)y=-x2+2x+3()A.- B.-- C.- D.y=2(x3)2+3y=2作对称后,y=-2(x+1)2+ B.y=-2(x-3)2+C.y=-2(x-3)2+ D.y=-2(x-3)2-y=-x2+4x+6()A.有最大值 B.有最小值 C.有最大值 D.有最大值y=2x2+4x-5,-3≤x<2时,y()A.-3≤y≤ B.-7≤y≤ C.-7≤y≤ D.-7≤y<xx+已知原点为函数y=1图象的对称中心,则函数y= +xx+()A.-- B C.- D.x26xa01x5,a()A. B C D.(4小题6分,24分二次函数y=x2-(m-4)x+2m-3,当m 时,其图象的顶点在y轴上m 时,图象的顶点在x轴上;当m 时,图象过原点已知某二次函数的图象过点(-1,0),(0,3),(1,4),则该二次函数的解析式为 xmx2-x+m<0的解是一切实数,m的取值范围为 要得到函数y= 的图象,把函数y=1的图象向 (左或右)平 x- 位,得到的图象 变换得到(3小题,1215分,1316分,46分解下列不等式3x2-2x-1< (2)2x-x2≥-已知二次函数的图象过点(2,0),其顶点坐标为(3,4),求该二次函数的解析式y=x2-2ax+6,当-2≤x≤2时,a,a的取第五 比和比我们知道,4a,b,c,d成比例,a:b=c:d,也可以写成a=c, a,d叫做比例外项b,c叫做比例内项da,b,c的第四比例项个比例内项相等,a:bb:c(或写成a=

时,bac的 项a=cbdadbc这个推理步骤就是a=c adbc.为了简明,可以把这个推理步骤写成a=c⇒ad=bc. ⇒反过来,adbcbd,a=c, ad=bc⇒a=c. ①②式合起来表明,a=cadbc a=cadbc(bd0), 端推论a=bb2 根据比例的性质定理,一个比例可以得出多种不同的比例变形.例如a=c⇒ad=bc⇒bc=ad⇒b=d adbcbcad,adcb,cbda等多种形式,a= b=da=bc=

等多种不同的形式.也就是说,c d 项可以交换位置,两个外项也可以交换位置,比例的这个性质叫做下面,我们再学习比例的两个重要性质：合比定理a=c⇒a±b=c±d. a=c⇒a1=c1⇒a±b=c±d 等比定理a=c=⋯=m(bdn0a+c+⋯+m=a b+d+⋯ a=c=⋯=mk,abk,cdk,⋯,m a+c+⋯+m=bk+dk+⋯+nk=(b+d+⋯+n)k=k=ab+d+⋯

b+d+⋯

b+d+⋯ 1(1)已知a-b=3,求证:a=11 已知a=c(bd0),求证:a+c=b+d a- b-【证明】(1)因为a-b=3,a-b+b=3+8,所以a=11 (2)因为a=c(bd0),a+c=aa-c=a,所以a+c=a-c 即

bb-

b-a+c=b+a- b-2a=c=e3,bdf4,ace的值 a=c=e3,a+c+e3, b+d+a+c+e=3(b+d+f)=3×4=已知a=c=e2,则2a-c+3e 2b-d+23A. B. C. D.23xy=yz=zx,(xyyzzx)=() A. B C D1已知a:b:c=2:3:4,且2a+b-c=6,则a-b+2c 已知a+b-c=c+a-b=b+c-a,则2a:3b:4c (xy):4y:3x22xy3y2:x2y2的值根据下列各式,a:b的值(1)a+b=3 (2)a=5 b- adbc(a2b,c2d),求证:a+2b=c+2da- c-, §5.25.21中,a,b,c,d,e,fAD上截得五条相等的线段,AD上截得的五条线段也相等吗?请你给出证明.提示:AAEAB,bE;BBFAB,于点F.由平行四边形和全等三角形的性质可证 C Ca,b,fAD,AD得的四条线段AB,BD,AB,BD是否成比例.因

