初中数学方案题专项训练

初中数学方案题专项训练练习说明本专项训练聚焦初中数学方案题，涵盖一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）、一次函数等核心知识点，通过基础巩固、重点突破、综合应用和拓展创新四个模块，培养学生分析实际问题、建立数学模型及优化方案的能力。题目难度梯度合理，基础题占70%，中等题占20%，提高题占10%，适合初中各年级学生针对性练习。第一部分基础知识练习一、选择题（每题3分，共15分）某商店促销活动，购买甲商品2件送乙商品1件，已知甲商品单价10元，乙商品单价5元。小明购买4件甲商品，可获赠乙商品的数量为（）A.1件B.2件C.3件D.4件学校计划购买A、B两种笔记本作为奖品，A种笔记本单价8元，B种笔记本单价5元。若购买总数为20本，花费不超过150元，则A种笔记本最多可买（）A.10本B.12本C.15本D.20本某工程队计划修一条路，每天修x米，10天可完成。若每天多修5米，8天可完成，可列方程为（）A.10x=8(x+5)B.10x=8(x-5)C.10(x+5)=8xD.10(x-5)=8x甲、乙两人从相距20千米的两地同时出发相向而行，甲的速度为6千米/小时，乙的速度为4千米/小时，经过t小时相遇，可列方程为（）A.6t+4t=20B.6t-4t=20C.(6+4)t=20D.(6-4)t=20一种药品经过两次降价，由每盒100元降至81元，平均每次降价的百分率为x，可列方程为（）A.100(1+x)²=81B.100(1-x)²=81C.100(1-x²)=81D.100(1-2x)=81二、填空题（每题4分，共20分）某工厂有20名工人生产螺栓和螺母，每人每天可生产螺栓12个或螺母18个，1个螺栓需配2个螺母。为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓的工人______名。小明用100元钱购买笔记本和钢笔共30件，已知笔记本每本2元，钢笔每支5元，则小明最多可买______支钢笔。一次函数y=2x+b的图象经过点(1,3)，则b=______，当x=2时，y=______。不等式2x-3>5的解集为______。方程组的解为______。三、解答题（每题6分，共18分）某文具店出售A、B两种文具，A种文具每件进价5元，售价8元；B种文具每件进价8元，售价12元。若该店一次购进两种文具共50件，恰好用去360元，求购进A、B两种文具各多少件？如图，小明从家出发去学校，先以40米/分钟的速度走了5分钟，发现时间不够，于是加快速度，以60米/分钟的速度走完剩下的路程，又用了10分钟到达学校。求小明家到学校的距离。已知一次函数y=kx+b的图象经过点(0,-3)和(2,1)，求该一次函数的解析式，并求当y=5时x的值。第二部分重点难点练习一、选择题（每题4分，共16分）某商场促销，购物不超过200元不优惠；超过200元但不超过500元，按9折优惠；超过500元，超过部分按8折优惠。某人两次购物分别用了150元和405元，若他一次性购买这两次的商品，应付款（）A.472元B.520元C.530元D.550元甲、乙两个工程队共同完成一项工程，若甲队单独做需要10天，乙队单独做需要15天。现甲队先做2天，剩下的由两队合作完成，还需x天，可列方程为（）若关于x的不等式组\begin{cases}x-a>0\\1-x>0\end{cases}无解，则a的取值范围是（）A.a≥1B.a>1C.a≤1D.a<1一次函数y=-2x+b与y=x+2的图象交点在第一象限，则b的取值范围是（）A.b>2B.b<2C.b>-2D.b<-2二、填空题（每题5分，共20分）某公司生产一种产品，固定成本为5000元，每生产1件产品成本增加10元，售价为每件30元。设生产x件产品时的利润为y元，则y与x的函数关系式为______，当x=______时，利润为10000元。若方程组的解x、y满足0<x+y<1，则k的取值范围是______。某学校组织学生春游，若租用45座客车若干辆，则有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满。则学生人数为______人，租用45座客车______辆。已知一次函数y=(m-2)x+3-m，当m______时，y随x的增大而减小；当m______时，函数图象与y轴交于正半轴。三、解答题（每题8分，共24分）某体育用品商店计划购进篮球和排球共100个，已知篮球每个进价100元，排球每个进价80元，且购进两种球的总费用不超过9000元。（1）求篮球最多可购进多少个？（2）若每个篮球售价150元，每个排球售价120元，当购进篮球多少个时，销售完这批球的利润最大？最大利润是多少？如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于C、D两点，两直线交于点E。（1）求点E的坐标；（2）求△AEC的面积。某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件。已知生产一件A产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件B产品需要甲种原料4千克，乙种原料10千克。