2025年高等数学应用能力考试试题及答案

2025年高等数学应用能力考试试题及答案一、填空题（每空1分，共6分）

1.在一元函数微分学中，若函数的导数恒为0，则该函数为_________函数。

答案：常数

2.设函数\(f(x)=x^3-3x\)，则\(f'(0)=\)_________。

答案：0

3.若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)\)，则根据罗尔定理，必存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=\)_________。

答案：0

4.设函数\(f(x)=x^2\)，则\(f(x)\)的二阶导数为\(f''(x)=\)_________。

答案：2x

5.在一元函数微分学中，若函数的导数大于0，则该函数在其定义域内_________。

答案：单调递增

6.设函数\(f(x)=e^x\)，则\(f'(x)=\)_________。

答案：\(e^x\)

二、选择题（每题2分，共12分）

1.下列函数中，可导的函数是_________。

A.\(f(x)=|x|\)B.\(f(x)=\sqrt[3]{x}\)C.\(f(x)=\frac{1}{x}\)D.\(f(x)=\sqrt{x}\)

答案：B

2.设函数\(f(x)=x^3\)，则\(f'(x)\)的零点为_________。

A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=-1\)D.\(x=2\)

答案：A

3.若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)\)，则根据拉格朗日中值定理，必存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使得_________。

A.\(f'(\xi)=0\)B.\(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)C.\(f'(\xi)=\frac{f(a)-f(b)}{b-a}\)D.\(f'(\xi)=\frac{f(a)+f(b)}{2}\)

答案：A

4.设函数\(f(x)=e^x\)，则\(f'(x)\)的值域为_________。

A.\((0,+\infty)\)B.\((0,1)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((-\infty,+\infty)\)

答案：D

5.设函数\(f(x)=x^3-3x\)，则\(f(x)\)的极值点为_________。

A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=-1\)D.\(x=2\)

答案：A

6.若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)\)，则根据柯西中值定理，必存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使得_________。

A.\(f'(\xi)=0\)B.\(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)C.\(f'(\xi)=\frac{f(a)-f(b)}{b-a}\)D.\(f'(\xi)=\frac{f(a)+f(b)}{2}\)

答案：C

7.设函数\(f(x)=x^2\)，则\(f(x)\)的拐点为_________。

A.\((0,0)\)B.\((1,1)\)C.\((-1,1)\)D.\((2,4)\)

答案：A

8.若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)\)，则根据泰勒中值定理，必存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使得_________。

A.\(f'(\xi)=0\)B.\(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)C.\(f'(\xi)=\frac{f(a)-f(b)}{b-a}\)D.\(f'(\xi)=\frac{f(a)+f(b)}{2}\)

答案：B

三、判断题（每题2分，共12分）

1.若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)\)，则根据罗尔定理，必存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=0\)。（）

答案：√

2.若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)\)，则根据拉格朗日中值定理，必存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=0\)。（）

答案：×

3.设函数\(f(x)=x^3\)，则\(f'(x)\)的值域为\((0,+\infty)\)。（）

答案：√

4.若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)\)，则根据柯西中值定理，必存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=0\)。（）

答案：√

5.设函数\(f(x)=x^2\)，则\(f(x)\)的拐点为\((0,0)\)。（）

答案：√

6.若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)\)，则根据泰勒中值定理，必存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=0\)。（）

答案：×

7.设函数\(f(x)=e^x\)，则\(f'(x)\)的值域为\((0,+\infty)\)。（）

答案：√

8.若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)\)，则根据罗尔定理，必存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=0\)。（）

答案：√

四、计算题（每题6分，共36分）

1.求函数\(f(x)=x^3-3x\)的导数。

答案：\(f'(x)=3x^2-3\)

2.求函数\(f(x)=e^x\)的二阶导数。

答案：\(f''(x)=e^x\)

3.求函数\(f(x)=\sqrt{x}\)在\(x=4\)处的导数值。

答案：\(f'(4)=\frac{1}{4\sqrt{4}}=\frac{1}{8}\)

4.求函数\(f(x)=x^2\)在\(x=2\)处的切线方程。

答案：\(y=4x-4\)

5.求函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x=1\)处的切线方程。

答案：\(y=-1\)

6.求函数\(f(x)=x^3-3x\)的拐点。

答案：拐点为\((0,0)\)

五、应用题（每题12分，共24分）

1.设函数\(f(x)=x^3-3x\)，求\(f(x)\)在区间\([0,2]\)上的最大值和最小值。

答案：最大值为\(f(2)=2\)，最小值为\(f(0)=0\)

2.设函数\(f(x)=e^x\)，求\(f(x)\)在区间\([0,1]\)上的最大值和最小值。

答案：最大值为\(f(1)=e\)，最小值为\(f(0)=1\)

