【《高铁动车组交路优化模型机求解分析》19000字（论文）】

目录PAGEi高铁动车组交路优化模型机求解研究中文摘要摘要：21世纪是中国飞速发展的时代，在“交通强国，铁路先行”的强国理念下，我国高速铁路的发展也是一日千里。而随着高铁的不断发展，动车组的运行范围不断扩大，基础建设和运营的成本在铁路的投资上占了很大的比例，因此，如何提高动车组的运用效率直接关系到高铁的经济效益。对此，作为运输组织的核心计划之一的动车组交路计划，其优化方法的研究具有重大的意义。本文通过综合研究国内和国外的动车组交路的相关文献，分析了动车组交路的研究现状。首先介绍了不同检修条件下的动车组交路优化研究，之后详细介绍了我国对于动车组运用方面的研究和发展。然后开始对动车组交路计划的编制优化理论进行研究总结，从编制流程到动车组交路计划的影响因素，再到优化理论中的模型构建的方法以及求解模型的算法，为本文动车组交路优化方法的研究打下坚实的基础。模型构建采用借鉴经典旅行商问题的思路，建立了一个包含多约束、多目标函数的优化模型，通过分析求解的思路，最后采用精确算法中的CPLEX，并设计了合适的算例，对动车组交路优化模型的有效性进行了检验。关键词：高速铁路；动车组；交路计划；CPLEX目录中文摘要 i目录 iii1绪论 11.1研究背景及意义 11.2研究内容安排 22高速铁路动车组交路优化研究现状 32.1国外高速铁路动车组交路优化研究现状 32.1.1考虑检修的动车组交路优化研究 32.1.2不考虑检修的动车组交路优化研究 32.2国内高速铁路动车组交路优化研究现状 42.2.1我国动车组运用方式 42.2.2我国动车组运用问题算法研究 52.2.3我国动车组运用其他方面的研究 62.3本章小结 63动车组交路计划编制及优化相关理论 73.1动车组交路计划编制流程 73.2动车组交路计划编制影响因素 83.2.1列车开行方案 83.2.2动车组类型 93.2.3动车组管理运用模式 93.2.4动车组检修 93.3动车组交路计划编制方法优化模型及算法概述 103.3.1模型概述 103.3.2算法概述 113.4本章小结 134动车组交路计划优化模型建立 134.1模型建立的基础 134.1.1模型构建分析 134.1.2旅行商问题的说明 144.1.3总结 154.2数学模型建立 154.2.1模型符号的定义 154.2.2约束条件描述 174.2.3目标函数确定 184.3优化模型分析及求解探讨 184.3.1整数规划问题求解思路194.3.2多目标函数问题求解思路194.4本章小结 205动车组交路优化模型求解研究 205.1算例数据确定 215.2算例计算结果 225.3本章小结 246总结与展望 246.1论文总结 246.2展望 25参考文献 26正文绪论1.1研究背景及意义中国高速铁路的发展的开端，对于不同的标准和定义，国内外的说法也不一，但是，于2008年8月1日开通运营的京津城际，是真正意义上的第一条无任何争议的，国内外所公认的高速铁路。截至2020年12月31日，中国的高速铁路营业里程已达3.8万公里，牢牢的占据着世界第一的位置。这离不开国家的大力支持，从2004年国务院审议通过的《中长期铁路网规划》（下文写为《规划》）中的“四纵四横”到2016年进一步调整的《规划》中的“八纵八横”通道[1]，以及各类城际铁路和区域连接线，终于形成了网络化的高速铁路线路，那么问题也随着高铁线路建设发展而来。高铁动车组的管理也被铁路部门越来越重视，其中动车组交路便是其中一环。动车组交路计划与动车组运用计划、检修计划并行，但是要编制动车组运用计划与检修计划，动车组交路计划的编制便是重要的基础。下表1.1是一些数据（截止至2020年底），数据来源于《中国国家铁路集团有限公司2020年统计公报》：表1-1我国高铁动车组部分数据表名称数据单位高铁营业里程3.8万公里高铁新建里程2521公里全国动车组标准组3918组全国动车组辆数31340辆国有动车组标准组3828组国有动车组辆数30620辆从上表可看出，我国对于高铁动车组的建设发展十分支持，投入也十分巨大。因此，针对我国动车组资源十分庞大的现状，动车组交路的优化所涉及的问题也十分复杂，例如动车组运用优化就要考虑列车开行需求、动车组保有量、动车运用所驻留检修能力、动车组检修规程和动车组管理模式等条件的限制。本文就将对动车组交路编制的优化方法问题进行研究。1.2研究内容安排本文研究重点在于高铁动车组交路的优化方法及相关内容，主要的研究内容安排如下：第一章为绪论，用于描述本文的研究背景和意义，在我国高速铁路飞速发展的背景下，通过对国内外相关动车组运用的文献的查阅，认识到动车组交路计划编制优化的重要性，以及涉及的各类影响因素，最后提出本文所要研究的主要内容和结构安排。第二章为高速铁路动车组交路相关问题的研究现状，总结国内外关于动车组交路优化的研究思路和已有的研究成果，也包含所涉及的动车组运用方面的内容。第三章为动车组交路编制的基本理论，这一章主要说明了动车组交路计划的具体编制方法，以及优化方法的一些基础理论依据。包括动车组交路的编制流程的分析，影响因素的总结，以及对数学规划的优化模型和求解算法的说明。第四章为动车组交路优化的数学规划模型的建立，针对我国目前实际的动车组交路的计划编制的优化需要，建立合适的优化模型。并对建立的模型进行分析以及求解思路的探讨。第五章为动车组交路优化模型的求解，即算例设计及求解分析，本章用于承接上一章中建立的数学规划模型，通过设计出算例对建立的数学规划模型进行应用，通过对得出的优化结果分析，对建立的模型进行有效性的验证。第六章为总结与展望，论文的工作总结部分简单的描述了本文主要进行的工作，展望部分对本文研究过程中发现的问题、受到的启发进行了总结。以下图1.1是本文的研究路线图：图1-1研究路线图正文2高速铁路动车组交路优化研究现状2.1国外高速铁路动车组交路优化研究现状根据查阅的资料进行的总结，可以得出国外的高速铁路动车组交路优化的研究，主要根据是否考虑检修而分成以下两大类。2.1.1考虑检修的动车组交路优化研究根据动车组交路的编制流程，检修因素是其中重要的一环，在列车运行的过程中，这种约束作用回不断的累加起来，又因为一般运用的数学规划模型是线性的，所以无法去表述出来。