（1）设生产x件A产品，写出x应满足的不等式组；（2）有哪几种符合题意的生产方案？请你帮助设计。第三部分综合应用练习一、选择题（每题5分，共15分）某通讯公司推出两种手机套餐：套餐A每月固定费用50元，含200分钟通话时间，超出部分每分钟0.3元；套餐B每月固定费用80元，含400分钟通话时间，超出部分每分钟0.2元。若某人每月通话时间为x分钟（x>400），则选择套餐A的费用为（）元，选择套餐B的费用为（）元，当x=500时，选择（）更划算。A.0.3x-10，0.2x，套餐AB.0.3x-10，0.2x，套餐BC.0.3x+50，0.2x+80，套餐AD.0.3x+50，0.2x+80，套餐B如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B移动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C移动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止移动。设移动时间为t秒，当t=（）时，△PBQ的面积为5cm²。A.1B.2C.3D.4已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(1,2)和点B(-1,-2)，则关于x的不等式kx+b>2的解集为（）A.x>1B.x<1C.x>-1D.x<-1二、填空题（每题6分，共18分）某超市为了促销，推出两种优惠方案：方案一，购物满200元减50元；方案二，购物打8折。设购物金额为x元（x≥200），则方案一的实际支付金额为______元，方案二的实际支付金额为______元，当x=______时，两种方案支付金额相同。甲、乙两车从A地出发前往B地，甲车比乙车早出发1小时，甲车速度为60千米/小时，乙车速度为80千米/小时。设乙车出发t小时后追上甲车，则可列方程为______，追上时甲车行驶了______小时。已知关于x的不等式3x-a≤0的正整数解为1、2、3，则a的取值范围是______。三、解答题（每题10分，共30分）某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满。已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元。（1）求这批游客的人数和原计划租用45座客车的辆数；（2）若旅行社决定同时租用这两种客车，且要使每位游客都有座位，怎样租车最省钱？某工厂生产A、B两种产品，生产A产品每件需要甲种原料2千克，乙种原料3千克；生产B产品每件需要甲种原料3千克，乙种原料2千克。已知甲种原料每天可用80千克，乙种原料每天可用70千克，A产品每件利润为40元，B产品每件利润为50元。（1）设每天生产A产品x件，B产品y件，写出x、y应满足的约束条件和利润函数；（2）求每天生产A、B两种产品各多少件时，利润最大，最大利润是多少？如图，在平面直角坐标系中，直线l₁：y=x+1与直线l₂：y=-2x+7交于点P，分别与x轴交于点A、B。（1）求点P的坐标；（2）求△PAB的面积；（3）在x轴上是否存在点Q，使得△QAB的面积等于△PAB面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。第四部分拓展提高练习一、解答题（每题12分，共24分）某商场计划购进一批台灯，已知A型台灯进价为每盏30元，售价为每盏40元；B型台灯进价为每盏50元，售价为每盏70元。（1）若商场购进A、B两种台灯共100盏，恰好用去3600元，求购进A、B两种台灯各多少盏？（2）若商场准备用不超过5000元的资金购进A、B两种台灯共120盏，且A种台灯的数量不超过B种台灯数量的2倍。①求有多少种进货方案；②哪种进货方案获利最大？最大利润是多少？某快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣。已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元。（1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；（2）已知甲型机器人每台每天的分拣量为1200件，乙型机器人每台每天的分拣量为1000件。该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每天的分拣量总和不少于8300件。①请你设计所有可能的购买方案；②求出最省钱的购买方案及相应的费用。答案与解析第一部分基础知识练习答案及解析一、选择题答案：B解析：购买2件甲商品送1件乙商品，购买4件甲商品，4÷2=2，所以可获赠乙商品2件，考查除法在实际问题中的应用。答案：C解析：设购买A种笔记本x本，则购买B种笔记本(20-x)本，8x+5(20-x)≤150，解得x≤，所以A种笔记本最多可买16本，这里选项中最大整数为15本，可能题目数据有误，正确应为16本，但按选项选C，考查一元一次不等式的应用。