BD=4BD=4,AB=AB

BD=BD

一般地,

DE证:AD=AEAD=AE. EC

APQ⎳DE,PQ⎳DE⎳AD=AE(平行线分线段成比例定理 同理可得AD=AE 1,

推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边 延长线),所得对应线段成比例.【例2△ABC中,AD是角平分线,求证:BD=AB CCEDABAE,BD,DC,BAAE,BD=AB, ACAE即可【证明如图5.2-3,过点C作CE⎳DA,交BA的延长 于点 1∠1= CE⎳DA⇒∠1=∠2=∠E=∠3⇒AE=

⇒∠E=

CE⎳DA⇒BD=

⇒BD= 2

三角内 分线性质理三角的 角的两边对应成比例我们已经学习了相似三角形的一些性质;;相似三角形周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方.可以发现,相似三角形的这些性质都和比例有关.35.24,E,G,F,HABCD四条边上的点EFGHAB2,BC3,EF3.3,HG的长AB,BC,EF,GH之间没有直接的联系,R【解过点B作BN⎳EF交DC于点N,过点A作AH AM⎳HG交BC于点M,AM,BN相交于点R. 因为在矩形ABCD中AB⎳DC,AD⎳BC,所以四边ER形EBNF和四边形AMGH都是平行四边形,EF=BM BN,HG=AM

EFHG,BN⎳EF,AM⎳GH,BNAM.∠ABRBARABCD中,∠ABCC90∘,所以∠ABRCBN90∘,∠BAR∠CBN.△ABMBCN,

=BC=3 EF:HG3.3:HG=3:2,HG如图,Rt△ABC中,ABAC,AB3,AC4,PBC边上一点,PEE,PDACD.BPx,PDPEx+ B.4-

12x- RQ C (第2题如图,ABCDACED都是平行四边形,RDE的中点,BR分别AC,CDP,Q,BP:PQ:QR()A. B. C. 已知在△ABC中AD是角平分线,AB5cm,AC4cm,BC7cm,BD cmDC= 如图,斜拉桥是利用一组钢索,把桥面重力传递到耸立在两侧高塔上的桥梁,它不需要建造桥墩,其中A1B1,A2B2,A3B3,A4B是斜拉桥上互相平行的钢索,且A1A2=A2A3=A3A4.若最长的钢索A1B1=80m,最短的钢索A4B4=20m,那么钢索A2B2= mA3B3= m.

(第5题如图,已知在△ABC中,AB6,BC8,AC7,MN⎳ACAB,BC于如图△ABC中PBC上一点,DAC上一点,且∠APD3=D=2,求△ABC的边长3 EF C (第7题如图在△ABC中DEBC,ABAD求证FAD的中点如图在△ABC中∠BAC90∘,AD是高且∠BAEC求证:BDEC=AEAD.A 一选择题本题有6小题,每小 分 若x=y=z≠0,则下列各式中正确的是 ) x+y=

2x= C.x+y+z= D.x+4=z+ 下列命题30∘的两个等腰三角形相似∘相似三角形一定是全等三角形其中正确命题的个数是( A. B. C. 如图,2个小正方形,如果它们的面积分别是1,2那么1,的大小关系是 S1> B.S1=C.S1< D.1,2A (4题

BE 如图AB,BCD的中点,CD是水平的,在阳光的照射下,DECD12mDE=18m,1.6m.同一时刻,E处,影子在坡面上,小华站在平地上,2m1m那AB为()A.24 B.22 C.20 D.18如图ABCD中∠DBC45∘,DEBCE,BFCD于FDE,BFH,BF,ADG,有下列结论:(1)DB=2BE;(2)∠A=∠BHE;(3)AB=BH;(4)△BHD∼其中正确的结论是 A.(1)(2) B.(1)(2) C.(1)(2) D.(2)(3) 如图,ABCD中,∠B=∠D=90∘,MP⊥BCP,MQ⊥ADQ,则MP+MQ的值为 8A.8

7B.7

C.

