第2讲 正余弦定理-《温故知新》2025-2026学年高一数学下学期复习课（人教A版2029必修第二册）（解析版）

第2讲正余弦定理考点一边角互换【例1】（1）（2025·江西）记的内角的对边分别为，已知，则=（2）（2025·江西）在中，已知角的对边分别是，且，则=（3）（2025·贵州）已知的内角的对边分别为，且，则=（4）（2025·福建）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则=（5）（2024广西）已知的内角、、的对边分别为、、，且，则B=。（6）（2025·云南）的内角的对边分别为，且，则=【答案】(1)（2）（3）(4)（5）（6）【解析】（1）由及余弦定理，得又（2）由题设及余弦定理知，整理得，所以，，则；（3）因为，所以，即，得到，又，则，所以，解得.（4）在中，由及正弦定理得，即，即，而，即，则，又，所以.（5）解：，，则，即，，则，，即有，可得，，则，，解得.（6）因为，可得，所以由正弦定理可得，又为三角形内角，，所以，因为，所以，可得，所以.【变式】1.（24-25广东深圳·期末）记的内角A，B，C的对边分别为，则B=。【答案】【解析】由正弦定理得，因为，所以，因为，，所以，，又，解得；2.（24-25高三上·北京昌平·期末）在中，，.则=【答案】【解析】因为，由正弦定理，得.因为在中，，所以.所以.因为，所以.（2024·广东韶关）已知分别为三个内角的对边，且，则=【答案】【解析】由b及正弦定理得所以因为化简得因为，所以，所以所以.4.（24-25安徽马鞍山·阶段练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，且，=【答案】【解析】由题，因为，所以．5.（2025·河南郑州·模拟预测）已知在△ABC中，，则A=【答案】【解析】由题意，，即，化简得，即，故或，又，解得或（舍去），故．6.（2024广东揭阳）在中，角的对边分别为a，b，c，且．则B=【答案】【解析】因为，即，即，即，因为，所以，且，所以等式可化为，即，即，因为，所以；7.（24-25贵州遵义）在中，角，，的对边分别为，，，且满足.则B=【答案【解析】因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以.8.（2025·四川）记锐角的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知,=【答案】【解析】因为，所以，所以，又因为，所以，应用正弦定理得，所以，因为，所以，所以，所以.考点二三角形形状的判断【例2-1】（24-25高一下·江苏常州·期中）在中，已知，则△ABC的形状是（

）.A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰或直角三角形【答案】B【解析】在中，因为，由正弦定理，可得又因为，所以，即，所以，因为，可得，所以，又因为，所以，所以为直角三角形.故选：B.【例2-2】（24-25高一下·重庆江津·阶段练习）的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（

）A．等腰非直角三角形 B．直角非等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】因为，所以，整理得，又，所以，即，即，又，所以，得，因为，所以，所以，故为等腰非直角三角形.故选：A【变式】1．（浙江省A9协作体2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题）在三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则三角形的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】因为，所以由余弦定理，整理化简得.所以即，或即，所以三角形ABC的形状为等腰或直角三角形.故选：D2．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（

）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形【答案】B【解析】由，可得，，所以，，故，因为，所以，，即是直角三角形.故选：B.3．（24-25高一下·广东广州·阶段练习）在中，已知，且，则的形状（

）A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】由.所以，又，所以.由，所以,又为三角形内角，所以，故，即.综上可知：为等边三角形.故选：C4．（24-25上海闵行·期中）在中，已知，且，则的形状为（

）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．有一个角为的直角三角形 D．等边三角形【答案】D【解析】由可得，又，所以，由和正弦定理可得，即，所以，所以，所以的形状为等边三角形，故选：D.5．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知分别为三个内角的对边，下列四个命题中错误的是（