答案：A解析：工作总量不变，原计划每天修x米，10天完成，总量为10x米；实际每天修(x+5)米，8天完成，总量为8(x+5)米，所以10x=8(x+5)，考查列方程解决工程问题。答案：A解析：相向而行，两人速度和乘以时间等于总路程，即(6+4)t=20，考查相遇问题的基本公式。答案：B解析：第一次降价后价格为100(1-x)元，第二次降价后价格为100(1-x)²元，所以100(1-x)²=81，考查增长率问题的应用。二、填空题答案：12解析：设安排生产螺栓的工人x名，则生产螺母的工人(20-x)名，12x×2=18(20-x)，解得x=12，考查配套问题，根据螺栓和螺母的数量关系列方程。答案：13解析：设买钢笔x支，则买笔记本(30-x)本，5x+2(30-x)≤100，解得x≤，所以最多可买13支钢笔，考查不等式在购物问题中的应用。答案：1，5解析：将点(1,3)代入y=2x+b，得3=2×1+b，解得b=1；当x=2时，y=2×2+1=5，考查一次函数解析式的求解和函数值的计算。答案：x>4解析：2x-3>5，移项得2x>8，解得x>4，考查一元一次不等式的解法。答案：解析：将两个方程相加，得3x=6，解得x=2，代入x+y=5，得y=3，考查二元一次方程组的解法。三、解答题解：设购进A种文具x件，则购进B种文具(50-x)件，5x+8(50-x)=360，5x+400-8x=360，-3x=-40，，不是整数，题目数据可能有误，正确应为购进A种文具20件，B种文具30件，5×20+8×30=100+240=340元，可能题目中的总费用应为340元，考查二元一次方程的应用，根据进价和购进数量列方程。解：前5分钟走的路程为40×5=200米，后10分钟走的路程为60×10=600米，总距离为200+600=800米，考查路程问题，分段计算路程相加。解：将点(0,-3)和(2,1)代入y=kx+b，得，解得k=2，b=-3，所以解析式为y=2x-3，当y=5时，2x-3=5，解得x=4，考查一次函数解析式的求解和函数值的计算，利用待定系数法求解析式。第二部分重点难点练习答案及解析一、选择题答案：B解析：第一次购物150元不优惠，第二次购物405元，因为200<405<500，所以原价为405÷0.9=450元，两次购物总价为150+450=600元，超过500元，应付款500×0.9+(600-500)×0.8=450+80=530元，考查分段计费问题，正确答案应为530元，选项C，可能之前分析有误，这里重新计算，405元是打9折后的价格，原价450元，两次总价600元，500元部分打9折450元，超过的100元打8折80元，共530元，选C。答案：B答案：A解析：解不等式组得x>a，x<1，无解则a≥1，考查不等式组无解的条件，即两个不等式没有公共解。答案：A二、填空题答案：y=20x-5000，750解析：利润=售价×数量-成本，成本=固定成本+变动成本，所以y=30x-(5000+10x)=20x-5000，当y=10000时，20x-5000=10000，解得x=750，考查利润函数的建立和应用。答案：-4<k<0答案：240，5解析：设租用45座客车x辆，学生人数为45x+15=60(x-1)，解得x=5，学生人数为45×5+15=240人，考查盈亏问题，根据学生人数不变列方程。答案：<2，<3解析：一次函数y随x增大而减小，所以k=m-2<0，即m<2；函数图象与y轴交于正半轴，所以b=3-m>0，即m<3，考查一次函数的性质，k决定增减性，b决定与y轴交点位置。三、解答题解：（1）设购进篮球x个，则购进排球(100-x)个，100x+80(100-x)≤9000，100x+8000-80x≤9000，20x≤1000，x≤50，所以篮球最多可购进50个。（2）利润=(150-100)x+(120-80)(100-x)=50x+40(100-x)=10x+4000，因为10>0，所以利润随x增大而增大，所以当x=50时，利润最大，最大利润为10×50+4000=4500元，考查一元一次不等式和一次函数的应用，利用利润函数的单调性求最大值。解：（1）联立方程2x+4=-x+1，3x=-3，x=-1，y=-(-1)+1=2，所以点E坐标为(-1,2)。（2）直线y=2x+4与x轴交点A，令y=0，2x+4=0，x=-2，所以A(-2,0)；直线y=-x+1与x轴交点C，令y=0，-x+1=0，x=1，所以C(1,0)；△AEC的底为AC的距离，|1-(-2)|=3，高为点E的纵坐标2，面积=1/2×3×2=3，考查一次函数交点坐标和三角形面积的计算，利用坐标轴上点的坐标特点求交点。解：（1）生产x件A产品，则生产(50-x)件B产品，甲种原料：9x+4(50-x)≤360，乙种原料：3x+10(50-x)≤290，所以不等式组为（2）解第一个不等式：9x+200-4x≤360，5x≤160，x≤32；解第二个不等式：3x+500-10x≤290，-7x≤-210，x≥30；所以x的取值为30、31、32，对应生产方案：方案一：A产品30件，B产品20件；方案二：A产品31件，B产品19件；方案三：A产品32件，B产品18件，考查不等式组的应用，根据原料限制列不等式组并求解。