《概率论与数理统计》试卷A(2025-2026-1)

第2页,共9页暨南大学考试试卷教师填写20__13__-20__14___学年度第__1_____学期课程名称：___概率论与数理统计_____授课教师姓名：__罗世庄________________考试时间:__2026_____年___1_____月___10___日课程类别必修[]选修[]考试方式开卷[]闭卷[]试卷类别(A、B)[A]共6页考生填写学院(校)专业班(级)姓名学号内招[]外招[]题号一二三四五六七八九十总分得分一、单选题（每小题2分，共20分）请将答案填写在相应括弧内。设A、B、C是三个随机事件，则事件“A发生但B和C均不发生”可表示为………..…(C). (A)； (B)； (C)； (D)随机事件A与B互不相容，且则以下不正确的公式是…………(B). (A)； (B)； (C)； (D)函数sinx在以下哪个区间上可以作为随机变量的密度函数？…………….(A). (A)； (B)； (C)； (D).设随机变量X的分布函数是，则………...(B). (A)； (B)； (C)； (D).设随机变量X服从泊松分布P(2)，则概率P{X=1}=……..…..………….…(D). (A)； (B)； (C)； (D)设随机变量X的数学期望和方差分别为E(X)=5,D(X)=2,则D(4X+2)=….(C). (A)8； (B)10； (C)32； (D)34概率论中用来阐述大量随机现象平均结果的稳定性的定理统称为…………..………..….(B). (A)中心极限定理； (B)大数定律； (C)稳定性原理； (D)概率公理从总体N(5,10)中随机抽取容量为5的样本，则该样本均值所服从的分布是………..……(D). (A)N(5,10)； (B)N(1,2)； (C)N(1,10)； (D)N(5,2).设是总体参数的估计量，且有,则称是的………………..(D). (A)有效估计量； (B)一致估计量； (C)最优估计量； (D)无偏估计量设是总体N()的随机样本,则服从分布t(4)的样本函数是…..………..(C). (A)； (B)； (C)； (D)暨南大学《概率论与数理统计》试卷考生姓名：学号：二、计算题(I)（共5小题，每小题6分，共30分）设A和B是两个随机事件，P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.4，求P(AB)，及P(A|B)。解： (2分) (2分) (2分)已知一箱中装有10个红球和4个黑球，从中随机取出3个球。求取出2红球和1个黑球的概率。解：令A表示事件“出2红球1个黑球”，则 (2分) (4分)已知一条生产线的次品率是10%，随机抽查5件产品，求所抽查的产品中有次品的概率。解：令X表示被抽取的5件产品中所含的次品数，则X~B(5,0.1) (2分) (2分) (2分)一盒中装有20个零件，其中有5个次品。从盒每次随意取出一件(不放回)，求在第三次才取到正品的概率。解：令Ai表示第i次取到正品，则三次内取到正品的概率为 (2分) (4分)设随机变量X的密度函数为，求常数C和概率。解:因为 ， 所以 (3分)所以 (3分)三、计算题(II)（共4小题，每题5分，共20分）设随机变量X的密度函数为，求其函数Y=X2的密度函数。解： (3分)所以 (2分)设随机变量X的密度函数为，求E(X)和D(X)。解： (3分) (2分)设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布律如下表XY－10110.20.30.120.10.10.2求Y的边缘分布和当X=1时Y的条件分布，并判断X与Y是否相互独立。解：Y的边缘分布为Y－101(2分)PY0.30.40.3当X=1时Y的条件分布Y－1012分)PY|X=11/31/21/6因为，所以X与Y不相互独立。 (1分)设总体X的密度函数是,其中>0.x1,x2,…,xn是X的一个随机样本,求未知参数的最大似然估计。解： (2分) (3分)暨南大学《概率论与数理统计》试卷考生姓名：学号：四、应用题(共4小题，每小题6分，共24分)一批零件的合格率为90%，利用中心极限定理估计在随机抽取的200件零件中，不合格的零件数不超过10件的概率.解：设X表示不合格零件数，X服从二项分布B(2000,0.1) 所以 E(X)=200*0.1=20，D(X)=200*0.1*0.9=18 (2分)由中心极限定理知 (3分)一批滚珠的直径服从正态分布,现随机抽取16颗,测得平均直径为10.1(mm)样本标准差为0.1(mm)，求这批滚珠直径的均值和方差的置信度为0.95的置信区间(相关参数查第8页数表)。解： 均值置信度为0.95的置信区间为 (3分) 均值和方差的置信度为0.95的置信区间 (2分)暨南大学《概率论与数理统计》试卷考生姓名：学号：某设备有4个独立工作的部件A,B,C,D，它们的联接方式如右图所示。若这些部件的正常工作的概率均为0.9，试求该系统可以正常工作的概率。解：令A，B，C，D分别表示相应部件正常工作，令G表示系统正常工作。则则 因为，部件A，B，C，D独立工作，所以 (2分) (3分)即系统的正常工作的概率为0.8829.一建筑公司为其所建的路灯选配灯泡，在竞标的两个品牌的灯泡中各选取9只进行使用寿命测试。测试结果统计如下表指标品牌1品牌2样本均值(小时)20001970标准差(小时)10080假设两品牌的灯泡寿命均服从正态分布且方差相同。