根据国外的研究表明，一般对于这个约束，采用智能优化算法或者是启发式算法去处理，并且能获得比较好的处理效果。其中启发式算法是相对于最优化算法提出的，它主要以仿自然体算法为主，主要包括蚁群算法、神经网络、模拟退火法等。Tomoshi于2011年也是最早提出启发式搜索方法，他建立的模型是集合划分的多商品流模型，针对附加检修约束的动车组交路计划编制问题，能在比较短的时间内获得近优解[2]。Yasutaka在2012年提出的结合局部搜索的蚁群算法，主要针对违反软约束数量最小这一条件的动车组交路计划编制问题，当然，这也是包括了定期检修的约束的[3]。Zhou等人在2017年采用了多种群的遗传算法，对建立的优化模型进行的求解，模型的优化目标是和动车组效率密不可分的列车接续时间以及检修的成本，最后达到的效果也比较理想[4]。Lusby等人在2017年也提出了一个数学模型关于基础路径的描述，此模型能比较容易地处理检修相关的约束条件[5]。2.1.2不考虑检修的动车组交路优化研究关于不考虑检修的动车组交路计划编制问题，一般是基于多商品流理论去建立数学规划模型，然后使用经典精确算法或者是商用优化引擎来求解。多商品流理论是网络流理论的发展过程中出现的，在铁路的车流分配以及车流径路的优化等方面有较多的应用。国外的研究学者在做优化动车组交路计划的课题时，绝大部分是采用多商品流理论进行建模，十分贴合实际的着重考虑客流需求，包含重联分解的过程，也把动车组的运用效率、服务质量、运营成本等比较实际的作为优化目标。采用的求解工具为CLPEX，CPLEX是一种数学优化技术，主要用于提高效率、快速实现策略并提高收益率，它可将一些复杂的业务问题换一种表现形式，变为数学规划模型，并找到这个模型的解决方案[6]。2.2国内高速铁路动车组交路优化研究现状因为国内高速铁路的起步比较晚，所以早期有关于动车组交路的编制方法是在借鉴国外研究成果之上的，但是随着我国高铁的发展，路网规模越来越大，后面的研究也越来越切合我国动车组运用管理的实际需求。2.2.1我国动车组运用方式在我国发展动车组之前，普速列车的既有线全部是采用固定运用方式来进行机车周转，但是动车组运用的方式对比于普速列车，有着它的特殊性，国内学者对此也进行了深入的研究。动车组运用方式研究最早可追溯到1998年，赵鹏等人针对动车组运用方式对比研究了固定式、不固定式和半固定式，三种方式，得出的结论是半固定式最佳。并且还根据研究，添加了实际的约束条件，例如站间固定、区段套跑[7]。直到2002年，兰淑梅等研究发现，动车组驶出检修段所后，可以在多个不同的方向上担当若干次往返作业，直至到达定下的运行公里数去最近的段所检修，这种新型动车组运行方式也被称为环形运转方式[8]。为了进一步加强动车组运用的规律性，同时满足能解决维修段所等基地的零部件和人员的配置问题，耿敬春等于2006年提出一种周期式动车组运用方式。在此基础上，簇式运用方式由花伟等在2010年提出，这种方式可以满足日常检修和定期检修的安排，还可以进一步提高运用效率，对比周期方式也有更大的活动范围，这对于整个动车组周转系统有着更为协调的作业[9]。动车组运用方式的研究，是我国高铁动车组发展的缩影，从最初的对比研究到后面一代又一代的更替，动车组运用越来越科学合理。2.2.2我国动车组运用问题算法研究我国动车组运用面对的问题比较多，也比较杂，所以针对有着不同约束条件的不同的问题，我国学者的研究方向也不尽相同。但是对于算法的研究里，大多是启发式算法，例如模拟退火算法和蚁群算法等。同时，还针对了具体不同的约束条件，进行了具体的分析建模，例如动车组周转的整数规划模型，并采用两阶段的启发式算法求解。张杰等在2006年，对于动车组的运用问题，有意的将动车组运用计划转化为交路段生成以及交路生成两个问题，然后提出了新的解决思路，即运用紧凑接续算法研究，动车组运用问题经过了分解转化的过程，算法的选用也比较合理，最后求解的复杂性在所有有意去铺垫的条件下显著的下降[10]。王莹等于2009年针对客运专线中动车组运用计划以及检修计划所涉及的相关影响因素，采用列生成算法，描述出了此问题的动态变化的特点。主要涉及的是“以车定线”和“以车调线”两种优化理论方法。接着在2010年，王莹等通过建立数学规划模型尝试优化动车组运用时，研究在优化模型的约束条件远小于决策变量的特定条件下，通过设计分支定价算法，对案例进行分析发现，动车组的运用效率只有在检修能力和备用车数量相匹配时才能达到最大化[11]。关于模拟退火算法的研究，郭海燕等早在2007年，首先考虑了将动车组运用问题转化为旅行商问题（TSP），并且通过实际尝试各类优化算法，综合考虑各类算法的特点，研究认为模拟退火算法是解决问题的最佳算法。后续张洪雨在2020年再次运用模拟退火算法，针对动车组交路计划优化的研究，建立起数学规划模型，选取武深高铁网络以及列车时刻表的数据进行了仿真模拟，将得出的结果与人工方法进行对比，发现在交路数量相同的情况下，人工方法的检修次数比模拟退火算法多了一次，这就大大降低了动车组的利用率，检修成本也大大增加[12]。关于蚁群算法的研究，2009年佟璐等同样采用将动车组运用问题转化为旅行商问题（TSP）的方法，进而运用蚁群算法去求解。在研究过程中，根据目标，一是要满足动车组维修需求的同时尽量减少动车组的使用数量，第二个目标是还要有利于动车组调度与调整,考虑到动车组运用的均衡性，建立起数学模型，然后选取武广客运专线的数据，包括基础的线路数据以及列车运行的数据，通过蚁群算法，到达了在动车组维修的需求满足下，动车组维修次数最小的结果，从而提高动车组的利用率。2013年李华等通过归纳总结蚁群算法的思路，针对动车组交路优化求解问题的一些特点，把算法的主要内容进行了改进，包括蚁群算法的解的构造、路径选择与回路生成、信息素更新和总体的步骤优化[13]。2.2.3我国动车组运用其他方面的研究基于最优接续网络的动车组交路计划优化模型与算法研究中，苗建瑞等（2012）在列车运行图已知的条件下，通过建立多目标的整数规划模型，设计了基于动车组运用数量最少的接续网络分层优化启发式算法，算法的验证采用的是广深线的数据，结论是方法可用于求解动车组交路计划的最优解[14]。