中职数学平面向量教案

把既有大小、又有方向的量，叫做向量．记为向量a,b,c,...等，在书写时，则在小写西文字符EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up11(p),b)如果向量的方向限于平面内，则叫做平面向量．EQ\*jc3\*hps30\o\al(\s\up12(p),b)特别地，若一个向量的模为单位1，则叫做单位向量，单位向量常记作e．若一个向量的模为0，则叫做零向量，零向量总是记作0．零向量的长度为0，且规定零向量0的方向是可以任意确定的．为了更直观的反映确定向量的大小、方向，我们又把向量表示成如图7-2(1)上所示的带箭头的短线段，箭头的方向表示了它所表示的向量的方向，而线段的长度则是它所表示的向量的模(即大小)．有时，为了突出短线段的起终点，会以字符标a/bc1由于我们所研究的向量只含有大小、方向两个要素，因此，即使当我们用带箭头的短线段表示向量时，与带箭头的短线段的起终点是没有关系的．为了突出这一点，有时又把向量记作自由课内练习11.一个正六边形的所有边及中心到各顶点的连线，能构成多少向量？试写出全部所构成的向量；若正六边形的边长为1，求全部向量的模，并判断哪些向量是单位向------------word文档可编辑-------------(1)向量相等的大小就可以下结论．因为向量不但有大小，而且有方向，所以比较两个向量a,b的相等与否，不但要比较它们的大小，还要比较它们的方向．当且仅当a,b的大小相等、方向相同时，才能说小于关系呢？因为大小、方向的整体组成向量，方向是不能比较大小的，因此向量本身之间也不能比较大小，即两个向量不能谈及孰大孰小．当然，向量的模是数量，因此向量的模是可以比较而不能说向量a大于向量b．若a=b，则把表示a,b的箭头短线段的始点移到同一点时，它们必重合；反之把两条箭头短线段的始点移到同一点时重合，那么这两条短线段表示相等的向量或同一向量．例2物体从点A出发位移，第一次沿水平线位移到B，位移量为3；然后继续沿铅直方向向下位移到C，位移量为4．(1)试以向量表示这二次位移，并在平面上作出这两个位移向量；(2)在A的铅直下方4处标注点D，能否说第二次位移的位移向量是AD？为什么？(2)相反向量对数量，若两个数a,b的绝对值相等但符号相反，则把a,b叫做一对相反数．对向量，若两个向量a,b的长度相等但方向相反，则这一对向量叫做相反向量，记作a=-b或-a=b．对调一个向量的始点和终点，即得到了它的相反向量，即AB=-BA．例如在例1所有的向量中，共有如------------word文档可编辑-------------位移．(3)平行向量若两个向量a,b的方向相同或相反，则把这一对向量叫做平行向量，也可以说向量a平行于规定零向量平行于任意向量.根据平行向量的方向特征，若向量a位于直线l上(即a的始终点都在l上)，则只要平移a的平行向量b，b也必定能位于直线l上，因此又把平行向量叫做共线向量．例4找出一个梯形各边构成的全部向量及这些向量之间存在的关系．课内练习22.作出一个梯形及其中线，可以构成多少向量？这些向量之间存在哪些关系？F体受力后的移动情况肯定不同，这与F=F1的结论矛盾吗？试作出合理的解释．•W------------word文档可编辑-------------(1)向量的加法运算向量加法运算的法则．•baa点、以a,b为邻边组成的平行四边形的对角线向量，也是是以a的终点作为b的始点所组成的三角形的第三边向量(三角形法则aacaa•解(1)按平行四边形法则，把的始caa•始点连向b的终点的向量即为和向量c(见图9-10(3))．解逐次应用向量加法的法则——abdcbaf------------word文档可编辑-------------移加向量的始点到被加向量的终点，从被加向量的始点连向加向量的终点，得到和向量f如图9-12所示，其中虚线表课内练习31.请举一个向量相加的实际问题．确吗？由此可以对向量相加与向量的模相加作出怎样的结论？AB满足交换律和结合律(2)向量的减法运算法运算的法则．图法运算的法则．