2025版高考数学一轮复习课时作业26平面向量的概念及其线性运算理含解析新人教版

PAGEPAGE1课时作业26平面对量的概念及其线性运算一、选择题1．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq\o(EB,\s\up14(→))＋eq\o(FC,\s\up14(→))＝(A)A.eq\o(AD,\s\up14(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up14(→))C.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up14(→)) D.eq\o(BC,\s\up14(→))解析：由题意得eq\o(EB,\s\up14(→))＋eq\o(FC,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(CB,\s\up14(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→)))＝eq\o(AD,\s\up14(→)).2．已知O是正六边形ABCDEF的中心，则与向量eq\o(OA,\s\up14(→))平行的向量为(B)A.eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))B.eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))C.eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AF,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))D.eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＋eq\o(DE,\s\up14(→))解析：eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＝2eq\o(AO,\s\up14(→))＝－2eq\o(OA,\s\up14(→)).3．设向量a，b不共线，eq\o(AB,\s\up14(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up14(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up14(→))＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为(B)A．－2B．－1C．1D．2解析：因为eq\o(BC,\s\up14(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up14(→))＝a－2b，所以eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(BD,\s\up14(→))共线．设eq\o(AB,\s\up14(→))＝λeq\o(BD,\s\up14(→))，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.4．(2024·福建高三质检)庄重漂亮的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个特别美丽的几何图形，且与黄金分割有着亲密的联系．在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且eq\f(PT,AT)＝eq\f(\r(5)－1,2).下列关系中正确的是(A)A.eq\o(BP,\s\up14(→))－eq\o(TS,\s\up14(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(RS,\s\up14(→)) B.eq\o(CQ,\s\up14(→))＋eq\o(TP,\s\up14(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(TS,\s\up14(→))C.eq\o(ES,\s\up14(→))－eq\o(AP,\s\up14(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(BQ,\s\up14(→)) D.eq\o(AT,\s\up14(→))＋eq\o(BQ,\s\up14(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up14(→))解析：由题意得，eq\o(BP,\s\up14(→))－eq\o(TS,\s\up14(→))＝eq\o(TE,\s\up14(→))－eq\o(TS,\s\up14(→))＝eq\o(SE,\s\up14(→))＝eq\f(\o(RS,\s\up14(→)),\f(\r(5)－1,2))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(RS,\s\up14(→))，所以A正确；eq\o(CQ,\s\up14(→))＋eq\o(TP,\s\up14(→))＝eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(TP,\s\up14(→))＝eq\o(TA,\s\up14(→))＝eq\f(\r(5)＋1,2)eq\o(ST,\s\up14(→))，所以B错误；eq\o(ES,\s\up14(→))－eq\o(AP,\s\up14(→))＝eq\o(RC,\s\up14(→))－eq\o(QC,\s\up14(→))＝eq\o(RQ,\s\up14(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(QB,\s\up14(→))，所以C错误；eq\o(AT,\s\up14(→))＋eq\o(BQ,\s\up14(→))＝eq\o(SD,\s\up14(→))＋eq\o(RD,\s\up14(→))，eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up14(→))＝eq\o(RS,\s\up14(→))＝eq\o(RD,\s\up14(→))－eq\o(SD,\s\up14(→))，若eq\o(AT,\s\up14(→))＋eq\o(BQ,\s\up14(→))＝eq\f(\r(5)－1,2)eq\o(CR,\s\up14(→))，则eq\o(SD,\s\up14(→))＝0，不合题意，所以D错误．故选A.5．如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，eq\o(BC,\s\up14(→))＝3eq\o(EC,\s\up14(→))，F为AE的中点，则eq\o(BF,\s\up14(→))＝(C)A.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up14(→)) B.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up14(→))C．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up14(→)) D．