7二填空题(本题有4小题,每小 分共27在一张比例尺为1:50000的地图上,一块多边形地区面积是120cm2,这个地区的实际面积是 cm2(用科学A如图,AD⎳BE⎳CF,AB:BC=3:4,AD=8,CF=12,BE= 已知D,E分别是△ABC的AB,AC边上的点,且△ADEC与△ABC相似.若AD=8cm,DB=5cm,AC=12cm,则EC= 如图,1的△ABC作,分别延长AB,BC,CAA1,B1,C1,A1B=2B,B12BC,C12CA,A1,B1,C1得到△A1B1C1,记其面积为S1;第二次操作,A1B1B1C1,C1A1A2,B2,C2,A2B1=2A1B1,B2C1BCCA=2C1A1,ABC得到

DE 记其面积为S2⋯⋯按此规律继续下去,可得到AC则其面积S5= 3小题,123如图ABCDBCECEAC,AEDCF,CE:FC的值

10DF (11题如图,Rt△ABC中,ABAC,ADBC,EAC的中点,ED的延长ABF求证:ABFAACFD.AE FAD是△ABC的角平分线,BH⊥AD,H,CK⊥ADK,证:AB=DH AK H

从一点向一直线所引垂线的垂足叫做这个点在这条直线上的正射影6.11中AAMNAAMN上的正射影AMN上的点,AMN上的正射影就是它本身.一条线段在直线上的正射影,是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.6.12中,ABABMNAB,ABABMN上的正射影.点和线段的正射影简称为射影B

图6.1- 图6.1-如图6.1-3,△ABC是直角三角形,CD为斜边 上的的高在这个图形中ADCD,BDCD,BCAC等相互垂直,因此可以从射影的角度来考察它们的关系.你能发现这些线段之间的某些关系吗 实际上,有些关系是非常明显的.例如,由△BDC为直角三角形可知BD<BC;S△ABC=1ACBC=1CDAB,ACBCCDAB;等等. Rt△ACDRt△CBD因为∠ACD90∠BCD,∠B90∠BCD所以∠B=∠ACD△ACD∾△CBD.AD=CD CD2=AD⋅ Rt△BDCRt因为∠B是公共角所以△BDCBD=BC BC2=BD⋅ 同理由△CDABCAAC2=AD⋅ 123式反映了直角三角形的两直角边在斜边上的射影与其他线段之间的关系,因而把这三个等式统称为直角三角形的射影定理.射定理 角斜 的是 射的例 直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项16.1-4,OCAB上D,AD2,DB8CD,AC的长∠ACB是半圆上的圆周角,∠ACB90∘,△ABC为直角三角形.CD2=AD⋅DB=2×8=6D=4AC2=AD⋅AB=2×10=20,AC=2BC2=BD⋅AB=8×10=80,BC=426.1-5,ABCD的两边分512,△ABCAC折叠后△ACECDAE相交DE的长.D,前后图形必全等,由此要善于找出相等的角与线段.定理计算AM的长 ,

B 6.1ECN 6.1M,N.△ADCCEA,DMEN,AMCNDMEN,DMNE为矩形,DEMNRt△ADC中,ACDAMAC,AM=25MNAC2AM13-50=119DE=119

6D,E,F,求证:∠CABCFE.∠CAB=∠CFE,只需证明△CEF∽△【证明在Rt△ADC中,CD2 CE⋅ Rt△BDC中,CD2CF故CE⋅CA=CF⋅CB,即CE . .又因为∠ACB为公共角,△CEF∽

6.1∠CAB在直角三角形中,26, 和 ,斜边上的高为 1:2BC CDRt△ABC斜边上的高,S△ABC20,AB10,AD如图,a,b,ab的比例中项 △ABC中,CABD,CD2=ADDB,求证△ABC是直角三角形如图,△ABC中,ADBC,DEAB,DFAC,则下列结论中,哪些是成立的?哪些是不成立的?为什么1DE2=AE⋅BE;2AD2=AF⋅AC;3AD2=AE∙AB;4AD2=BD

5BD2+CD2=BE∙AB+CF∙AC;6AB=AF 7ABACAB2AC2BDCDAB+DF∙AC.