图9-aacabaacab------------word文档可编辑-------------我们可以归纳为：首同尾连，剪头指向被减．课内练习4量．为了使AB是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？mn,因为向量相减是被减向量与减向量的负向量相加，而向量相加运算满足交换律、结合律，这样向量的减法运算所能满足的运算律也就唾手可得了，例如(3)向量的数乘运算在数量运算中，若a=2，b是a的两倍，则b=2a．在例8向量运算中，我们两把向量的这种运算叫做向量的数乘运算．------------word文档可编辑-------------根据向量数乘运算的这种规定，立即可知把数相加和向量相加所满足的运算律结合起来，立即可得向量数乘运算满足下述两个分配课内练习5------------word文档可编辑-------------(1)坐标基底向量yjx设在平面上已经建立了一个直角坐标系{xOy}．方向为x轴正向的单位向量i、方向为y轴正向的单位向量j叫做该坐标系的坐标基底向量yjxii在坐标平面上给定了向量a，平移其始点到原点后(见图7-17)，设若向量a的坐标为(x,y)，则其模可以用坐标表示为坐标基底向量也有其坐标，分别是i=(1,0),j=(0,1)．yay平行于ijx因为坐标基底向量也是自由的，你也可以不平移a上作分解(见图7-17)．例如从图7-18，我们就可以直接看出课内练习1yyAPABx2.向量关系的坐标表示x向量之间有相等、相反、平行(共线)等关系．当知道了向量的坐标后，这些共线的判定就变得十分简单．即两个相等向量的坐标相等，坐标相等的向量相等．即两个相凡向量的坐标对应地互为相反数；坐标对应互为相反数的向量y2b2bxax所以两个向量的坐标对应成比例，则它们平行；平行向量的坐标必定对应成比例．课内练习23．平面向量运算的直角坐标表示把向量数乘、加减法的运算法则应用于向量对坐标基底的分解式(7-2-2)，即可得向量运算的坐标表示．------------word文档可编辑-------------yA(3)给定始终点的向量的坐标A2所以给定了始终点坐标的向量的坐标，等于终点坐标对应减去始点坐标．D例6某人第一天按图9-23所示方向、以速度5km/h步行3OAxO小时到达A处；第二天又按图9-23所示方向、以速度15km/h骑了课内练习2------------word文档可编辑-------------------------word文档可编辑-------------线段所在直线为始终边的角，叫做向量a,b所成的角，记作(a^b)(见图ab与任何向量所成的角认为可以任意．为了方便有时也把(a^b)叫做向量之间的夹角．从向量所成角定义，立即可知其中(a^b)表示向量a,b之间所成的角．向量作为既有方向、又有大小的量，与数量有着区别．这种区别在运算方面的体现，是向量的有一些运算在数量运算中是找不到与之对应的类别的，数量积就属于这种运算．这是因为向量的数量积，反映的是一个向量与它在另一个向量方向上投影的积．课内练习1(3)向量数量积的基本运算法则根据向量数量积的定义，立即可知成立如下运算法则：------------word文档可编辑-------------3课内练习263(4)向量数量积的基本结论从向量数量积的定义，可以得到一些经常用到的基本结论，这些结论是必须熟记的．最后一个公式(9-3-2)对求向量所成角十分有用．课内练习32.下述四个命题中哪些是正确的，哪些是错误的？并说明理由：22-------------word文档可编辑-------------2．平面向量数量积的坐标表示(1)平面向量数量积的坐标表示向量数量积(9-3-1)是不依赖于坐标系的几何定义，如果在坐标平面上讨论，把向量数字化(即求出向量的坐标)，那末就能以坐标计算来表示向量的数量积．首先考察坐标基底向量i,j的数量积，有j，这就是说，两个向量的数量积等于它们坐标的的对应乘积的和．以坐标表示向量数量积的基本公式③,能得到我们熟知的一些公式：此即为两点间的距离．课内练习4------------word文档可编辑-------------(2)平