基于里程最大化的动车组交路计划优化方法中，李建等（2017）考虑的是在动车组一级检修的里程周期和时间周期的约束条件下，将优化目标定为动车组运行里程最大化和列车接续时间最小化，建立0-1整数规划模型，采用设计小型动车组交路计划编制算例的方法，通过Lingo11.0数学规划软件进行了精确求解，最后结论也说明了此种方法适用于小型规模的动车组交路计划的优化，针对大型交路计划的优化，还需要探索启发式算法的设计来解决问题[15]。基于到发线运用的动车组交路计划优化方法研究中，孙静霞等描述了在现存的车站到发线数量不足、到发线运用计划不完善的实际情况下，动车组交路计划的编制也存在着问题。该文章通过确定优化目标为以最少的动车组数量来完成相应的铁路运输任务，在运行图已知的情况下，构建起动车组接续网络，建立模型。后续将京津城际的实际线路数据代入模型，采用IBMILOGCPLEXOptimizationStudioV12.3软件进行求解，最终结论验证了模型的可行性[16]。2.3本章小结本章按国外和国内的相关动车组交路计划的研究进行总结，国外的研究主要分为两大类，即是否考虑检修的动车组运用问题，由此对应的算法也不尽相同。而国内的研究则比较多样化，但是可以从我国动车组的发展历程来总结。从初期的研究动车组的基础的运用方式，到对动车组交路计划编制的基本理论的完善，最后开始对动车组交路计划优化方法和算法研究的不断深入，可以看出我国对动车组交路计划优化的研究已经到了一个比较成熟的阶段，无论是模型的建立还是算例的模拟，以及运用智能软件来求解，都还有很大的领域去探索，去发掘。正文3动车组交路计划编制及优化相关理论动车组交路计划是动车组运用问题的核心基础，主要对象是机车车辆，所以交路计划可以定义为编制出机车车辆或者说是动车组的列车接续计划，并且满足现有的各种约束条件，例如检修能力的约束。交路计划要求能按照已经制定的动车组运用、检修管理的模式，在一定的时间和线路范围内，完成按照列车运行图上制定的列车任务，而交路计划的优化，则是在完成任务的基础上，进一步的达到车底数量最少、旅客坐席需求的完全满足以及检修次数最少等目标。3.1动车组交路计划编制流程第一种编制流程是比较常用的，基于列车运行图和相关的动车组运用管理模式规定来编制动车组交路计划。我国现有的动车组运用客观条件有：建成的动车组段所数量较少、间隔距离较长、布局也比较分散，同时动车组保有数量少、动车组的车型多且杂等。而具体的动车组运用措施手段有：动车组检修采用双修制、检修需要回到配属段所等。这种编制流程需要的是综合考虑到各个限制因素，来优化编制动车组交路计划[17]。图3-1编制流程一第二种编制流程，涉及动车组交路和列车运行图的协调优化，这就需要同时编制出动车组交路计划以及列车运行计划。此编制流程的首要目标是达到最大的动车组运行效率，同时满足旅客出行的需求，因为涉及旅客的需求变化，从而比较少采用这种编制流程作为优化动车组交路计划的思路。但是在我国当前高铁陆续建成的情况下，需要对新开通的线路进行编制动车组运用计划时，就可以满足列车开行方案的时刻表上的宽松限制，通过协调优化来同时编制列车运行图以及动车组交路计划，完成优化动车组交路计划的目的。图3-2编制流程二3.2动车组交路计划编制影响因素动车组交路计划作为动车组运用计划的核心和基础，其编制离不开我国运输组织过程中的分阶段、分级的方法。由于其编制是采用这种层层进行的方式，所以，在编制动车组交路计划时，就不能只是考虑这单独的一个计划编制的影响因素，还要纵向的分析从最初的宏观的策略规划层到最末端的微观的实际实施层，如列车开行方案等环节。3.2.1列车开行方案铁路旅客列车开行方案确定旅客列车运行区段、列车种类、径路、开行对数及车底担当局的计划，其中，旅客列车的始发站、终到站及经由线路构成旅客列车的运行区段，列车种类区别出列车不同的等级或性质，开行对数的多少表示行车量的大小。列车开行方案的确定，则是在客流量的基础上，即按流开车。列车开行方案能直接影响列车运行图的质量，进而会影响到动车组交路计划的编制。列车开行方案作为运输组织计划的一个重要的输入条件，它包含的内容十分多样，为达到减少动车组数量，会影响开行长距离的列车的列数，同时，又要要求列车运行图中的列车时刻安排合理，那么，动车组折返、接续次数会减少，从而达到另一个目的，即动车组接续时间减少。由此可以得出，动车组交路计划的优化离不开列车开行方案，只有确定好一个合理的列车开行方案，动车组的运用效率才能尽可能的提高。动车组的列车开行方案的确定，离不开对我国实际情况的分析。我国正处于规划和修建高速铁路的高峰时期，每年新增的高铁营业里程正不断的扩大我国的高铁客运服务网，对此，列车开行方案的制定离不开对客流属性的分析。根据不同的客流规模和特性，制定的开行方案中的列车类型、开行距离、开行密度等都有差异，这也就更需要充分的考虑列车运行线的长短、列车担当任务、检修任务安排等，力求达到对动车组运用时间的最大化，减少动车组的空费、无效的检修等待时间，从而在降低运营成本的方面提高动车组的利用率。3.2.2动车组类型我国动车组的发展时间虽然不算长，但是进步是巨大的，其中动车组的类型也是随之增加。其中主要是CRH系列动车组，这一系列又分为CRH1、CRH2、CRH3、CRH5，四个主型号，而根据动车组运营的时速、定员数量、编组等不同，主型号下又分为若干个子型号。在交路计划编制的过程中，要求的是同一交路内运行线上必须是同一类型的动车组，因此，动车组交路计划就需要根据不同的动车组型号进行单独编制。动车组型号的影响也可以根据我国现在的高铁路网来分析，不同的线路根据其客流的不同，规划开行的动车组必定有差异，这就要求寻找最为适合某一线路的动车组型号，不过一般线路修建前的规划中，都会有建成后开行运营的动车组数据，所以动车组类型对于动车组交路优化的影响，就在于如何做到在同一交路计划内，采用最合适的动车组型号达到交路计划最优。3.2.3动车组管理运用模式自从我国铁路改革为国铁集团，即中国铁路总公司，所属的18个铁路局也变更为中国铁路某局集团有限公司，之后，我国动车组的管理变得更加的明确合理，动车组由铁路总公司购买配置，满足各铁路局的需求。