高考数学一轮复习2直线与圆的位置关系课时作业理湘教版选修4-1

2016届高考数学一轮复习2直线与圆的位置关系课时作业理湘教版选修4-1一、选择题1.(2013·吉林月考)如图,P是圆O外一点,过P引圆O的两条割线PB.PD,PA＝AB＝

,CD＝3,则PC等于()A.2或－5B.2C.3D.10【解析】设PC＝x,由割线定理知PA·PB＝PC·PD.即

×2

＝x(x＋3),解得x＝2或x＝－5(舍去).故选B.【答案】B2.如图,AB是⊙O的直径,EF切⊙O于C,AD⊥EF于D,AD＝2,AB＝6,则AC的长为()A.2B.3C.2

D.4【解析】连接OC,则OC⊥EF,在直角梯形OCDA中,CD2＝AO2－(OC－AD)2＝8,∴AC＝eq\r(CD2＋AD2)＝2eq\r(3).【答案】C3.如图,在圆内接四边形ABCD中,AB和DC延长线交于P点,AC和BD交于E点,则图中的相似三角形有()A.5对B.4对C.3对D.2对【解析】由圆周角和圆内接四边形性质可知:△ABE∽△DCE、△ADE∽△BCE、△PAC∽△PDB.△PAD∽△PCB.故选B.【答案】B4.(2013·海淀区期末)如图,半径为2的⊙O中,∠AOB＝90°,D为OB的中点,AD的延长线交⊙O于点E,则线段DE的长为()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(3\r(5),5)D.eq\f(\r(3),2)【解析】延长BO交圆O于点F.由D为OB的中点,知DF＝3,DB＝1.又∠AOB＝90°.所以AD＝

,由相交弦定理知AD·DE＝DF·DB,即3×1＝

×DE,解得DE＝eq\f(3\r(5),5).【答案】C5.(2014·宜昌质检)如图所示,AD,AE,BC分别与圆O切于点D,E,F,延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论:①AD＋AE＝AB＋BC＋CA;②AF·AG＝AD·AE;③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是()A.①②B.②③C.①③D.①②③【解析】逐个判断:由切线定理得CE＝CF,BD＝BF,AD＝AE,所以AD＋AE＝AB＋BD＋AC＋CE＝AB＋AC＋BC,即①正确;由切割线定理得AF·AG＝AD2＝AD·AE,即②正确;因为△ADF∽△AGD,所以③错误.故选A.【答案】A6.(2013·南通模拟)如图,已知EB是半圆O的直径,A是BE延长线上一点,AC切半圆O于点D,BC⊥AC于点C,DF⊥EB于点F,若BC＝6,AC＝8,则DF＝()A.1B.3C.4D.6【解析】设圆的半径为r,AD＝x,连接OD,得OD⊥AC.∵BC⊥AC,∴OD∥BC.∴

＝

,即

＝

,故x＝eq\f(4,3)r.在Rt△ABC中,BC＝6,AC＝8,∴AB＝10.又由切割线定理得AD2＝AE·AB,即

r2＝(10－2r)×10,故r＝eq\f(15,4).由三角形相似,知

＝

,则DF＝3.【答案】B二、填空题7.如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF＝CF＝

,AF∶FB∶BE＝4∶2∶1,若CE与圆相切,则线段CE的长为________.【解析】由题意可设AF＝4x,FB＝2x,BE＝x.由割线定理,得AF·FB＝DF·FC,即4x×2x＝

×

,解得x＝

.所以AF＝2,FB＝1,BE＝

.由切割线定理,得EC2＝BE·EA,即EC2＝

×

,解得EC＝

.【答案】eq\f(\r(7),2)如图所示,EA是圆O的切线,割线EB交圆O于点C,C在直径AB上的射影为D,CD＝2,BD＝4,则EA＝________.【解析】由AB为圆O的直径,得AC⊥BC,又CD⊥AB,则由射影定理可知CD2＝AD·BD,解得AD＝1,又由EA是圆O的切线,得EA⊥AB,所以CD∥AE,所以

