广东省惠州市2015届高三第二次调研考试-数学文

PAGE第5-页共12页惠州市2015届高三第二次调研考试数学试题(文科）2014.10本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回．参考公式：锥体的体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.1.设集合，集合，则＝()A． B．C． D．2.复数(为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3.已知命题，则为()A．B．C．D．4.已知向量，，则()A.B.C.D.5.下列函数中，在区间上为增函数的是()A．B．C．D．6.若变量满足约束条件，则的最小值为()A．B．C．D．7.已知函数的部分图象如图所示,则函数的表达式是()A. B.C. D.8.方程有实根的概率为（）A．B．C．D．9.圆心在，半径为的圆在轴上截得的弦长等于()A．B．C．D．10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数(表示不大于的最大整数）可以表示为()A．B．C． D．二、填空题：（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分20分）（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．8【解析】方程有实数根时，得，由几何概型知.9【解析】圆心到轴的距离为，圆半径，由勾股定理知半弦长为，则弦长为.10【解析】当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数与该班人数之间的函数关系，用取整函数(表示不大于的最大整数)可以表示为．或者用特值法验证也可．二、填空题（本大题共5小题，共20分。第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分．）11．12．13．14．15．11【解析】化为抛物线的标准方程，则，得，且焦点在轴上，所以，即准线方程为.12【解析】由等比数列的性质知，故.13【解析】因为，所以，而，所以，所以.14【解析】直线的普通方程为，圆的普通方程为，圆心到直线的距离为，所以直线和曲线相切，公共点只有个.15【解析】因为，且，所以，所以.或者由相交弦定理，即，且，得.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）解：本题考查平面向量与三角函数的综合应用，侧重考查三角函数的性质．(1)由，……………1分，……………2分及，得.又，从而，……………4分所以.……………6分(2)…9分时，取最大值1.…………11分所以的最大值为.……………12分17.（本小题满分12分）解（1）设事件=“某人获得优惠金额不低于300元”，……………1分则. ……………4分（2）设事件=“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”，……………5分由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，……………6分分别记为，从中选出两人的所有基本事件如下：，，，，，，，，，，，，，，，共15个.……………9分其中使得事件成立的为，，，，共4个……………10分则. ……………12分ABABCMOD解（１）证明：因为点是菱形的对角线的交点，所以是的中点.又点是棱的中点，所以是的中位线，.……2分因为平面,平面，………4分所以平面.……………6分（２）三棱锥的体积等于三棱锥的体积.……………7分由题意，,因为,所以，.…………8分又因为菱形，所以.…………9分因为,所以平面，即平面…………10分所以为三棱锥的高.……………11分的面积为，……13分所求体积等于.……………14分19.（本小题满分14分）解（１）证明：当时，，①……………2分由上式知若，则，由递推关系知，∴由①式可得：当时，……………4分∴是等差数列，其中首项为，公差为.……………6分(2)，.……………8分当时，，……………10分当时，不适合上式，……………12分∴……………14分20.（本小题满分14分）解：(1)设椭圆C的方程为，…………1分由已知，得…………2分解得…………3分∴椭圆的标准方程为.……………4分(2)证明：设，，由椭圆的标准方程为，可知，……………5分同理，……………6分，……………7分，，.……………8分(ⅰ)当时，由得，.设线段的中点为，由，得线段的中垂线方程为，……………11分，该直线恒过一定点.……………12分(ⅱ)当时，，或，，线段的中垂线是x轴，也过点.综上，线段的中垂线过定点.……………14分（2）问【解法二】（ⅰ）若斜率存在时：设直线为联立，消得：……………5分设点，则：……………6分由于且所以，又因为，其中，故可得，从而………………8分由（3）式及得所以直线的中垂线为……………10分化简得……………11分故：直线的中垂线过定点……………12分（ⅱ）若斜率不存在时：同解法一。……………14分21.（本小题满分14分）解：（Ⅰ），……………2分由曲线在点处的切线的斜率为，得，………3分即，.……………4分（Ⅱ）由，得.………5分令，得，.且……………7分=1\*GB3①当时，，在上，为增函数，，令，即