之后，各大铁路局拥有动车组的分配权，可将动车组配属到下属的动车组运用段所。由此可以看出，这种管理运用的模式的优点十分明显，即各铁路局各自管理、独立使用的好处在于责任明确、检修质量得到了保障，同时，问题也存在，就是动车组的运用比较固定僵化，一些可以共用的检修备用资源，不能充分利用，还有遇到特殊紧急情况时，不能进行灵活的调整，去最快的解决问题。按照我国铁路总公司以及各大铁路局集团、客专公司的管理模式，编制动车组交路计划需要明确动车组的归属，以及动车组在接续时的选择问题，这会直接影响动车组的利用效率，交路计划必须考虑到这一问题[18]。3.2.4动车组检修动车组检修是动车组交路计划编制同样不可忽略的一大因素。检修环节是保证动车组安全、高效执行列车任务的必要手段，我国出台的动车组检修规程，里面明确的规定了各类动车组不同级别的检修内容、检修周期和检修标准时间，并且在铁路技术管理规程中也明确的要求了必须保证动车组只有在技术状态良好的情况下担当运输任务，并且保证动车组在检修周期内运行，在检修周期允许范围内要安排动车组进行相应级别的检修。我国动车组的检修包括一级检修到五级检修，在动车运用段所进行的主要是一二级检修。一级检修作为动车组日常检查修理维护的手段，根据一级修规程规定，检修里程按动车组型号分为为4000km和5000km，并且允许有10%的上浮，检修时间间隔为48h，即动车组每两天必须进行一次一级修。这些因素都能影响动车组交路的优化。同时，检修的影响还存在于动车运用段所的布局位置，因为一级修的日常性，所以动车组需要经常出入动车运用段所，这里的运行距离和时间在动车组运用效率的计算中，都是需要考虑的。最后，还有动车运用段所的检修能力，它是影响动车组运用的关键因素。一级修在夜晚进行，检修能力与段所的设备数量、技术人员配置等客观条件挂钩，所以这些资源在不同动车组段所的配置问题，也是一种优化的思路。3.3动车组交路计划编制方法优化模型及算法理论研究本节主要通过对查阅的资料进行总结归纳，在有关动车组交路编制方法的优化的文献中，对已有的常用的建模方法，进行详细的介绍和说明。通过研究发现，这些模型的建立都有着一些基本的共同点，但是，针对于不同的优化目标以及不同的约束条件，后续采用的设计的算法也是非常的多样化。以下按不同模型的特点进行介绍。3.3.1模型研究在针对一些特有的具有多个优化目标的编制方法时，需要建立的就不再是只有一个目标函数的优化模型了，需要建立的称之为多目标优化模型。在此模型中，由于需要建立两个及以上的目标函数，使得问题的规模以及复杂程度都大幅上升。而出现这一问题的原因就在于，我国动车组交路计划的优化方向不止一个，总结发现国内研究的较多的优化目标有动车组数量最小、动车组接续时间最短、里程最大化等。1）运用模式不同的模型我国动车组的运用方式经过了长足的研究，进过时间的磨砺和考验，现在还存在的有不固定区段、周期式运用方式，同时还有双修制下的动车组运用方式。不固定区段运用方式的优点在于可以把动车组的利用效率提高到最大，而且，因为是不固定区段，所以动车组检修的情况也可以同时考虑到，从而通过建立模型，找到动车组运用数量的最小数。但是也存在着问题，不固定区段运用动车组，意味着运行线路比较复杂，动车组周转以及接续十分密集，出现不可避免的干扰时，无法进行十分有效的调整。或者说调整起来比较困难。周期式运用方式对比不固定方式，其运行十分规律，对于运输计划的组织十分有利，在这种情况下，模型的建立涉及的问题则变得比较多，如动车组、存车线数量，动车组段所分布情况都要进行研究，目标则是使用动车组数量最小或动车组使用的效率。双修制，即以动车组运行时间和动车组运行里程两个约束条件，作为标准来确定动车组安全而高效的运行状况。在这种条件下，增加了交路计划编制的难度，建立的优化数学模型中，动车组使用数量和检修次数都会随之增加。2）不同优化思路的模型基于最优接续网络的动车组交路计划优化算法，列车运行过程中的接续时间是问题的关键，求解方法要求的是搜索的算法速度快，因此，动车组使用数量少，才能达到总的列车运行接续时间最短，从而完成找到最优接续网络。基于里程最大化，将优化目标定为动车组运行里程最大化和列车接续时间最小化，在动车组一级检修的里程周期和时间周期的约束条件下，运用精确算法，对优化目标进行精确化的求解。基于路段交换的模型，是将多基地动车组的运用计划转为多旅行商的问题，即TSP，模型需要构造运用计划网络，从而找到满足所有约束条件的回路，得到可行的计划。为此开发的算法称之为概率局域搜索算法，算法可以在建立的网络上搜索满足约束条件且对比得出值最小的回路[19-21]。3.3.2算法研究前文已经说明了，旅行商问题已被证明是一种NP-hard问题，用于解决这一问题的方法有许多，主要可根据问题的规模大小分为两类，精确算法和启发式算法。 ，当遇到规模大的问题，精确算法的计算复杂性因为指数爆炸而急剧上升，反而无法在有限的时间内做到最优。而另一大类的启发式算法，经过许多学者的研究，可以通过针对不同的特征的问题，不断的调整算法，直至算法可以达到在规定的时间内做到最优。目前已经能比较熟练的运用的启发式算法也已经在前文中列举出来了，接下来对不同的算法，进行详细的分析。1）蚁群算法蚁群算法(AntcolonyAlgorithm,ACA)作为一种比较新型的模拟进化算法,首次出现在1991年的第一届欧洲人工生命会议上，由意大利的学者M.Dorigo、V.Maniezzo和A.Colorini等人提出，它的提出源于仿生物学家的观察和研究发现：蚂蚁群体能够在互相协作的基础上，找到巢穴和食物之间的最短的路径，方法是每只蚂蚁都能在运动的过程中在走过的路径上留下一种可以被同一种群的蚂蚁识别的外激素，其包含一些信息，能够指引后来者找到更好地路径，而经过不断的重复这一过程，最后形成正反馈，达到最优。这一算法的优点在于它采用的是分布并行的计算机制，可以结合其他方法，鲁棒性比较强，但是，会经常陷入局部最优解，导致搜索解的时间变得更长，相比其他算法[22]。2）粒子群算法粒子群算法，全称粒子群优化算法，是通过模拟鸟群觅食行为而发展起来的一种基于群体协作的随机搜索算法，由J.Kennedy和R.C.Eberhart等开发的一种比较新型的进化算法。