平面向量“四心”知识点总结与经典习题【强烈】

平面向量“四心”知识点总结与经典习题向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。三角形的“四心”（外心、内心、重心、垂心）是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特殊的性质。在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需要我们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。四心知识点总结：1、重心：2、垂心：3、外心：4、内心：（一）重心1、在△ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是△ABC的重心，则等于（） A． B． C． D． 答案：.C2、是所在平面内一点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的A.内心

B.重心

C.外心

D.垂心答案：B3、已知ABC是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足则点P的轨迹一定经过（）A.内心

B.重心

C.外心

D.垂心答案：B4．已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB,AC分别相交于点P,Q.若AP=λAB,则ΔABC与ΔAPQ的面积之比为【答案】3λ−1设AQAC=μ，AG=23×12AB+AC=135、在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能 答案：.C 【解答】解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心， 取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图： 则OD⊥BC，GD=AD， ∵，，由=6， 则（）==﹣（）=6， 即﹣（）（）=6，则， 又BC=6，则有||=||2+||2，即有C为直角．则三角形ABC为直角三角形． （二）垂心1、为△ABC所在平面内一点，如果，则O必为△ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心答案：D。事实上OB⊥CA2、已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足，则点O是三角形ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心答案：D。事实上由条件可推出3、设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心答案：D。解：由已知得，∴===0，∴，即AP⊥BC，所以动点P的轨迹通过△ABC的垂心，4．ΔABC的外接圆的圆心为O，若OH=OA+OB+OC，则HA．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】D因为OH⋅AB=(OB−OA)(OB+OA+OC)=5、已知为所在平面内一点，满足，则为的心．答案：垂心。分析：将，也类似展开代入，已知等式与例４的条件一样．也可移项后，分解因式合并化简，为垂心．（三）内心1、是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心答案：B。事实上如图设都是单位向量，易知四边形AETF是菱形。2、已知O是△ABC所在平面上的一点，若=，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解：∵，，则=0，得.因为与分别为和方向上的单位向量，设，则平分∠BAC.又、共线，知AO平分∠BAC.同理可证BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，所以O点是△ABC的内心.3、在三角形ABC中，动点P满足：，则P点轨迹一定通过△ABC的：（）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心【答案】B4．在中，,是的内心，若，则A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，设三角形的三条内角平分线BE、AD、CF相交于点I．∵A，I，D三点共线，∴存在实数λ使得，∵AB=BC=5，I是△ABC的内心，∴AD平分BC，∴．∴，同理由C，I，F三点共线和角平分线的性质可得=，∴，解得，∴与=m+n比较可得：m=，，则m：n=6：5．故选：B．5、在中AB=5，AC=6，cosA=,点O为三角形的内心，若其中x,y[0,1],则动点P的轨迹所覆盖的面积为（四）外心1、已知O是△ABC所在平面上的一点，若===0，则O点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解：由已知得：===0==0.所以O点是△ABC的外心.选A.2、设O为△ABC的外心,,则O为△ABC的内角C的值为．3、已知是平面上的一定点，是该平面上不共线的三点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的（）内心外心垂心重心A.重心B.垂心C.外心D.内心答案：B4、△ABC中，AB=1,BC=,CA=2,△ABC的外接圆的圆心为O，若，求实数的值.解：，两边平方得.分别取AB、AC的中点M、N，连接OM、ON.则==.又O为△ABC的外接圆的圆心，则=0，即有.同理有=0，得.解得，.5、设是所在平面内的一点,若且.则点是的A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】A【解析】由，得，即，所以，设D为AB的中点，则，故；因为，所以，所以，设BC的中点为E，同上可知，所以P为AB与BC的垂直平分线的交点．所以P是的外心．选A．6、设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（） A．1 B． C．2 D．答案及解析：.B 解：因为O是三角形的外心，所以， ，，两式平方相减得2，即2，又=||2，所以2，所以7、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=．分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利