复变函数的积分

复变函数的积分演示文稿第1页，共79页。复变函数的积分ppt课件第2页，共79页。3一、积分的定义1.有向曲线:

设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,若选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),则称C为有向曲线.如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,简单闭曲线正向的定义:当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向.§1复变函数积分的概念第3页，共79页。42.积分的定义:(D第4页，共79页。5关于定义的说明:第5页，共79页。6二、积分存在的条件及其计算法1.存在条件：若f(z)为连续函数且C是光滑曲线，则积分一定存在。（证明略）2.积分计算：第6页，共79页。7计算方法1的推导：计算方法2的推导：第7页，共79页。8连续曲线

两个连续的实函数，则方程组代表一平面曲线，称为连续曲线。平面曲线的复数表示:曲线的数学表达

过定点，倾斜角为

的直线参数方程为：

第8页，共79页。9其参数方程为复平面上以z0为圆心，半径为r的圆：以(a,b)为圆心，半径为r的圆：第9页，共79页。10例1直线段C3:的方程为解：计算其中积分路径C分别为如下两种：直线段，和折线段写成复数形式有：直线段C4:的方程为写成复数形式有：第10页，共79页。11例1续直线段方程为这两个积分都与路线C无关（格林定理）第11页，共79页。12y=x例2第12页，共79页。13例3解积分路径的参数方程为第13页，共79页。14例4解积分路径的参数方程为第14页，共79页。15重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.第15页，共79页。16例5解(1)积分路径的参数方程为y=x(2)积分路径的参数方程为第16页，共79页。17y=x(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为第17页，共79页。18三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估值不等式第18页，共79页。19性质(4)的证明两端取极限得[证毕]第19页，共79页。20例6解根据估值不等式知第20页，共79页。21§2柯西－古萨基本定理f(z)不满足C-R方程,在复平面内处处不解析.此时积分与路线有关.由以上讨论可知,积分是否与路线无关,或沿闭曲线的积分值为0的条件，可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.上一小节几个例子：例1此时积分与路线无关.

例2

例4f(z)在以z0为中心的圆周内不是处处解析的，此时虽然在除z0外的圆内处处解析，但此区域已不是单连通域第21页，共79页。22积分定积分二重积分三重积分曲线积分曲面积分积分域区间平面区域空间区域曲线曲面曲线积分第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）高数知识回顾：曲线积分在高等数学中我们学习了下列积分：第22页，共79页。23二重积分第23页，共79页。24第一型曲线积分如果L是闭曲线,则记为设L

是空间可求长曲线段,f(x,y)为定义在L上的函数，则可定义f(x,y)在空间曲线L

上的第一型曲线积分，并记作第24页，共79页。25第二型曲线积分

变力沿曲线作功:设一质点受如下变力作用沿曲线

L

从点A

移动到点B

，则力F(x,y)所作的功由如下曲线积分给出：或也记为或简记为P、Q是连续函数第25页，共79页。26格林(Green)公式定理(格林公式)若函数在闭区域D上具有连续一阶偏导数，则有：其中L

为区域D

的边界曲线，并取正方向.第26页，共79页。27曲线积分与路线的无关性定理在D内具有一阶连续偏导数,(iii)沿D中任意按段光滑闭曲线L,有(ii)对D中任一按段光滑曲线

L,曲线积分(i)在D内处处成立与路径无关,只与L

的起点及终点有关.

设D是单连通域，函数则以下三个条件等价:第27页，共79页。28根据格林公式：第28页，共79页。29柯西－古萨基本定理（柯西积分定理）定理中的C可以不是简单曲线.第29页，共79页。30关于定理的说明:(1)如果曲线C是区域B的边界,(2)如果曲线C是区域B的边界,定理仍成立.例根据柯西－古萨定理,有第30页，共79页。31§3复合闭路定理第31页，共79页。32︵︵设函数f(z)在多连通域D内解析第32页，共79页。33︵︵︵︵︵︵︵︵第33页，共79页。34得解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理说明:在变形过程中曲线不经过函数f(z)的不解析的点.︵︵︵︵第34页，共79页。35例1闭路变形原理：第35页，共79页。36第36页，共79页。37复合闭路定理第37页，共79页。38例2解依题意知,第38页，共79页。39根据复合闭路定理,第39页，共79页。40例3解圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,第40页，共79页。41例4解由复合闭路定理有

此结论非常重要,用起来很方便,因为不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线内即可.第41页，共79页。42例5解由上例可知第42页，共79页。43定理一由定理一可知:

解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,(如下页图)§4原函数与不定积分第43页，共79页。44第44页，共79页。45定理二

此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.其证明也完全类似。第45页，共79页。46原函数:原函数之间的关系:证[证毕]推论：第46页，共79页。47不定积分的定义:定理三(类似于牛顿-莱布尼兹公式)说明:

有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.第47页，共79页。48例1解由牛顿-莱布尼兹公式知,第48页，共79页。49例2解(使用了微积分学中的“凑微分”法)第49页，共79页。50例3解此方法使用了微积分中“分部积分法”第50页，共79页。51例4解第51页，共79页。52一、问题的提出根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线C

的变化而改变,§5柯西积分公式第52页，共79页。53二、柯西积分公式定理-----

柯西积分公式或者：第53页，共79页。54证明：（不作要求，仅供参考）第54页，共79页。55上不等式表明,只要足够小,左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知,左端积分的值与R无关,所以只有在对所有的R积分值为零时才有可能.[证毕]第55页，共79页。56关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.(2)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.第56页，共79页。57例1解由柯西积分公式可得第57页，共79页。58例2解第58页，共79页。59例3解由柯西积分公式第59页，共79页。60定理§6高阶导数高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.第60页，共79页。61例1解第61页，共79页。62例2解第62页，共79页。63根据复合闭路定理第63页，共79页。64例3解第64页，共79页。65例4解第65页，共79页。66一、调和函数的定义§7解析函数与调和函数的关系第66页，共79页。67二、解析函数与调和函数的关系1.两者的关系定理：任何在区域

D

内解析的函数,它的实部和虚部都是

D

内的调和函数.证：根据高阶导数定理,[证毕]第67页，共79页。682.共轭调和函数的定义

区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.第68页，共79页。693.偏积分法

如果已知一个调和函数u,那末就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数v,从而构成一个解析函数u+vi.这种方法称为偏积分法.解例1故u(x,y)为调和函数。第69页，共79页。70得一个解析函数这个函数可以化为练习：答案第70页，共79页。71例2解第71页，共79页。7