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浅析微分中值定理的证明目录TOC\o"1-3"\h\u12251浅析微分中值定理的证明 [1].证作辅助函数.显然，，且在上连续，在上可导，由罗尔中值定理可得，存在，使.假设，则由上式可得，但与不能同时为零，所以假设不成立，即.则可把上式改写为.柯西中值定理的另一种证明方法（区间套法）：证先证当,且时，有.假设，因为在上连续，所以由引理2可得存在，且，使得.因此.同样的，在上也满足引理2的条件，再次应用引理2可得，存在，且，使得，因此又有.按照上面的过程，反复应用引理2，最后可以得到闭区间套，满足，且.由闭区间套定理可得，存在，使得，则由引理1可得，而对，，所以假设不成立，故.再由引理3可得，存在，且，使得，同样的，存在，且，使得，按照上述过程，反复应用引理3，可以得到闭区间套，满足，且.由闭区间套定理可得，存在，使得.则由引理1可得.即证.柯西中值定理的几何意义可以用参数方程的形式来理解，把和这两个函数写成以为参量的参量方程于是在平面上有一段连续曲线，两函数在该曲线上联系.若曲线的两端点连续，则在曲线上至少存在一点，该点的切线与两端点的连线平行.柯西中值定理的几何意义，它表示了曲线上至少有一点的切线平行于两端点所在的弦.这一点拉格朗日中值定理也有其表现，但是柯西中值定理除了适用于表示的曲线外，还可以表示参数方程的曲线.由此也可以看出拉氏定理时柯西中值定理的一种特殊形式.1.3.2柯西中值定理的推广推论3若函数，在有限或无穷区间中任意点处有有限的导数和，对，，，，，都存在，则至少存在一点使.证假设，即.由推论1知，至少存在一点，使得，这与，矛盾，故假设不成立，因此，.构造辅助函数，则在可导，且，，即.由推论1可知，至少存在一点，使得，因为，所以.又因为对，，所以可将上式改写为.例5设.证明存在，使得.证令，，则，都在上连续，在内可导.，，则、都不等于，且.由柯西中值定理知，存在，使得，即.例6证明不等式证令则上式转化为由于上应用柯西中值定理，得于是而当所以即分析：由以上两个例子可以看出，在利用柯西中值定理进行解题时，关键步骤是要对题目的结果进行整理变形，并在此变形完成基础上找

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