大学高数下二重积分的计算

大学高数下二重积分的计算演示文稿第1页，共60页。大学高数下二重积分的计算第2页，共60页。

先将二重积分化为二次积分，然后先后计算两次定积分求得二重积分的值.第3页，共60页。如果积分区域D

可表示为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分

1、x－型区域则D

称为

x－型区域

.第4页，共60页。应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得第5页，共60页。如果积分区域D

可表示为：其中函数、在区间上连续.2、y－型区域则D

称为

y－型区域

.第6页，共60页。

x－型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.

y－型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.第7页，共60页。1)如果积分区域D

可表示为x－型区域又可表示为y－型区域，且f(x,y)在D

上连续，则有：3、其他情形采用哪一种次序积分就取决于被积函数的结构.第8页，共60页。2)如果积分区域D

不是x－型区域也不是y－型区域，可用平行坐标轴的直线段分割，把D

分割为若干个两类标准区域，在每个标准区域上计算二重积分，再根据重积分对区域可加性，在各个标准区域上的积分之和就是D

上的二重积分.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.第9页，共60页。例1解①求曲线的交点：②画出草图并将区域写成不等式形式：③计算：第10页，共60页。计算二重积分的几点说明：1)化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由区域D

的几何形状确定的，因此计算二重积分应先画出积分区域D的图形.2)第一次积分的上、下限是函数或常数，而第二次积分中的上、下限一定是常数，且下限要小于上限.3)积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，且区域的划分要尽量地简单.第11页，共60页。解①②如图③第12页，共60页。解积分区域如图第13页，共60页。解积分区域如图第14页，共60页。解第15页，共60页。解第16页，共60页。第17页，共60页。第18页，共60页。例11解先去掉绝对值符号，如图第19页，共60页。二、利用积分域和被积函数的对称性计算二重积分第20页，共60页。第21页，共60页。第22页，共60页。第23页，共60页。A第24页，共60页。第25页，共60页。第26页，共60页。三、利用极坐标系计算二重积分第27页，共60页。二重积分化为二次积分的公式（１）1、极点O在D的外部区域特征如图第28页，共60页。区域特征如图第29页，共60页。二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图2、极点O在D的边界上第30页，共60页。极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图3、极点O在D的内部第31页，共60页。第32页，共60页。第33页，共60页。法二:积分区域关于x轴对称,第34页，共60页。解第35页，共60页。解第36页，共60页。解第37页，共60页。第38页，共60页。第39页，共60页。解第40页，共60页。解第41页，共60页。解第42页，共60页。第43页，共60页。第44页，共60页。二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）四、小结［y－型］［x－型］（在积分中注意使用对称性）第45页，共60页。二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）第46页，共60页。思考题第47页，共60页。思考题解答第48页，共60页。第49页，共60页。思考题第50页，共60页。思考题解答第51页，共60页。练习题第52页，共60页。第53页，共6