专题二 2025中考数学一轮复习专题【方程与不等式】知识清单

中考数学一轮复习专题【方程与不等式】知识清单模块一【一次方程（组）】方程的有关概念等式1.等式：用“=”来表示相等关系的式子叫作等式。2.等式的性质：（1）性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等（如果，那么（为一个数或式子））。（2）性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等（如果，那么；如果，那么）3.等式性质的延伸：（1）对称性：等式左右两边互换，所得结果仍相等，即如果，那么。（2）传递性：如果，，那么。方程的概念和方程的解1.方程的概念：含有未知数的等式叫作方程。2.方程与等式的区别：方程是等式，但等式中不一定含有未知数，即等式不一定是方程。3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。4.判断一个数（或一组数）是不是某方程的解，只需看两点：（1）它是方程中的未知数的值；（2）将它分别代入方程的左右两边，若左边等于右边，则它是方程的解，否则不是。5.解方程：求方程解的过程叫作解方程。6.方程的解和解方程的区别：方程的解是一个结果，解方程则是得到这个结果的一个过程。7.一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1，这样的整式方程叫作一元一次方程。一元一次方程知识拓展：（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数；（2）一元一次方程满足3个条件：①是整式方程； ②只含有一个未知数； ③未知数的次数是1.（3）一元一次方程的标准形式：。解一元一次方程与一元一次方程的应用解一元一次方程1.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项，注意移项要变号。2.解一元一次方程的步骤：（1）去分母：把方程两边都乘以各分母的最小公倍数（去分母时，若分子是多项式，要添括号）；（2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（不要漏乘括号里的项，不要弄错符号）；（3）移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边（注意移项要变号）；（4）合并同类项：把等号两边的同类项分别合并，化成“”的形式（）；（5）系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得方程的解为。一元一次方程的应用一元一次方程解应用题的常见类型有：（1）和、差、倍、分问题：和、差、倍、分对应两个量之间的加、减、乘、除，解题时要注意弄清倍、分关系和多少关系等；（2）增长（减少）率问题：增长后的量=原有量×（1+增长率）；降低后的量=原有量×（1-降低率）；（3）等积变形问题：长方形体积=长×宽×高；圆柱体积=；（4）行程问题：路程=速度×时间；快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离（相向而行）；快车行驶路程-慢车行驶路程=原距离（同向而行）。（5）航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度；（6）调配问题：从调配后的数量关系中找等量关系；（7）比例分配问题：全部数量=各种成分的数量之和；（8）年龄问题：大小两个年龄的差不会变；（9）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量；一般情况下，把总工作量设为1.（10）利润问题：商品的售价=商品的标价×折扣；商品的利润=商品售价-商品进价；商品的利润率=；（11）数字问题：设分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为；（12）储蓄问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）；（13）浓度问题：溶液质量=溶质质量+溶剂质量；百分比浓度=；溶质质量=溶液质量×百分比浓度。利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．3．列：根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．二元一次方程（组）及其解法二元一次方程二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解。二元一次方程组概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组；组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如：也是二元一次方程组。二元一次方程组的一般形式为：二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解。消元—解二元一次方程组1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数。这种将未知数由多化少，逐一解决的思想，叫作消元思想。2.代入消元法定义：在二元一次方程组中，将其中一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解方程组的方法称为代入消元法。3.用加减消元法解二元一次方程组定义：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程；这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法。列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．列二元一次方程组解应用题的常见类型：（1）和差倍分问题：增长量=原有量×增长率；较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量；（2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例；（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总量；（4）利润问题：商品售价=标价×折扣率；商品利润=商品售价-商品进价；利润率=；（5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度；（6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。模块二【分式方式】（重点）一、分式方程求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．二、分式方程的增根（易错）1.增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．2.检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．三、解分式方程1.解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．注意：解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．四、解分式方程应用题1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．模块三【一元二次方程】一、一元二次方程1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．2.概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．二、一元二次方程的解1.一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．2.若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．三、配方法解一元二次方程（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．四、根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．五、一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．模块四【一次不等式（组）】一、不等式的基本性质不等式1.一般地，用符号“<”、“>”、“≥”、“≤”表示大小关系的式子叫作不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。2.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解；3.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集；4.不等式解集的表示方法：（1）用最简的不等式表示，一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围；（2）用数轴表示，不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，形象的表明不等式的无限个解（注意：边界点和方向）。①确定边界点：若边界点是不等式的解，则用实心点；若边界点不是不等式的解，则用空心点；②确定方向：对边界点而言，当或时，向右画；当或时，向左画。不等式的性质1.不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。2.不等式的基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。3.不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。二、一元一次不等式（组）及其应用一元一次不等式1.一元一次不等式的概念：一般地，只含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式。2.一元一次不等式与一元一次方程的区别与联系：（1）相同点：二者都是只含有一个未知数，且未知数的次数为1，左边和右边都是整式；（2）不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号连接，等号没有方向。一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式的解集的过程叫作解不等式。2.解一元一次不等式的一般步骤：①去分母：防止漏乘不含分母的项，乘以（或除以）负数时，不等号要改变方向，分子是多项式时，须加括号；②去括号：防止漏乘括号内的项和出现符号错误；③移项：过了不等号的项要变号；④合并同类项：防指计算错误；⑤系数化为1：除以负数时要改变不等号的方向。一元一次不等式组1.一元一次不等式组的概念：一般地关于同一个未知数的几个一元一次不等式合