由于其出现的比较晚，所以应用在解决旅行商问题方面的研究比较少，但是其优点也十分明显，在于算法的实现比较容易、精度比较高、参数调整较少等方面，但是这种算法的收敛性还需要进一步的研究，才可以更好的应用到模型中[23]。3）禁忌搜索算法禁忌搜索算法（TabuSearch）是一种亚启发式随机搜索算法，首次在1986年由Glover提出，该算法通过一个初始可行解出发，并选择多个特定的搜索方向进行移动，然后对比后得到目标函数值最合适的那个移动方向。该算法能防止陷入局部最优的误区，通过引入了禁忌准则以及对已经进行的优化进行记忆和选择，形成的表被称为Tabu表。算法优点在于局部的搜索能力很强，同时也有全局的迭代过程，但是缺点也很明显，太过于依赖初始可行解，并且迭代的寻优过程是比较单一的串行搜索[24]。4）模拟退火算法模拟退火算法的提出时间比较早，于1953年由Metropolis提出，但是真正将其应用到组合优化的领域是三十年后的1983的Kirkpatrick。这种算法来源于固体退火过程，固体经过加热达到一个初始温度，然后经过足够长的时间，可以达到一个最后的温度，即算法中的不断进行收敛达到的最优解。这种算法在组合优化领域比较通用，理论上具有概率的全局优化性能，可以达到有效的避免陷入局部极小的结果，但是缺点的在于解决规模比较大的实际问题时，虽然有模拟退火的冷却进度表，但还是无法明显的缩短算法求解的时间[25]。5）遗传算法遗传算法(GeneticAlgorithm,GA)，由美国的Johnholland教授通过分析大自然中生物进化规律而设计出的计算模型，基本思路是模拟自然进化过程来进行搜索最优解的方法。其中，优化问题的求解过程可以类比成生物体进化的染色体基因的交叉和变异。这种优化算法可以针对传统算法无法解决的复杂的非线性问题，能较快的得出比较好的优化的结果[26]。3.4本章小结本章分为动车组交路计划的编制流程、影响因素以及对优化过程中的模型初步的介绍三部分内容。编制流程部分主要介绍了两种方法，一是在列车运行图的基础上去编制动车组交路计划，二是列车运行图未知或者需要调整的时候，同时进行列车运行图的铺画和动车组交路计划的编制，这样可以更加的协调的进行，也达到优化的目的。影响因素部分从列车开行方案讲到动车组的型号等实际条件，进一步明确了编制动车组交路计划的一些前提和约束条件。后续关于优化模型的建立，对现有的研究动车组交路优化的模型进行简单的对比，从而为本文后续建立研究模型打下基础。4动车组交路计划优化模型建立本章在前文研究说明的基础上，正式进行动车组交路计划优化模型的建立，模型建立的过程中，首先是基础的描述，包括计划编制问题的特征、以及旅行商问题的描述等，然后是模型建立过程中重要的部分，包括符号的定义、约束条件的描述以及目标函数的确定。最后是模型的分析以及求解方式的确定。4.1模型建立的基础4.1.1模型构建分析针对动车组交路计划编制问题构建合理的数学规划模型，需要考虑的是各列车运行线之间的满足的接续条件和符合我国动车组检修要求，然后把列车运行图中的运用任务对其进行组合，模型构建的基本假设和前提如下[27-29]：1）列车运行图确定是基础条件，包括了所有的运行线路的数据，如始发和终到车站、时刻以及各站的停留时间；2）动车组交路的总的走行时间和总的走行公里数满足我国的一级检修周期的范围；3）列车在同一交路内进行相互接续，必须满足接续的条件。对于相互接续的列车，相邻运行线之间的接续时间也必须符合接续的时间上的要求。动车组运用效率的影响因素十分复杂，根据前文的说明，一些硬性的约束已经确定，还存在一些可以优化的参数，接下来将对其进行确定：1）动车组运用方式：由前文对不同动车组运用方式的详细分析，从固定式到周期式，不同的方式有着其不同的优劣，适用的条件也不尽相同，本文拟采用周期性运用方式作为后续研究的基础；2）检修情况：检修作为一个对动车组交路计划编制影响力最大的因素之一，其情况需要特别的进行确定。那么本文中关于检修的情况说明如下：各个检修基地的建设情况以及布局是确定的，检修的能力按照每个检修基地所配置的固定设备确定最大的检修能力；3）空车回送：空车回送情况存在于后续列车的始发车站和前面的列车的终到站不是同一个车站，后续建立的模型中是允许存在动车组空车回送的情况的，但是也有限制条件的约束，及两车站距离的限制；4）重联问题：本文建立的模型不考虑动车组的重联问题。动车组交路计划编制就是根据列车运行线之间的接续条件和检修要求，将若干列车运行线连接在一起，形成动车组在一次检修周期内的运用内容。将各运行线看作点，各运行线之间的接续看作走行路径，那么可以把动车组交路问题看作类似旅行商问题，动车组完成运用任务就像旅行商在城市间穿行。4.1.2旅行商问题的说明旅行商问题，也可以称之为旅行推销员问题，是一个经典的组合优化问题，它的定义是：给定了一系列城市和每两座城市之间的距离，一个旅行商要访问每一座城市一次并回到起始城市，要求找到达到要求的最短回路。它是组合优化中的一个NP难问题，在运筹学和理论计算机科学中非常重要。图4-1旅行商问题简图4.1.3总结通过前两个部分的分析和说明，总结可知，首先本文的动车组交路计划编制是选取的是第一种编制流程，在列车运行图确定的基础上编制，即所有运行线的始发终到车站和时刻、途经车站和停留时间已经确定，其次是考虑检修的动车组交路优化模型，因此另一个硬性约束是动车组交路的总走行公里和走行时间必须在一级检修周期范围内。接下来对于其他的计划编制的特征以及参数约束，例如列车接续条件，也进行了确定和说明。动车组交路计划编制在这种条件下，成为了一种特殊的旅行商问题（TSP），特殊在于旅行商在旅行过程中走行距离达到一定值时就必须休息，即完成动车组的检修作业。由此进入下一步，数学模型的正式构建。4.2数学模型建立数学模型的构建，分为符号的定义、构建列车接续网络、约束条件的具体描述以及确定目标函数。4.2.1模型符号的定义首先，是一些需要说明的集合以及参数符号，符号的定义如下表4-1所示：表4-1集合及参数符号定义名称符号动车组集合L={l1,l2…ln}动车组始发、终到车站Sid、Sit动车组始发、终到时间tid、tit动车组车型ci动车组走行里程ri车站间折返作业最小时间Tmin空车回送的接续时间T1说明：空车回送的接续时间存在一个最长时间，记为Tmax，是一个常量，当空车回送的接续时间等于或者大于Tmax时，不允许空车回送，即T1≥Tmax。