）A．若，则是锐角三角形B．若，则是等腰三角形C．若，则是等腰三角形D．【答案】B【解析】对于A，在中，由，得，整理得，则都是锐角，是锐角三角形，A正确；对于B：由及正弦定理得，即，则或，即或，因此是等腰三角形或直角三角形，B错误；对于C，由及正弦定理，得，即，而是的内角，则，是等腰三角形，C正确；对于D，由是的内角及正弦定理，得，D正确.故选：B考点三三角形的周长与面积【例3-1】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，且，则的面积.【答案】【解析】由及正弦定理得，因为，所以，所以，故，又因为，所以，由，得，由余弦定理得，所以的面积.故答案为：【例3-2】（24-25高一下·江西宜春·期中）的内角的对边分别为，已知．(1)求角B的大小：(2)若的面积为，求的周长．【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，所以，所以，所以，因为，所以；（2）因为，所以，由余弦定理得，所以，所以，所以的周长为.【变式】1．（2025·江西）已知的内角的对边分别为．已知．(1)求角：(2)若，求的面积．【答案】(1)(2)【解析】1）因为，由正弦定理得在中，，则，即，故．（2）由余弦定值知：，即，则，所以．2．（24-25甘肃临夏·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有．(1)求角A；(2)若的面积为，，求的周长.【答案】(1)(2)【解析】（1）在中，，由正弦定理，有，也即，即，，因此有，从而，解得．（2）由余弦定理，得，又，所以，所以，所以的周长为．3．（24-25高一下·河南·期中）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求B；(2)若，，求的面积．【答案】(1)或(2)【解析】（1）由，及正弦定理得，因为为三角形内角，故，故得，又为三角形内角，所以或.（2）由，得，又，所以，所以.由（1）得，故，所以，而为三角形内角，所以，，结合，可得.由正弦定理，得，故的面积.考点四三角形个数的判断【例4-1】（2025高三·全国·专题练习）在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，由，，可得，所以三角形只有一解；对于B，由，可得，所以，此时三角形有唯一的解；对于C，由正弦定理，可得，可得B有两解，所以三角形有两解；对于D，由余弦定理得，可得c有唯一的解，所以三角形只有一解．故选：C．【例4-2】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，若满足条件的有两个，则b的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由正弦定理可得，则，因为，且满足条件的有两个，所以，且（当时，三角形只有一解），此时，则.故选：B【变式】1．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（

）．A．，，，无解 B．，，，有一解C．，，，有两解 D．，，，有两解【答案】A【解析】对于A，由正弦定理，可得，三角形无解，故A正确；对于B，因为，且，由大边对大角可知角不存在，故三角形无解，故B错误；对于C，由正弦定理可得，此时，三角形有一解，故C错误；对于D，由正弦定理可得，三角形无解，故D错误；故选：A2．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为且，有两解，所以，得．故选：C3．（2025河南洛阳·阶段练习）在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】由正弦定理可得，若A成立，，，，有，∴，∴，故三角形有唯一解．若B成立，，，，有，∴，又，故，故三角形无解．若C成立，，，，有，∴，又，故，故可以是锐角，也可以是钝角，故三角形有两个解．若D成立，，，，有，∴，由于，故为锐角，故三角形有唯一解．故选：C．考点五正余弦定理在几何中的应用【例2】．（23-24高一下·北京·期中）如图，在梯形ABCD中，，，(1)求；(2)求BC的长．【答案】(1)；(2).【解析】（1）在中，，，则、均为锐角，则，，.（2）在中，由正弦定理得，，由，得，在中，由余弦定理得：，所以.【变式】1．（23-24高一下·广东佛山·期中）在四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，.(1)求的大小；(2)求的值.【答案】(1)(2)【解析】（1）在中，由正弦定理得，所以，因为，两式相除得，所以，又因为，可得，所以.（2）因为，所以，又因为平分，可得，因为，且，，所以，即，解得，在中，由余弦定理得，所以.2．（24-25江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，．(1)求四边形的周长；(2)求四边形的面积．【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，，所以，在中，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以四边形的周长为；（2）因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以四边形的面积为．3．（2025广东湛江·阶段练习）如图，四边形ABCD的内角，，，，且．