试检验两品牌灯泡寿命有无显著差异？(显著水平=0.01，检验临界值查第8页数表)解：假设 (1分)检验统计量 (1分)检验临界值 (1分)检验统计量样本值 (1分)统计推断因为|T|=0.707<2.921，所以接受原假设，即在0.01显著水平上认为两品牌灯泡寿命无显著差异。 (1分) 四、证明题(6分)设X1,X2,…,Xn是正态分布总体N()的随机样本，Xn+1服从正态分布N()且与X1,X2,…,Xn独立，证明统计量U服从标准正态分布，其中， 其中：证明：因为 ， (2分)所以 (2分) (2分) 表1：标准正态分布数值表x0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64060.64430.64800.65170.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.72240.60.72570.72910.73240.73570.73890.74220.74540.74860.75170.75490.70.75800.76110.76420.76730.77040.77340.77640.77940.78230.78520.80.78810.79100.79390.79670.79950.80230.80510.80780.81060.81330.90.81590.81860.82120.82380.82640.82890.83150.83400.83650.83891.00.84130.84380.84610.84850.85080.85310.85540.85770.85990.86211.10.86430.86650.86860.87080.87290.87490.87700.87900.88100.88301.20.88490.88690.88880.89070.89250.89440.89620.89800.89970.90151.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.91771.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92790.92920.93060.93191.50.93320.93450.93570.93700.93820.93940.94060.94180.94290.94411.60.94520.94630.94740.94840.94950.95050.95150.95250.95350.95451.70.95540.95640.95730.95820.95910.95990.96080.96160.96250.96331.80.96410.96490.96560.96640.96710.96780.96860.96930.96990.97061.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97610.97672.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.98172.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.98572.20.98610.98640.98680.98710.98750.98780.98810.98840.98870.98902.30.98930.98960.98980.99010.99040.99060.99090.99110.99130.99162.40.99180.99200.99220.99250.99270.99290.99310.99320.99340.99362.50.99380.99400.99410.99430.99450.99460.99480.99490.99510.99522.60.99530.99550.99560.99570.99590.99600.99610.99620.99630.99642.70.99650.99660.99670.99680.99690.99700.99710.99720.99730.99742.80.99740.99750.99760.99770.99770.99780.99790.99790.99800.99812.90.99810.99820.99820.99830.99840.99840.99850.99850.99860.99863.00.99870.99870.99870.99880.99880.99890.99890.99890.99900.9990表2：t分布双侧分位数值表（n：自由度）n0.90.80.70.60.50.40.30.20.10.050.020.0180.1300.2620.3990.5460.7060.8891.1081.3971.8602.3062.8963.35590.1290.2610.3980.5430.7030.8831.1001.3831.8332.2622.8213.250100.1290.2600.3970.5420.7000.8791.0931.3721.8122.2282.7643.169150.1280.2580.3930.5360.6910.8661.0741.3411.7532.1312.6022.947160.1280.2580.3920.5350.6900.865