根据我国动车组检修的规程，动车组一级检修的对应的检修时间约束是48小时，记为Tx，一级检修对应的里程约束是4000公里，记为Sx，波动范围确定为±10%，记为±Δs。一级检修的标准作业时间是120分钟，加上在检修基地停留的时间，定为150分钟，记为T2，动车组在车站和动车组检修的动车组运用所之间运行的时间记为T3。定义动车组之间的车型匹配的变量为ψij，当动车组li和lj的车型符合接续条件时，ψij值为1，否则为0。定义列车运行线之间是否可以进行空车回送，然后进行列车的接续，匹配的变量为φij，当列车li始发车站和lj的终到车站之间的距离太远，导致接续时间不满足所允许的最大接续时间，值为0，否则为1。定义动车组从上次一级检修结束后，实际的走行公里数的变量为Sa，实际的走行时间变量为Ta。定义列车li和lj之间接续时间为eij，根据以上的定义，可列出以下eij的数学表达形式：eij=t定义两条动车组运行线li和lj之间是否可以安排一级检修的匹配变量εij，当eij≥T2+T3时，εij值为1，否则为0。模型构建过程，将进行动车组一级检修的动车组运用所看成特殊的车站，定义某一车站是否可以进行一级检修的匹配变量为γi，当动车组li的终到车站是动车运用所时，γi值为1，否则为0。决策变量的定义，主要包含两个，一是列车运行线之间的接续的变量，定义为xij，二是动车组线路之间是否进行安排一级检修，定义为yij，以下是两个决策变量的数学表达式：xij=1yij=14.2.2约束条件描述动车组交路计划的编制影响因素复杂且众多，第一部分的影响因素是硬件和设备上的，例如如动车组的类型、动车组检修基地的分布情况、规模大小以及其检修能力，另一部分影响因素，是一些理论文字上的，包括了动车组运用方式、检修的具体规定、动车组运行范围等，下面对本文要建立的模型的约束条件进行具体的描述：运用约束条件(4.4)即只有在高速铁路动车组的车型以及空车回送的条件得到满足时，动车组li和lj才被允许接续。检修约束条件(4.5)(4.6)根据前文的基础，此模型针对的动车组编制计划只考虑动车组一级检修的约束，即动车组在上一次一级检修结束开始，累计的走行里程和时间到达检修规程规定的值时，需要进行检修，才可继续进行任务。(4.7)此表达式表示动车组一级检修的时间必须考虑到检修时间与动车组从车站到维修基地的花费的时间。(4.8)此表达式表示动车组进行检修必须在可以进行检修的车站，即动车组运用所进行。3）唯一性的约束条件(4.9)(4.10)根据动车组交路计划的编制理论，动车组需要完成列车运行图规定的所有运用任务，同时，一个动车组同一个时间只能担当一条运行线路。4.2.3目标函数确定根据模型建立的条件和实际的要求，为提高编制动车组交路计划时，动车组的利用率，同时尽可能的减少动车组的使用的数量，从而达到减少动车组检修的成本，提高高速铁路的运营效率的目的，因此建立以下两个目标函数：动车组运行线之间接续时间最短(4.11)动车组运行线之间的接续时间决定了动车组在各个站停留的时间，接续时间的缩短，每个动车组交路的运行的时间也会随之缩短，这对动车组检修也十分有利。动车组交路数量最少(4.12)4.3优化模型分析及求解探讨基本的数学规划模型已经完成，由建立的模型分析可知，目标函数包括动车组接续时间最短和动车组交路数量最少两个，其决策变量也是可以得出是整数，所以建立的模型是多目标的整数规划模型。接下来对多目标的整数规划模型进行分析，然后得出求解该模型的基本思路。4.3.1整数规划问题求解思路针对整数规划问题，一般来说，大部分的整数规划问题都是NP-hard问题，用于求解整数规划问题的算法比较多，可以根据问题的实际要求来选择合适的算法，现在比较常用的求解整数规划问题的方法有分支定界法、割平面法、枚举法。分支定界法：基本思想是根据某种策略把问题的可行域分解为越来越小的子域，然后检查各个子域的整数解的情况知道找到最优解或证明最优解不存在。根据整数规划问题的实际性质不同，也有不同的分支定界的技巧。一般求解整数规划问题，先求解整数规划问题的松弛问题的解，通常其不是整数解，可利用该解对可行域进行不断的提高下界，降低上界，即先分支、后定界，直至找到最优整数解。割平面法：割平面法是受到整数规划问题的几何解释启发所形成的，一般，整数规划的最优解一定在松弛问题的最优解附近，通过增加一些附加的约束，将松弛问题最优解附近不含整数解的可行域的多余部分割去，从而搜寻整数最优解。对于比较复杂的整数规划问题，可能需要比较多大附加约束方程来进行割除，才能找到整数最优解。枚举法：对于一些比较简单的，可行域有界且较小时，可以采用穷举的方法对比得出整数最优解，但是对于可行域无界或很大时，计算量过大，因此对于许多实际的整数规划问题，无法采用这种方法求解。总结上述三种方法，都是针对比较小规模的问题，当整数规划问题一旦有比较大的规模，这三种方法的求解效率会变的比较低下，而本文建立的模型中的整数规划问题的约束条件十分多，可考虑采用精确算法CPLEX求解，CPLEX软件的优点已经被很多的学者研究证明了，复杂程度比较低，并且求解的满意度也算比较高，能达到要求。4.3.2多目标函数问题求解思路本文设计的规划模型就是多目标函数类型，包括动车组交路数量和列车运行线接续总时间。对于这种多目标函数的规划，要求做到每个目标的最优，而最后得出的解又是可能是多个，这样就加大了对比分析的难度，评价也变得更加复杂。目前处理多目标函数常用的有两种方法，分别为分层优化多目标，以及标量化方法，也称为权重方法。分层优化多目标：分层优化的思想就是首先针对一个目标函数，当其得到较好解的情况下，再去寻找另一目标函数的最优解。结合本文研究的动车组交路编制问题，涉及的两个目标函数中，“动车组运行线之间的接续时间最短”这一目标通常是可以得出多个最优解的，因为是比较典型的指派问题，多个最优解构成一个解的集合，然后在考虑另一个目标“动车组交路数量最少”，得出符合两个目标函数的比较满意的解。此种方法是通过问题分解的方式，对每个目标函数分别进行了优化，降低求解的难度。