(1)求角B；(2)若点是线段上的一点，，求的值．【答案】(1)(2)【解析】（1）设，在中由余弦定理得，即①，又在中由余弦定理得，即②，因为，则，联立①②可得（负值舍去），，因为，所以．（2）在中，由正弦定理知，，所以，又，故，在直角三角形中，由勾股定理知，，此时．

考点六三角形中的中线、角平分和高【例6-1】（2025北京）已知的面积为，，，的内角平分线交边于点，则的长为（

）A． B． C． D．7【答案】A【解析】因为的面积为，，，所以，得．由余弦定理，得．因为平分，所以．又因为的面积为，所以的面积为．所以，得．故选：A．【例6-2】（2025高一·全国·专题练习）已知中，分别为角，C的对边，.(1)求B；(2)若，点D是AC的中点，且，求的面积.【答案】(1)(2)【解析】（1）在中由正弦定理及已知条件，可得，因为，所以，所以，所以，所以.因为，所以.所以，即；（2）因为点D是AC的中点，所以，即，故．又，，所以.因为，所以，即，则，.所以的面积为:.【变式】1．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）设分别为三个内角，，的对边，已知.(1)求；(2)若，是的平分线且交于点，求线段的长.【答案】(1)(2)【解析】（1）由正弦定理可知，所以，即，则，因为，所以，则，所以；（2）因为，所以，则，解得.2．（24-25湖南·期中）在中，分别为角的对边，.(1)求角的大小；(2)若为的中点，，的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，即；（2）因为的面积为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，，由余弦定理可得，解得，所以，所以的周长为.3．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）在中，角的对边分别是，且.(1)求角的大小；(2)若，为边上的一点，，且______，求的面积.（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.①是的平分线；②为线段的中点.(3)若为锐角三角形，求边上的高取值范围.【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）在中，：结合正弦定理可得：由得，，，，又，所以．（2）若选①：由平分得：，，即．在中，由余弦定理得，则，联立，得，解得，；若选②：由题设，则，所以，在中，由余弦定理得，则，联立，得，．（3）由正弦定理得，故,由于为锐角三角形，故,故，因此，故当，即时，此时取到最大值，当或，即或时，此时，因此，故三角形的面积为，故边上的高为，考点七三角形的最值（取值范围）【例7-1】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，.(1)若，的面积为，求；(2)若，①求的值：②求面积的最大值；③求周长的取值范围.【答案】(1)；(2)①；②；③.【解析】（1）由题设及余弦边角关系有，所以，则，且，在三角形中有，又，可得，结合，则；（2）①由（1）有，则，所以；②由，当且仅当时取等号，所以，即面积最大值为；③由，则，当且仅当时取等号，所以周长.【例7-2】（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知．(1)求；(2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，由正弦定理得，故，在中，，，所以，，则，可得，所以，所以．（2）由正弦定理可得（为外接圆的半径），所以，因为，则，，所以，因为为锐角三角形，则，解得，则，，故周长范围为．【例7-3】．（2025河南）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，．(1)求证：；(2)若，求周长的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）由，得，由余弦定理得，即，由正弦定理得，所以．所以，即．所以或，即或．因为，，所以．（2）因为为锐角三角形，所以即解得．因为，由正弦定理得，所以，由正弦定理得，故的周长．令，由（1）知，所以．因为函数在上单调递增，所以周长的取值范围为．【变式】1．（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知：的角A，B，C的对边分别为a，b，c．(1)求角A：(2)若

