多元复合函数的求导法则详解

多元复合函数的求导法则第1页，共38页。一、链锁法则引入：复合函数怎样求它的偏导数？问：若上面三个函数都是具体函数，那么，它们的复合函数也是具体函数，当然，我们会求它的偏导数。但是，若上面三个函数中至少有一个是抽象函数，那么，它们的复合函数也是抽象函数，它的偏导数又怎么求？第2页，共38页。这是一个新问题，要求出这样一个函数的偏导数，还需要新的公式。这就是下面要研究的多元函数的求导法则（或链锁法则）。第3页，共38页。定理1

设函数

及

都在点t可导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数

在点t可导，且有1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形按照多元复合函数不同的复合情形，分两种情形来讨论：第4页，共38页。将上式两边同时除以，得证：这时的对应增量为获得增量由第三节定理2的证明过程，我们可得到由此，函数z=f(u,v)相应地其中，第5页，共38页。令取极限，得，即即第6页，共38页。===第7页，共38页。如果函数

都在点t可导，函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w)具有连续偏导数，则复合函数

在点t的导数存在，且有注第8页，共38页。2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2

如果函数

及

在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数

在点(x,y)的两个偏导数存在，且有第9页，共38页。已知对y的偏导数，在点(x,y)具有对x及函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，现在，将y取定为常数，则由定理1得+得复合函数对x的偏导数存在，且有同理，将x取定为常数，则可得（4）式.此即（3）式.第10页，共38页。为了掌握复合函数的求导法则，可画复合函数结构示意图，由示意图可清楚地看出哪些是中间变量，哪些是自变量，以及中间变量和自变量的个数，公式(3)、(4)的示意图如下：zuvxy第11页，共38页。在点(x,y)的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算：

设

都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w)有连续偏导数，则复合函数注第12页，共38页。(1)求下列函数的复合函数的导数或偏导数(3)(2)第13页，共38页。解(1)+=+=+第14页，共38页。(2)++=++第15页，共38页。++=(3)+相同,但所表示的意思不同!必须加以区别!对自变量x的偏导数对中间变量x的偏导数第16页，共38页。为了避免混淆,一般地,将对中间变量的偏导数记为将对自变量的偏导数记为第17页，共38页。例如上面的(3)可写为:++=+++=+第18页，共38页。注意：

这里

与

是不同的，是把复合函数

中的y看作常数而对x的导数,

是把f(u,x,y)中的u及y看作常数而对x的导数.

与

也有类似的区别.第19页，共38页。由复合函数求导法则得解：=+=+第20页，共38页。例2解：+=+=+=+++==第21页，共38页。例3解：++=++第22页，共38页。解：+=+第23页，共38页。解注第24页，共38页。例6

设，f具有二阶连续偏导数,求这里下标1表示对第一个中间变量u求偏导数，

下标2表示对第二个中间变量v求偏导数.解同理有第25页，共38页。因所给函数由w=f(u,v)及u=x+y+z，v=xyz复合而成，所以根据复合函数求导法则，有[]=[]=++根据复合函数求导法则，有+=++=+仍是x,y,z的复合函数，第26页，共38页。++=++()+=+第27页，共38页。例7

设u=f(x,y)的所有二阶偏导数连续，把下列表达式转换为极坐标系中形式.解==由（1）式得这样，可看作由复合而成.得第28页，共38页。两式平方后相加，得根据复合函数求导法则，得第29页，共38页。=+=第30页，共38页。再求二阶偏导数，得=+第31页，共38页。==[]第32页，共38页。=+第33页，共38页。同理可得两式相加，得第34页，共38页。二、全微分形式不变性:

设函数

具有连续偏导数，则有全微分若u、v又是x、y的函数,，且这两个函数也具有连续偏导数,则复合函数的全微分为第35页，共38页。所谓全微分的形式不变性是指:

无论z是自