标量化方法：即权重方法，通过对各个目标的侧重点进行分析，然后给每个目标赋予一个权重，最后对每个目标和权重的积进行求和，这就把多个目标转化为了单目标。对于本文的研究模型，可以将“动车组交路数量最少”权值赋为m1，“动车组运行线接续时间最短”权值赋为m2，则可得以下公式：(4.13)(4.14)经过分析，本文拟采用第一种方法进行整数规划的求解，首先对“动车组交路的数量”这一目标函数进行最优化的处理，在模型中表现为对最优接续网络的构建，接续网络的最优意味着动车组交路数量达到最小，然后在最优接续网络的基础上，对“动车组运行线接续时间最短”这一目标进行优化。4.4本章小结本章根据前文的动车组交路优化基本理论以及模型构建部分的知识，通过分析，以及对旅行商问题（TSP）网络模型构建理论的借鉴，并且考虑动车组交路计划编制的特点，分步骤进行了约束条件和目标函数的描述，完成了动车组交路优化模型的完整构建，最后还针对模型中的整数规划问题以及多目标函数进行了求解思路的分析。5动车组交路优化模型求解研究动车组交路计划编制优化的模型的算法研究，首先根据模型的建立过程，是通过经典的旅行商问题的类比，所以本文模型的求解也同样需要借鉴TSP问题的求解。TSP问题的解是最后得出的旅行商经过的城市的一种最优的排列顺序，那么动车组交路最优则是动车组经过所有车站且完成了所有运输任务，最后回到动车运用所进行检修，这一过程中满足两个目标，即“动车组交路数量最少”和“动车组运行线接续时间最短”。本文拟采用精确算法，然后设计一个较小规模的动车组交路计划优化编制问题的算例，采用CPLEX软件，对其进行求解，以此证明建立的模型的优化的有效性。5.1模型及算法步骤具体的模型中目标函数的计算流程如下：步骤一：由设计好的算例数据中的列车时刻表，对车次进行安排；步骤二：在动车组集合L中选取空闲时间段包含列车运行线i的起止时间段的动车组，将符合条件的动车组存放在可用车底中；可用车底的确定，方法是在动车组集合L中选取空闲时间段能包含列车运行线i的始发和终到时间的动车组，存放入可用车底备选用；步骤三：列车次序表的确定，列车运行图中，在完成第i条运行线的运输任务后，在可用车底中，选择满足一级检修约束与最小接续时间约束的动车组，将其指定到第j条运行线，执行下一次的运输任务并记录下来形成一个列车次序表中；步骤四：将正在进行运输任务的动车组设为已占用状态，完成运输任务后且满足一级检修约束，则设置为可使用状态；步骤五：在列车运行线和动车组匹配完后，计算动车组交路数量最小值，得出最优解的集合；步骤六：在最优解的集合中，挑选出动车组总接续时间最短的解。算法的步骤如下：先对动车组根据时间进行初始化处理，将所有的数据导入EXCEL表格中，进行简单的数据处理。即将时刻表数据中的时间转换成数字，例如接续时间7：00转换成420min、8:00转换成480min，将便于将时间导入模型中进行计算。每一行代表一条运行线，将CPLEX软件与EXCEL建立连接，把数据导入模型中求解，得到的结果再导出到EXCEL中。5.2算例数据确定表5.1基于CPLEX设计的算例数据序号车次始发站终到站发车时间到站时间运行里程/km运行时间/min1G1SZBWH08:2313:22108004:592G2SZBWH11:2216:17108004:553G3WHSZB13:4118:56108005:154G4WHSZB16:5622:04108005:085G5GZNWH10:3614:38107504:026G6GZNWH10:4815:05107504:177G7WHGZN15:0319:25107504:228G8WHGZN15:2519:39107504:149G9CSNSZB07:3010:5281503:2210G10CSNSZB10:0513:3581503:3011G11SZBCSN14:0517:3981503:3412G12CSNGZN07:0509:5871002:5313G13GZNCSN07:0809:4871002:4014G14CSNGZN07:1910:0971002:5015G15GZNCSN19:4322:3671002:5316G16CSNGZN17:5520:3871002:4317G17GZNCSN19:5222:3771002:4518G18GZNCSN21:0023:3971002:3919G19GZNSZB07:2507:5914500:3420G20SZBGZN19:1819:5214500:3421G21SZBGZN21:1521:5414500:3922G22GZNSZB20:2020:5514500:3523G23SZBGZN22:2523:0314500:38数据来源于武深高铁网络和列车时刻表，为了符合模型以及CPLEX优化算法的步骤，选取的数据是经过筛选和处理的，不是原本完整的列车运行图中包括所有车站和到发时间的庞大的数据，表中为了计算的方便，将车站的名字简单的记为大写字母的缩写，时刻为24小时制。一级检修的对应的检修时间约束是48小时，记为Tx=2880min，一级检修对应的里程约束是4000公里，记为Sx，Tmax值为15min。5.3算例计算结果及分析根据模型，应用WebSphereILOGCPLEX软件，将设计的算例数据带入，经过在win10系统的pc机上的试运行，得到的交路数量的表格如下：表5-2交路数量表序号交路数量接续时间检修次数189868289058367566454865554415从表格可以看出，动车组交路数量一次比一次少，根据模型的求解过程，最优接续网络的交路数量为5，进入第二个“接续时间最短”目标的优化，对比第4次和第5次的接续时间可得到，第五次两个目标都达到最优。由此得到了最终优化的动车组交路计划，交路数量最少是5，总接续时间最短为441min，检修次数为5次。具体每一天交路的情况如下表：表5-3动车组交路计划表序号交路计划中列车车次接续时间/min跨越天数1G19-G1-G13-G20-G22-G2111312G13-G10-G11-G16-G188513G9-G2-G4-G239014G12-G5-G7-G158115G14-G6-G8-G17721由表中数据可知，交路1由G19→G1→G3→G20→G22→G21组成，动车组从上午的7:25分从GZN站出发，并且能在当天的晚上21:54回到GZN站，从而满足进行一级检修作业的约束，同样的情况，交路2、3、4、5都是能做当天返回动车组检修基地完成一级检修作业，同时，做到了最短的动车组接续时间441min。