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up14(→))解析：eq\o(BF,\s\up14(→))＝eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(AF,\s\up14(→))＝eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up14(→))＝－eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up14(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up14(→))＋\o(CE,\s\up14(→))))＝－eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up14(→))＝－eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,6)(eq\o(CD,\s\up14(→))＋eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up14(→)).6．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近点A的三等分点，点P在线段BN上且eq\o(AP,\s\up14(→))＝(m＋eq\f(2,11))eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(2,11)eq\o(BC,\s\up14(→))，则实数m的值为(D)A．1B.eq\f(1,3)C.eq\f(9,11)D.eq\f(5,11)解析：eq\o(AP,\s\up14(→))＝(m＋eq\f(2,11))eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(2,11)eq\o(BC,\s\up14(→))＝(m＋eq\f(2,11))eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(2,11)(eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→)))＝meq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up14(→))，设eq\o(BP,\s\up14(→))＝λeq\o(BN,\s\up14(→))(0≤λ≤1)，则eq\o(AP,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋λeq\o(BN,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋λ(eq\o(AN,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up14(→))＋λeq\o(AN,\s\up14(→))，因为eq\o(AN,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up14(→))，所以eq\o(AP,\s\up14(→))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,3)λeq\o(AC,\s\up14(→))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1－λ，,\f(2,11)＝\f(1,3)λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,11)，,m＝\f(5,11)，))故选D.7.(2024·河北、河南、山西三省联考)如图，在等边△ABC中，O为△ABC的重心，点D为BC边上靠近B点的四等分点，若eq\o(OD,\s\up14(→))＝xeq\o(AB,\s\up14(→))＋yeq\o(AC,\s\up14(→))，则x＋y＝(B)A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：设点E为BC的中点，连接AE，可知O在AE上，由eq\o(OD,\s\up14(→))＝eq\o(OE,\s\up14(→))＋eq\o(ED,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up14(→))＋eq\f(1,4)eq\o(CB,\s\up14(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→)))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AC,\s\up14(→)))＝eq\f(5,12)eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\f(1,12)eq\o(AC,\s\up14(→))，故x＝eq\f(5,12)，y＝－eq\f(1,12)，x＋y＝eq\f(1,3).故选B.8．(2024·辽宁丹东联考)P是△ABC所在平面上的一点，满意eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PB,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))＝2eq\o(AB,\s\up14(→))，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为(A)A．2B．3C．4D．8解析：∵eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PB,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))＝2eq\o(AB,\s\up14(→))＝2(eq\o(PB,\s\up14(→))－eq\o(PA,\s\up14(→)))，∴3eq\o(PA,\s\up14(→))＝eq\o(PB,\s\up14(→))－eq\o(PC,\s\up14(→))＝eq\o(CB,\s\up14(→))，∴eq\o(PA,\s\up14(→))∥eq\o(CB,\s\up14(→))，且方向相同，∴eq\f(S△ABC,S△PAB)＝eq\f(BC,AP)＝eq\f(|\o(CB,\s\up14(→))|,|\o(PA,\s\up14(→))|)＝3，∴S△PAB＝eq\f(S△ABC,3)＝2.二、填空题9．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，则eq\o(DC,\s\up14(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up14(→))＝－a－b.(用a，b表示)解析：如图，eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(OC,\s\up14(→))－eq\o(OB,\s\up14(→))＝－eq\o(OA,\s\up14(→))－eq\o(OB,\s\up14(→))＝－a－b.10．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若eq\o(BD,\s\up14(→))＝xeq\o(AB,\s\up14(→))＋yeq\o(AC,\s\up14(→))＋zeq\o(AS,\s\up14(→))，则x＋y＋z＝0.