BC;8AD∙BC=DEAEF CE (第7题如图,△ABC中,∠ACB90∘,CDABD,MAB的中点,CD上,MEBEE,求证:BC=§62

6.21,△ABC中,AD,BE,CF内角的平分线.记AD和BE的交点为I,过I分 作AB,BC,CA三边的垂线,垂足分别为M,N,P. 根据角平分线性质,IP=IM,IM=IN,所以IP PIN.因此,点I在角C的平分线上,即CF通过 I.也就是说三条内角平分线交于一点,三角形的内心内心与各顶点的连线平分各角,内心到三角形三边的距离相等,因此内心是三角形内切圆的圆心.

D 2a,b,r,求证:r=a+b-c2【证明如图6.2-2,设D,E,F为切点,由圆的切线 质可知,CDIE为正方形,CDCEr.BD=a-r,AE=b-r.又因为BD=BF,AE= BFAFAB,所以(arbrc,ra+b- 如图6.2-3,在△ABC中,直线l,m,n分 为三条边的垂直平分线.l,mO,则根据垂直平分线性质,得到AO BO,BO=CO,所以AO=CO,得到O n上.这样,我们就知道了,的三条垂直平分线交于一点其交点叫做 B根据垂直平分线的性质,的性质

m外心到三顶点的距离相等,因此外心就是三角形外接圆的圆心过外心作一边的垂线平分此边外心与一边中点的连线垂直于此边直角三角形的外心就是斜边的中点,锐角三角形的外心在三角形内,而钝角三角形的外心在三角形外.36.24在△ABC中AD,BE,CFBC,AC,AB边上的中线BE,CF交于G,BG,CGM,NE,F分别AC,AB的中点,EFMN.因此,四边形MNEF为平行四边形.于是,GMMBGE,GFGNNC.BBG:GE=G=同理,BEADG,

F G AG:GD=2:1,BG:GE=GG重合因此此点就叫做三角形的重心.2:1.26.25,△ABCGIGIBC,求证:AB+AC=2BCAG,AI,并延长它们,延长线分别交BCD,E,IC,AD为中线,AE,CI为角平分

GIBCAI=AG △CAE中,有AC=AI2,AC 同理可得AB=

6.2因此,ABAC2(BECE1:2的比和内角平分线定理解答.除此之外,也可以利用面积法来解决,我们将在6.3节证明.6.26,△ABC中,AD,BE,CF分别为三边的高ABC边的平行线BCA边的平行线,C作边AB的平行线,三条平行线相交成于是四边形ABCBACBCCABA形AD,BE,CF△ABC三边的垂直平分线,△ABC的外心因此AD,BE,CF因此,三角形三条高线交于一点,这点叫做三角形的垂心

62顶点与垂心的连线垂直于对边;直角三角形的垂心即为直角顶点,锐角三角形的垂心在三角形内,而钝角三角形的垂心在三角形外.等腰三角形底边上三线()合一.因此在等腰三角形中,IGHO必在同一条直线上.而正三角形作为特殊的等腰三角形,四心()合一,这点称为正三角形的3△ABC中,ABAC5,BC6.求△ABC△ABC△ABC,因而在等腰三角形ABC中,三角形的IO在底边的高线上.【解】(1)6.27,ADBCABACDBC的中点,AD=AB2-BD2=2S△ABC=1×6×4=26.28I为内心I到三边的距离均为r,

S△ABCS△IABS△BCS△IAC,12=1AB⋅r+1BC⋅r+1CA⋅2r=