求周长的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，所以由正弦定理有，即，所以，因为，所以．（2）因为，所以由正弦定理得，所以的周长，因为，所以，所以周长的取值范围是．2．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）锐角的内角，，的对边分别为，，.已知.(1)求；(2)若，求面积的最大值；(3)若，求周长的取值范围.【答案】(1)(2)(3).【解析】（1）由，可得，又为锐角三角形，则，所以，所以，又，所以.（2）由余弦定理知，，当且仅当时，等号成立.因为，所以，故的面积，所以面积的最大值为.（3）由正弦定理知，所以，，则的周长为.因为，所以.因为为锐角三角形，所以，解得，所以，则，故周长的取值范围为.3．（24-25广东深圳·阶段练习）记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知.(1)求；(2)若，求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，由正弦定理可得因为，则，所以，又因为，所以，则，因为，则，即，所以.（2）因为是锐角的内角，又因为，所以，，得，由正弦定理，得，所以，，所以，由，得，所以，即，所以面积的取值范围是.4．（2025·河北沧州）在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角C的大小；(2)若，求周长的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）在锐角三角形中，因为，所以由正弦定理得，故，即，即，即，所以，即，由余弦定理得，因为，所以．（2）因为，由正弦定理，所以，，设的周长为，则，因为在锐角三角形中，所以，，所以，解得，所以，所以，故，则，即，故周长的取值范围为．单选题1．（24-25贵州贵阳·阶段练习）在中，若，则为（

）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由，又，所以或，为等腰三角形或直角三角形，故选：D.2．（24-25高一下·安徽宿州·期中）记的三个内角、、所对的边分别为、、，已知，，，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知及余弦定理得，解得（负值舍去），所以的面积为.故选：A.3．（24-25高二下·湖南·期中）的内角的对边分别为，已知，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，由余弦定理得，所以，所以的面积为，故选：C.4．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且的面积，则（

）A．8 B． C． D．4【答案】D【解析】因为，，所以，得，因为，所以由余弦定理得，，所以，所以，所以，因为，所以.故选：D5．（24-25高一下·湖南永州·阶段练习）在中，，，其面积为，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，，即，解得，由余弦定理得，即，由正弦定理（为三角形外接圆半径），可得：，故选：C.6．（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，那么该三角形解的情况为（

）A．无解 B．恰有一解 C．恰有两解 D．不能确定【答案】C【解析】中，则，而，，所以，显然满足的三角形恰有两个.故选：C7．（24-25福建南平·期中）在△中，内角的对边分别为，已知向量共线，则△的形状为（

）A．等边三角形 B．钝角三角形C．有一个内角是的直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】因为向量，共线，则，由正弦定理可得：，则，因为，则，可知，，，均不为，可得，则，即；同理由向量，共线可得：；综上所述：.所以的形状为等边三角形.故选：A8．（2025·辽宁）如图，在四边形中，，，，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，则，设，则，，在中，，，故，由正弦定理可得，则，在中，由余弦定理可得，即，解得，故.故选：C.多选题9．（24-25宁夏·期中）在中，，，，的角平分线交于，则（

）A．是钝角三角形 B．C． D．【答案】BCD【解析】由题意可知边长最大，即B是最大角，由余弦定理知，则，是锐角三角形，故A错误；由余弦定理知，则，故B正确；由上可知，作出三角形图形如上，由平分，可知，即，故C正确；作，易得均为等腰直角三角形，且，所以，故D正确.故选：BCD10．（23-24高一下·山东青岛·期中）在中，角所对的边分别为，若，且，则下列结论一定成立的是（

）A．B．的面积为C．的周长为D．外接圆半径为【答案】BC【解析】，，可得，可得外接圆半径，故D错误；因为，所以，所以，所以，当时，即，所以，，可得；当时，即，由正弦定理得；故A不一定成立；当时，此时，，，所以，，所以的周长为：，的面积为：；当时，，，，解得，，所以的周长为：，的面积为：；故BC一定成立.故选：BC.11．（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（