六、证明题（每题12分，共24分）

1.证明：若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)\)，则根据罗尔定理，必存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=0\)。

证明：由罗尔定理可知，若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)\)，则存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=0\)。

证明过程如下：

（1）由于\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，根据拉格朗日中值定理，存在一点\(\xi_1\in(a,\xi)\)，使得\(f'(\xi_1)=\frac{f(\xi)-f(a)}{\xi-a}\)。

（2）同理，存在一点\(\xi_2\in(\xi,b)\)，使得\(f'(\xi_2)=\frac{f(b)-f(\xi)}{b-\xi}\)。

（3）将式（1）和式（2）相加，得\(f'(\xi_1)+f'(\xi_2)=\frac{f(\xi)-f(a)}{\xi-a}+\frac{f(b)-f(\xi)}{b-\xi}\)。

（4）化简得\(f'(\xi_1)+f'(\xi_2)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。

（5）由于\(f(a)=f(b)\)，所以\(f'(\xi_1)+f'(\xi_2)=0\)。

（6）因此，根据罗尔定理，存在一点\(\xi\in(\xi_1,\xi_2)\subset(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=0\)。

证毕。

2.证明：若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)\)，则根据拉格朗日中值定理，必存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。

证明：由拉格朗日中值定理可知，若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)\)，则存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。

证明过程如下：

（1）由于\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，根据罗尔定理，存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=0\)。

（2）设\(g(x)=f(x)-f(a)\)，则\(g(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(g(a)=g(b)=0\)。

（3）根据拉格朗日中值定理，存在一点\(\eta\in(a,\xi)\)，使得\(g'(\eta)=\frac{g(\xi)-g(a)}{\xi-a}=\frac{f(\xi)-f(a)}{\xi-a}\)。

（4）由于\(g'(\eta)=f'(\eta)\)，所以\(f'(\eta)=\frac{f(\xi)-f(a)}{\xi-a}\)。

（5）同理，存在一点\(\xi_2\in(\xi,b)\)，使得\(f'(\xi_2)=\frac{f(b)-f(\xi)}{b-\xi}\)。

（6）将式（4）和式（5）相加，得\(f'(\eta)+f'(\xi_2)=\frac{f(\xi)-f(a)}{\xi-a}+\frac{f(b)-f(\xi)}{b-\xi}\)。

（7）化简得\(f'(\eta)+f'(\xi_2)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。

（8）由于\(f(a)=f(b)\)，所以\(f'(\eta)+f'(\xi_2)=0\)。

（9）因此，根据拉格朗日中值定理，存在一点\(\xi\in(\eta,\xi_2)\subset(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。

证毕。

本次试卷答案如下：

一、填空题

1.常数

2.0

3.0

4.2x

5.单调递增

6.\(e^x\)

二、选择题

1.B

2.A

3.A

4.D

5.A

6.C

7.A

8.B

三、判断题

1.√

2.×

3.√

4.√

5.√

6.×

7.√

8.√

四、计算题

1.\(f'(x)=3x^2-3\)

2.\(f''(x)=e^x\)

3.\(f'(4)=\frac{1}{4\sqrt{4}}=\frac{1}{8}\)

4.\(y=4x-4\)

5.\(y=-1\)

6.拐点为\((0,0)\)

五、应用题

1.最大值为\(f(2)=2\)，最小值为\(f(0)=0\)

2.最大值为\(f(1)=e\)，最小值为\(f(0)=1\)

六、证明题

1.证明：由罗尔定理可知，若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)\)，则存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=0\)。

证明过程如下：

（1）由于\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，根据拉格朗日中值定理，存在一点\(\xi_1\in(a,\xi)\)，使得\(f'(\xi_1)=\frac{f(\xi)-f(a)}{\xi-a}\)。

（2）同理，存在一点\(\xi_2\in(\xi,b)\)，使得\(f'(\xi_2)=\frac{f(b)-f(\xi)}{b-\xi}\)。

（3）将式（1）和式（2）相加，得\(f'(\xi_1)+f'(\xi_2)=\frac{f(\xi)-f(a)}{\xi-a}+\frac{f(b)-f(\xi)}{b-\xi}\)。

（4）化简得\(f'(\xi_1)+f'(\xi_2)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。

（5）由于\(f(a)=f(b)\)，所以\(f'(\xi_1)+f'(\xi_2)=0\)。

（6）因此，根据罗尔定理，存在一点\(\xi\in(\xi_1,\xi_2)\subset(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=0\)。

证毕。

2.证明：由拉格朗日中值定理可知，若函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)\)，则存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)。

证明过程如下：

（1）由于\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，根据罗尔定理，存在一点\(\xi\in(a,b)\)