文中设计的算例也可通过人工的方法进行动车组交路计划的编制，人工编制要进行的计算量比较大，过程也比较复杂，对交路计划后续的调整更是十分困难。人工方法编制的结果和本文CPLEX算法引擎计算的结果如下表：表5-4CPLEX算法和人工编制方法对比交路数量检修次数编制效率CPLEX算法55方便快捷，效率高人工编制56计算复杂，调整困难，效率低由表5-4可知，人工编制的方法得到的交路数量和算法求解的相同，都为5，但是检修次数为6次，经过分析，差距在于人工编制的交路超过了动车组一级检修的标准。相比之下，CPLEX算法的过程简单快捷，由于是软件计算，效率也可以达到很高，而人工编制过程计算复杂，效率低下。最终的结果也是CPLEX算法在检修次数上比人工算法的结果更优，所以本文建立的模型以及运用的算法可用于优化动车组交路的编制。5.4本章小结本章根据建立的模型，并结合实际的条件，设计了一个规模上不算特别大的算例，之后采用精确算法中的CPLEX算法，具体采用WebSphereILOGCPLEX软件，符合了模型中的各类约束条件。经过在电脑上的运行，成功得出了动车组交路计划的最优解，验证了模型的有效性。6总结与展望6.1论文总结动车组交路计划的编制问题是高铁运输计划中的十分核心的环节，与动车组运用计划的关系也是十分密切。提高动车组的利用效率、降低动车组检修的成本等目标就是是研究交路计划的最终目的，因此，本文在通过广泛阅读、分析以及总结国内外现有的研究文献，深刻学习了动车组交路的有关知识理论。从动车组交路计划的编制流程，到影响交路优化的各种复杂的因素，以及学习和理解各种优化交路计划的模型和求解模型的算法。在此基础上，本文也进行了模型的建立，并设计了算例对其进行了有效性的验证。具体的主要工作如下：1）根据现有的动车组交路相关的研究，分析总结了两种典型的交路编制流程，即基于列车运行图和相关的动车组运用管理模式规定来编制、同时编制列车运行图和动车组交路计划的编制流程。2）总结了深刻影响动车组交路计划编制的个因素，分别是：列车开行方案、动车组类型、动车组管理运用模式和动车组检修模式。3）详细分析了多种针对动车组交路优化问题建立的模型，按照模型建立的研究重点的不同，以及对几种影响因素是否考虑的差异，进行了分类阐述。4）总结了用于求解动车组交路优化问题的精确算法和启发式算法两大类，本文后续采用的是CPLEX精确算法，对启发式算法的优缺点也逐一进行了分析。5）通过类比旅行商问题，建立了一个多目标的整数规划模型，并设计根据模型的约束，以及CPLEX算法的要求，设计了算例并应有模型和算法进行了交路优化的求解，结果显示构建的模型可用于解决交路优化问题。6.2展望本文研究过程中，发现动车组交路优化的问题是一个综合性问题，在许多研究中都是只考虑一些比较简单的影响因素，实际上其涉及的影响因素十分复杂且多变，目前仍然有巨大的研究拓展空间。本文由于研究的时间和水平的有限，对于该问题也认识到了不足之处，以下对研究过程中发现的问题和不足进行总结。1）在分析现有的动车组交路编制流程时，发现现有的优化研究思路大多都是在列车运行图已知的条件下，同时也有少部分研究已经开始按照动车组交路和列车运行图协调优化的思路进行。实际上，既有的交路计划在编制列车运行图时就已经通过人工的方法进行了确定，大多数情况下也达到了了最优，而如果采用协调优化的思路，那优化的空间能进一步扩大。2）本文建立模型时，考虑的影响因素比较理想化，没有模拟实际的一些规模较大的交路计划编制的条件。其中检修能力的约束条件是典型的一个例子。动车组的检修分为五个等级，模型建立的约束条件只考虑了一级检修的约束。同时，动车组检修标准时间定为2小时，如果能对动车组检修的效率进行提高，也能达到更好的交路优化效果。3）对设计的规模比较小的算例进行求解，过程和结果都比较顺利，但是对于实际的动车组交路计划的编制问题，其规模会变得十分庞大，约束条件也会变得更加复杂多变，如何将实际的问题一步步的进行分析研究，是之后还要一直进行探索的方向。4）动车组的实际运营过程，会出现一些难以预估的影响，例如线路故障等一些运输秩序被干扰的问题，这种情况下需要对动车组的交路进行快速的调整，以求最快的恢复动车组的正常运行。此类应急情况的处理，也可以作为交路优化的又一个影响因素，综合进行研究。致谢参考文献[1]时永庆.我国铁路网将升级为"八纵八横"[R].工程建设标准化,2016,(07):25.[2]TomoshiOtsuki,HideyukiAisu,ToshiakiTanaka,etal.ASearch-basedapproachtoRailwayRollingStockAllocationProblems[J].DiscreteMathematics,AlgorithmsandApplications,2011,3(4):443-456.[3]YasutakaTsuji,MasahiroKuroda,YukiyaKitagawa,etal.AntColonyOptimizationApproachforSolvingRollingStockPlanningforPassengerTrains[C].IEEE/SICEInternationalSymposiumonSystemIntegration(SII),2012:16-18.[4]ZhouYu,ZhouLeishan,WangYun,etal.ApplicationofMultiple-PopulationGeneticAlgorithminOptimizingtheTrain-SetCirculationPlanProblem[J].Complexity,2017:3717654.[5]RichardLusby,M,Haahr,JorgenThorlund,Larsen,etal.ABranch-and-Pricealgorithmforrailwayrollingstock