＝

,即

＝

,∴EA＝

.【答案】eq\f(5,2)(2014·东城区综合练习)如图,已知PA是⊙O的切线,A是切点,直线PO交⊙O于B,C两点,D是OC的中点,连接AD并延长交⊙O于点E,若PA＝2

,∠APB＝30°,则AE＝________.【解析】根据已知可得,在Rt△PAO中,AO＝APtan30°＝2.所以OD＝1,且∠AOD＝120°.在△AOD中,根据余弦定理可得AD＝eq\r(4＋1－2×2×1×cos120°)＝eq\r(7).又根据相交弦定理得CD·DB＝AD·DE,即1×3＝

×DE,所以DE＝

,所以AE＝

.【答案】eq\f(10\r(7),7)10.(2014·陕西西安三模)以Rt△ABC的直角边AB为直径的圆O交AC边于点E,点D在BC上,且DE与圆O相切.若∠A＝56°,则∠BDE＝________.【解析】如图所示,连接OE,则OE＝OA,∴∠OEA＝∠A＝56°,则在△OEA中,∠EOA＝68°.∵DE与圆O相切,且E在圆上.∴OE⊥DE,即∠DEO＝90°.又∵∠B＝90°,∴∠B＋∠DEO＝180°,∴O、E、D、B四点共圆,∴∠BDE＝∠EOA＝68°.【答案】68°三、解答题11.如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点,AE＝AC,DE交AB于点F,且AB＝4,BP＝2,(1)求PF的长度;(2)若圆F与圆O内切,直线PT与圆F切于点T,求线段PT的长度．【解析】(1)连接OC,OD,OE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系,结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE＝∠AOC.又∠CDE＝∠P＋∠PFD,∠AOC＝∠P＋∠OCP,从而∠PFD＝∠OCP,故△PFD∽△PCO,∴

＝

,由割线定理知PC·PD＝PA·PB＝12,故PF＝eq\f(PC·PD,PO)＝eq\f(12,4)＝3.(2)若圆F与圆O内切,设圆F的半径为r,因为OF＝2－r＝1,即r＝1,所以OB是圆F的直径,且过P点的圆F的切线为PT,则PT2＝PB·PO＝2×4＝8,即PT＝2

.12.(2014·银川模拟)如图,△ABO三边上的点C.D.E都在⊙O上,已知AB∥DE,AC＝CB.(1)求证:直线AB是⊙O的切线;(2)若AD＝2,且tan∠ACD＝

,求⊙O的半径r的长.【解析】(1)证明:∵AB∥DE,∴

＝

,又OD＝OE,∴OA＝OB.如图,连接OC,∵AC＝CB,∴OC⊥AB.又点C在⊙O上,∴直线AB是⊙O的切线.(2)如图,延长DO交⊙O于点F,连接FC.由(1)知AB是⊙O的切线,∴弦切角∠ACD＝∠F,∴△ACD∽△AFC,且在Rt△DCF中,tan∠F＝

＝tan∠ACD＝

,∴

＝

＝

,又AD＝2,∴AC＝4.由切割线定理可知AC2＝AD·AF,则2·(2＋2r)＝42,∴r＝3.13．如图,已知PA与圆O相切于点A,半径OB⊥OP,AB交PO于点C.(1)求证:PA＝PC;(2)若圆O的半径为3,OP＝5,求BC的长度．【解析】(1)证明:如图,连接OA.因为OA＝OB,所以∠OAB＝∠OBA.因为PA与圆O相切于点A,所以∠OAP＝90°.所以∠PAC＝90°－∠OAB.因为OB⊥OP,所以∠BCO＝90°－∠OBA.所以∠BCO＝∠PAC.又因为∠BCO＝∠PCA,所以∠PCA＝∠PAC,从而PA＝PC.(2)如图,假设PO与圆O相交于点M,延长PO交圆