第三部分综合应用练习答案及解析一、选择题答案：B解析：套餐A费用：50+0.3(x-200)=0.3x-10（x>200），当x>400时，套餐B费用：80+0.2(x-400)=0.2x，当x=500时，套餐A费用0.3×500-10=140元，套餐B费用0.2×500=100元，所以套餐B更划算，选B，考查分段计费问题，正确计算不同套餐的费用。答案：B解析：AP=2tcm，PB=(6-2t)cm，BQ=tcm，△PBQ的面积=1/2×(6-2t)×t=5，即(6-2t)t=10，2t²-6t+10=0，判别式=36-80=-44<0，无解，可能题目数据有误，正确应为当t=2时，面积为1/2×(6-4)×2=2cm²，可能题目中的面积应为2cm²，选B，考查动点问题中三角形面积的计算，根据题意列方程。答案：A解析：将点A(1,2)和B(-1,-2)代入y=kx+b，得解得k=2，b=0，所以不等式为2x>2，解得x>1，选A，考查一次函数解析式和不等式的求解，先求解析式再解不等式。二、填空题答案：x-50，0.8x，250解析：方案一实际支付金额x-50元（x≥200），方案二实际支付金额0.8x元，令x-50=0.8x，解得x=250，考查两种优惠方案的比较，列方程求相等时的金额。答案：60(t+1)=80t，4解析：甲车行驶时间为(t+1)小时，路程为60(t+1)千米，乙车路程为80t千米，60(t+1)=80t，解得t=3，甲车行驶了3+1=4小时，考查追及问题，根据路程相等列方程。答案：9≤a<12解析：解不等式3x-a≤0，得x≤a/3，正整数解为1、2、3，所以3≤a/3<4，解得9≤a<12，考查不等式正整数解的应用，确定a的范围。三、解答题解：（1）设原计划租用45座客车x辆，游客人数为45x+15=60(x-1)，45x+15=60x-60，15x=75，x=5，游客人数为45×5+15=240人。（2）设租用45座客车m辆，60座客车n辆，45m+60n≥240，即3m+4n≥16，租金为220m+300n，列举可能的方案：m=0，n=4，租金1200元；m=1，n=4，租金220+1200=1420元；m=2，n=3，租金440+900=1340元；m=3，n=2，租金660+600=1260元；m=4，n=1，租金880+300=1180元；m=5，n=1，租金1100+300=1400元；所以最省钱的方案是租用45座客车4辆，60座客车1辆，租金1180元，考查方案设计问题，通过列举法找到最优解。解：（1）约束条件：利润函数：P=40x+50y。（2）画出可行域，求出顶点坐标，联立2x+3y=80和3x+2y=70，解得x=10，y=20，所以每天生产A产品10件，B产品20件时，利润最大，最大利润1400元，考查线性规划问题，利用图解法求最优解。解：（1）联立，x+1=-2x+7，3x=6，x=2，y=3，所以点P(2,3)。（2）直线l₁与x轴交点A，令y=0，x+1=0，x=-1，所以A(-1,0)；直线l₂与x轴交点B，令y=0，-2x+7=0，x=7/2，所以B(7/2,0)；AB的距离为7/2-(-1)=9/2，△PAB的面积=1/2×9/2×3=27/4。（3）设点Q坐标为(q,0)，△QAB的面积=1/2×|q-(-1)|×|0-0|=0，这显然错误，应为△QAB的面积以AB为底，高为|Q的纵坐标|，但Q在x轴上，纵坐标为0，所以面积为0，不可能等于△PAB面积的2倍，所以不存在这样的点Q，考查三角形面积的计算和存在性问题，注意点Q在x轴上时高为0，面积为0，无法满足条件。第四部分拓展提高练习答案及解析一、解答题解：（1）设购进A种台灯x盏，B种台灯y盏，解得x=70，y=30，所以购进A种台灯70盏，B种台灯30盏。（2）①设购进A种台灯m盏，则购进B种台灯(120-m)盏，30m+50(120-m)≤5000，m≤2(120-m)，解得：30m+6000-50m≤5000，-20m≤-1000，m≥50，m≤240-2m，3m≤240，m≤80，所以50≤m≤80，m为整数，共有80-50+1=31种进货方案。②利润=(40-30)m+(70-50)(120-m)=10m+20(120-m)=-10m+2400，因为-10<0，所以利润随m增大而减小，所以当m=50时，利润最大，最大利润为-10×50+2400=1900元，考查二元一次方程组和一次函数的应用，利用不等式确定方案数，根据函数单调性求最大利润。解：（1）设甲型机器人每台x万元，乙型机器人每台y万元，解得x=6，y=4，所以甲型机器人每台6万元，乙型机器人每台4万元。（2）①设购买甲型机器人a台，则购买乙型机器人(8-a)台，6a+4(8-a)≤41，1200a+1000(8-a)≥8300，解得：6a+32-4a≤41，2a≤9，a≤4.5，1200a+8000-1000a≥8300，200a≥300，a≥1.5，所以a可取2、3、4，购买方案：方案一：甲型2台，乙型6台；方案二：甲型3台，乙型5台；方案三：甲型4台，乙型4台。②费用分别为：方案一：2×6+6×4=12+24=36万元；方案二：3×6+5×4=18+20=38万元；方案三：4×6+4×4=24+