9.2.2　第1课时　向量的线性运算

9.2.2向量的数乘第1课时向量的线性运算(教学方式:基本概念课——逐点理清式教学)[课时目标]1.通过实例分析,掌握平面向量的数乘运算及其运算规则,理解其几何意义.2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.逐点清(一)向量数乘的概念[多维理解]定义一般地,实数λ与向量a的积是一个,记作λa.实数λ与向量a相乘的运算,叫作向量的数乘长度|λa|=|λ||a|方向a≠0λ>0λa与a方向λ<0λa与a方向特殊情况当λ=0时,0a=0;当a=0时,λ0=0几何意义当λ>0时,把向量a沿着a的相同方向放大或缩小;当λ<0时,把向量a沿着a的相反方向放大或缩小[微点练明]1.(多选)已知a,b为非零向量,则下列命题正确的是()A.2a的方向与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍B.-2a的方向与3a的方向相反,且-2a的模是3a的模的2C.-2a与2a是一对相反向量D.a-b与-(b-a)是一对相反向量2.(多选)已知λ,μ∈R,则下列命题正确的是()A.λ<0,a≠0时,λa与a的方向一定相反B.λ>0,a≠0时,λa与a的方向一定相同C.λμ>0,a≠0时,λa与μa的方向一定相同D.λμ<0,a≠0时,λa与μa的方向一定相同3.要得到向量-2a,可将()A.向量a向左平移2个单位长度B.向量a向右平移2个单位长度C.向量a保持方向不变,长度伸长为原来的2倍D.向量a的方向反向,长度伸长为原来的2倍4.设a为任一向量,e是单位向量,且a∥e,则下列表示形式正确的是()A.e=aa B.a=|a|C.a=-|a|e D.a=±|a|e逐点清(二)向量的线性运算[多维理解]1.数乘运算的运算律设a,b为向量,λ,μ为实数,那么(1)λ(μa)=;(2)(λ+μ)a=;(3)λ(a+b)=.

2.向量的线性运算向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算.[微点练明]1.(多选)已知m,n是实数,a,b是向量,下列命题正确的是()A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-naC.若ma=mb,则a=b D.若ma=na,则m=n2.3a+12b+cA.a-14b+2c B.5a-14bC.a+54b+2c D.5a+53.若2y-13a-12(c+b-3y)+b=0,其中a,b,c为已知向量,则未知向量4.化简下列各式:(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a);(2)16[2(2a+8b)-4(4a-2b(3)(x-y)(a+b)-(x-y)(a-b)(x,y∈R).逐点清(三)向量的线性表示[典例](1)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB=()A.3m-2n B.-2m+3nC.3m+2n D.2m+3n(2)如图,已知E,F分别是矩形ABCD的边BC,CD的中点,EF与AC交于点G,若AB=a,AD=b,用a,b表示AG=.

听课记录:|思|维|建|模|向量线性表示的求解思路(1)结合图形的特征,把待求向量放在三角形或平行四边形中.(2)结合向量的三角形法则或平行四边形法则用已知向量表示未知向量.(3)当直接表示比较困难时,可以利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.[针对训练]1.(多选)如图,四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是()A.AC=AD+12AB B.MC=1C.MN=AD-14AB D.BC=AD2.在△ABC中,若点D满足BC=λCD,AD=32AC-12AB,则第1课时向量的线性运算[多维理解]向量相同相反[微点练明]1.选ABC2a=a+a与a方向相同,且|2a|=|a+a|=|a|+|a|=2|a|,故A正确.-2a=(-a)+(-a)与-a同方向,3a=a+a+a与a同方向.∵-a与a反方向,∴-2a与3a反方向.又∵|-2a|=2|a|,|3a|=3|a|,∴-2a的模是3a的模的23,故B正确.∵-2a+2a=(-2+2)a=0,∴-2a与2a是一对相反向量,故C正确.∵-(b-a)与b-a是一对相反向量,a-b与b-a是一对相反向量,∴-(b-a)与a-b是相等的,故D错误2.选ABC由λ与向量a的积λa的方向规定,知A、B正确;对于C、D,当λμ>0时,λ,μ同正或同负,∴λa与μa或者都与a同向,或者都与a反向,∴λa与μa同向,当λμ<0时,则λ与μ异号,λa与μa中,一个与a同向,一个与a反向,∴λa与μa反向,故C正确,D错误.故选ABC.3.选D根据向量数乘的概念及几何意义可知,要得到向量-2a,可将向量a的方向反向,长度伸长为原来的2倍.故选D.4.D[多维理解]1.(1)(λμ)a(2)λa+μa(3)λa+λb[微点练明]1.选ABm(a-b)=ma-mb,A正确;(m-n)a=ma-na,B正确;若m=0,则a,b不一定相等,C错误;若a=0,则m,n不一定相等,D错误.2.选A3a+12b+c-2a+34b-c=(3a-2a)+12b-3.解析:由题意,得2y-23a-12c-12b+32y+b=72y-23a-12c+12b=0,则72y=23a-12b+12c,∴y答案:421a-17b+4.解:(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.(2)原式=16(4a+16b-16a+8b=16(-12a+24b)=-2a+4b(3)原式=(x-y)a+(x-y)b-(x-y)a+(x-y)b=2(x-y)b.[典例]解析:(1)因为BD=2DA,所以AB=3AD.所以CB=CA+AB=CA+3AD=CA+3(CD-CA)=-2CA+3CD=-2m+3n.故选B.(2)AG=AB+BE+EG=a+12b+12EF=a+12b+14BD=a+12b+14(b-a答案:(1)B(2)34a+3[针对训练]1.选ACAC=AD+DC=AD+12AB,A正确;MC=MA+AC=12BA+AC=12(BC