）A．若，则有一解B．若，则无解C．若，则有一解D．若，则有两解【答案】ABD【解析】A选项，因为，所以，故，则是边长为2的等边三角形，有一解，故A正确；B选项，若，由正弦定理得，即，解得，无解，故B正确；C选项，若，由大边对大角可知，此时三角形中有2个钝角，不可能，则无解，故C错误；D选项，若，由正弦定理得，即，解得，因为，所以或，所以有两解，D正确.故选：ABD.12．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）在中，角的边分别为，已知，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．周长的最大值为 D．面积的最大值【答案】ACD【解析】对A：由正弦定理，所以，解得，故A正确；对B：由余弦定理，所以，解得或，又，所以，故B错误；对C：由余弦定理，所以，所以，又，所以，所以.所以，则（当且仅当时取“”）.此时周长的最大值为，故C正确；对D：由余弦定理，所以，所以，则（当且仅当时取“”），此时，故D正确.故选：ACD填空题13．（2025高一·全国·专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为钝角三角形，则c的取值范围为．【答案】【解析】因，则，若为钝角三角形，则，得，又，则，得，故.故答案为：14．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在中，，则该三角形外接圆半径与内切圆半径的比值是【答案】【解析】在中，，由正弦定理可得，设，由余弦定理得，所以，则，所以，则，所以，15.（2023·四川内江）在中，角的对边分别为，且，的面积为，则的值为.【答案】【解析】由，可得，由正弦定理可得，，而sinB>0，整理得，即，，，所以上式变为，又，，因为，所以，解得，又由余弦定理可得，，解得，，.故答案为：.16．（2024陕西）已知分别为三个内角的对边，且满足，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】因为，由正弦定理可得，，因为，所以，则有，即，所以，因为，所以，整理可得，，即，因为，所以或，则或（舍去）.又因为，由正弦定理可得，因为，所以，则，化简整理可得，，所以，又因为，所以为等边三角形，故选：C.解答题17．（24-25高一下·广西河池·阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知(1)求角A的大小；(2)若，，求△ABC的面积．【答案】(1)(2)【解析】（1）由正弦定理得．因为，所以，因为中，，所以．（2）由，及余弦定理．得，解得或（舍），所以18．（24-25高一下·浙江金华·阶段练习）如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，．

(1)求的值；(2)若为边上一点，且，求的长．【答案】(1)(2)【解析】（1）由余弦定理得：∴,由正弦定理：得.（2）如图所示：

过作于，在中，，，∴，，在中，.

∴

∴∴19．（24-25高一上·河北·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知(1)求角的大小；(2)若，试判断的形状并给出证明.【答案】(1)(2)为等边三角形，证明见解析【解析】（1）由，可得，因为，所以.（2）解法一：为等边三角形，证明如下：由三角形内角和定理得，，故，由已知条件，可得，整理得，所以，因为、，则，所以，又由（1）知，所以为等边三角形；解法二：为等边三角形，证明如下：因为，由正弦定理和余弦定理，得，整理得，即.又由（1）知，所以为等边三角形.20（23-24高一下·广西玉林·期中）已知的内角的对边分别为，且．(1)求角A的大小；(2)若的面积为，求的周长和外接圆的面积；【答案】(1)；(2)周长、外接圆面积分别为、.【解析】（1）由，由正弦定理得，从而有，，则，由；（2）因为，所以，由余弦定理得：，即，解得，所以周长为，设外接圆半径为R，由，得，所以外接圆面积.21．（24-25江苏南通·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求A；(2)若，，求的周长.【答案】(1)(2)6【解析】（1）由得，，即，故，因为，所以，即，因为，所以，故，因为，所以；（2），由正弦定理得，因为，所以，由（1）知，，由余弦定理得，解得，故，所以，所以的周长为.22．（24-25高一下·河北·期中）已知的内角的对边分别为，且的周长为．(1)求；(2)若，，是的平分线，且交于点，求．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：因为的周长为，可得，由正弦定理，可得，即，整理得，又由余弦定理，可得．因为，所以．（2）解：在中，因为，，由余弦定理得，即，解得或（舍去），又因为是的平分线，可得，，所以，解得．23．（2025·湖南）在中，角的对边分别为，且.(1)求；(2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积.【答案】(1)(2)【解析】（1）由，得，解法一：由正弦定理得，又中，，所以，所以，于是，又，所以，又，所以.解法二：由余弦定理得，化简得，由余弦定理得，又，所以.（2）由是的平分线，得，解法一：，又，所以.解法二：由得.即，解得，所以.24．（24-25高一下·海南·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)6【解析】（1）因为