解析：依题意得eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AS,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→)))－eq\o(AB,\s\up14(→))＝－eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AS,\s\up14(→))，因此x＋y＋z＝－1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝0.11．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up14(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up14(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up14(→))＝－5a－3b，则四边形ABCD的形态是梯形．解析：由已知得eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2eq\o(BC,\s\up14(→))，故eq\o(AD,\s\up14(→))与eq\o(BC,\s\up14(→))共线，且|eq\o(AD,\s\up14(→))|≠|eq\o(BC,\s\up14(→))|，所以四边形ABCD是梯形．12．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，点E在线段CD上，若eq\o(AE,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋μeq\o(AB,\s\up14(→))，则μ的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).解析：由题意可求得AD＝1，CD＝eq\r(3)，所以eq\o(AB,\s\up14(→))＝2eq\o(DC,\s\up14(→)).∵点E在线段CD上，∴eq\o(DE,\s\up14(→))＝λeq\o(DC,\s\up14(→))(0≤λ≤1)．∵eq\o(AE,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(DE,\s\up14(→))，又eq\o(AE,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋μeq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋2μeq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\f(2μ,λ)eq\o(DE,\s\up14(→))，∴eq\f(2μ,λ)＝1，即μ＝eq\f(λ,2).∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤eq\f(1,2).即μ的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).13．(2024·湖南湘东五校联考)已知圆心为O，半径为1的圆上有不同的三个点A，B，C，其中eq\o(OA,\s\up14(→))·eq\o(OB,\s\up14(→))＝0，存在实数λ，μ满意eq\o(OC,\s\up14(→))＋λeq\o(OA,\s\up14(→))＋μeq\o(OB,\s\up14(→))＝0，则实数λ，μ的关系为(A)A．λ2＋μ2＝1 B.eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝1C．λμ＝1 D．λ＋μ＝1解析：解法1：取特别点，取C点为优弧AB的中点，此时由平面对量基本定理易得λ＝μ＝eq\f(\r(2),2)，只有A符合．故选A.解法2：依题意得|eq\o(OA,\s\up14(→))|＝|eq\o(OB,\s\up14(→))|＝|eq\o(OC,\s\up14(→))|＝1，－eq\o(OC,\s\up14(→))＝λeq\o(OA,\s\up14(→))＋μeq\o(OB,\s\up14(→))，两边平方得1＝λ2＋μ2.故选A.14．在△ABC中，已知AB⊥AC，AB＝AC，点M满意eq\o(AM,\s\up14(→))＝teq\o(AB,\s\up14(→))＋(1－t)eq\o(AC,\s\up14(→))，若∠BAM＝eq\f(π,3)，则t＝eq\f(\r(3)－1,2).解析：由题意可得eq\o(AM,\s\up14(→))＝teq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))－teq\o(AC,\s\up14(→))，所以eq\o(AM,\s\up14(→))－eq\o(AC,\s\up14(→))＝teq\o(AB,\s\up14(→))－teq\o(AC,\s\up14(→))，即eq\o(CM,\s\up14(→))＝teq\o(CB,\s\up14(→))，所以eq\o(CM,\s\up14(→))与eq\o(CB,\s\up14(→))共线，即B，M，C三点共线，且t＝eq\f(|\o(CM,\s\up14(→))|,|\o(CB,\s\up14(→))|).又由条件知|eq\o(BC,\s\up14(→))|＝eq\r(2)|eq\o(AC,\s\up14(→))|，所以t＝eq\f(|\o(CM,\s\up14(→))|,\r(2)|\o(AC,\s\up14(→))|).在△ABC中，由正弦定理知eq\f(|\o(CM,\s\up14(→))|,|\o(AC,\s\up14(→))|)＝eq\f(sin30°,sin105°)＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝eq\f(2,\r(6)＋\r(2))，所以t＝eq\f(2,\r(2)×\r(6)＋\r(2))＝eq\f(\r(3)－1,2).eq\a\vs4\al(尖子生小题库——供重点班学生运用，一般班学生慎用)15．(2024·广东七校联考)P，Q为三角形ABC中不同两点，若eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PB,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(QA,\s\up14(→))＋3eq\o(QB,\s\up14(→))＋5eq\o(QC,\s\up14(→))＝0，则S△PABS△QAB为(B)A.eq\f(1,3)B.eq\f(3,5)C.eq\f(5,7)D.eq\f(7,9)解析：令D为AC的中点，eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PB,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))，化为eq\o(PA,\s\up14(→))＋eq\o(PC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(PB,\s\up14(→))，即2eq\o(PD,\s\up14(→))＝eq\o(AP,\s\up14(→))，可得AC＝3AP，且点P在AC边上，则S△PAB＝eq\f(1,2)S△ABC，设点M，N分别是AC，AB的中点，则由eq\o(QA,\s\up14(→))＋3eq\o(QB,\s\up14(→))＋5eq\o(QC,\s\up14(→))＝0可得2eq\o(QM,\s\up14(→))＋6eq\o(QN,\s\up14(→))＋eq\o(QC,\s\up14(→))＝0，设点T是CN的中点，则2eq\o(QM,\s\up14(→))＋5eq\o(QN,\s\up14(→))＋2eq\o(QT,\s\up14(→