弯曲应力材料力学讲课文档

弯曲应力材料力学PPT课件第1页，共81页。2第五章

弯曲应力本章内容:1

纯弯曲2

纯弯曲时的正应力3

横力弯曲时的正应力4

弯曲切应力5*

关于弯曲理论的基本假设6

提高弯曲强度的措施第2页，共81页。3第3页，共81页。4§5.

1

纯弯曲横力弯曲梁的横截面上同时有弯矩和剪力的弯曲。纯弯曲梁的横截面上只有弯矩时的弯曲。横截面上只有正应力而无切应力。纯弯曲的变形特征第4页，共81页。5纯弯曲的变形特征第5页，共81页。6纯弯曲的变形特征

基本假设1:平面假设变形前为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于梁的轴线。中性层与中性轴基本假设2:

纵向纤维无挤压假设纵向纤维间无正应力。第6页，共81页。7中性层与中性轴第7页，共81页。8§5.

2

纯弯曲时的正应力1

变形几何关系取坐标系如图，z轴为中性轴；y轴为对称轴。

纵向线bb变形后

的长度为:b′b′=(ρ

+

y)dθ

纵向线bb变形前的长度为求出距中性层y处的应变，取长dx的梁段研究:中性层长度不变,所以有:第8页，共81页。ε

=9纵向线bb的应变为

(ρ

+

y)dθ

−ρdθ

ρdθ

yρ=即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截面高度呈线性分布。

纵向线bb变形后

的长度为:b′b′=(ρ

+

y)dθ

bb变形前的长度

中性层长度不变,所以

bb=OO=O′O′=

ρdθ第9页，共81页。102

物理关系因为纵向纤维只受拉或压，当应力小于比例极限时，由胡克定律有:σ

=

Eε

yρσ

=

E即：纯弯曲时横截面上任一点的正应力与它到中性轴的距离y成正比。也即，正应力沿截面高度呈线性分布。3

静力关系第10页，共81页。11NMz3

静力关系My

N

=∫AσdAM

y

=∫AzσdAMz

=∫AyσdA对横截面上的内力系，有:由梁段的平衡有:∑X

=0

∑my

=0

∑mz

=0

N

=0M

y

=0Mz

=

M第11页，共81页。∫

ydA=0ρ∫

E

ρdA=0

N

=∫AσdAM

y

=∫AzσdA

Mz

=∫AyσdA由梁段的平衡有:

N

=0,M

y

=0,

Mz

=

M对横截面上的内力系，有:所以N

=∫AσdA

=0

E

A∫A

y

AydA=0

Sz

=0z轴通过形心。即：中性轴通过形心。12第12页，共81页。13M

y

=∫AzσdA,Mz

=∫AyσdAM

y

=0,Mz

=

M由N

=∫AσdA

=0⋅zdA=0E∫A

yρyzdA=0∫A中性轴通过形心。∫A由

M

y

=zσdA=0因为y轴是对称轴，上式自然满足。即：

Iyz

=0第13页，共81页。ydA=14M

y

=∫AzσdA,Mz

=∫AyσdAM

y

=0,Mz

=

M由⎯⎯梁的抗弯刚度Mz

=

M

=∫AyσdAM

=∫AE

yρ∫A⋅ydA=2EρIzEρ

MEIz=1ρ

yρ将上式代入

σ

=

EMy

Izσ

=第14页，共81页。15形（横力弯曲）？My

Iz纯弯曲时正应力公式

σ

=公式的适用性

由于推导过程并未用到矩形截面条件，因而

公式适用于任何横截面具有纵向对称面，且

载荷作用在对称面内的情况。

公式是对等直梁得到的。对缓慢变化的变截

面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。

公式是从纯弯曲梁推得，是否适用于一般情第15页，共81页。§5.

3

横力弯曲时的正应力横力弯曲时，横截面上有切应力平面假设不再成立此外,横力弯曲时纵向纤维无挤压假设也不成立.由弹性力学的理论，有结论：当梁的长度l与横截面的高度h的比值:

lh5则用纯弯曲的正应力公式计算横力弯曲时的正应力有足够的精度。l

/

h>5的梁称为细长梁。

16第16页，共81页。17最大正应力横力弯曲时，弯矩是变化的。Mmaxymax

Izσmax

=引入符号：

IzymaxW

=则有：Mmax

Wσmax

=⎯⎯

抗弯截面系数Nmax

A比较拉压:

σmax

=Tmax

Wt扭转:

τmax

=第17页，共81页。bhπ

dbhπ

d18两种常用截面的抗弯截面系数

矩形截面,

312Iz

=h2ymax

=

W

=圆形截面

4

Iz

=

64

W

=d

2

2

6,

ymax

=

3

32第18页，共81页。弯曲强度条件注意：当截面变化时，还需综合考虑W的值。

19Mmax

Wσmax

=≤[σ]第19页，共81页。20例1

(书例5.1)已知：板长3a=150mm，材料的许用应力[σ]=140MPa。求：最大允许压紧力P。解：压板可简化为如图的外伸梁。由微分关系，AC段、BC段的弯矩图为斜直线。(1)求弯矩图第20页，共81页。21由微分关系，AC段、BC段的弯矩图为斜直线。(1)求弯矩图作出弯矩图。(2)确定危险截面

Mmax

=MB=

Pa且B截面最薄弱。

B为危险截面。(3)计算B截面W第21页，共81页。0.03×0.020.014×0.02=1.07×10m1.07×10Iz=1.07×10m22Mmax

=MB=

Pa(3)计算B截面WB为危险截面。看成组合物体Iz

=

Iz1−Iz2123=123−−8

−84ymax1×10W

=

=

−2−63第22页，共81页。W

=1.07×10m1.07×10×140×105×1023Mmax

=MB=

Pa−63(3)计算B截面WB为危险截面。Mmax

W(4)由强度条件计算P

σmax

=≤[σ]Mmax

≤W[σ]Pa≤W[σ]W[σ

]

aP≤−2−86==3kN第23页，共81页。24例2

(书例5.2)已知：[σ]=100MPa，P

=25.3kN。求：校核心轴的强度。解：计算简图如图。(1)求弯矩图支反力RA

=23.6kN,RB

=27kN第24页，共81页。25(1)求弯矩图(2)确定危

险截面I截面II截面III截面RA

=23.6kNRB

=27kN(3)强度校核I截面支反力MI

=

Mmax=4.72kN⋅m第25页，共81页。π

dπ×(95×10)=84.1×10m26(3)强度校核I截面MI

=

Mmax=4.72kN⋅m

3

13232−33WI

=

=3−6MIWIσ

I

==56.1MPa≤[σ]II截面MII

=3.42kN⋅m第26页，共81页。π

dπ×(85×10)=60.3×10m27

3

23232−33WII

=

=3−6MIIWIIσ

II

==56.7MPa≤[σ]III截面

II截面MII

=3.42kN⋅mMIII

=4.64kN⋅m第27页，共81页。3

d

π)1088(×

×

πIII

σ

=MPa4.69=][σ

≤28III截面323WIII

=32−33=

=66.9×10−6m3MIIIWIIIMIII

=4.64kN⋅m结论满足强度要求。注意最大正应力并非发生在弯矩最大的截面。第28页，共81页。29例3

(书例5.3)已知：T形截面铸铁梁，[σt]=30MPa，[σc]=160MPa。Iz=763cm4,且|y1|=52mm。求：校核梁的强度。解：(1)求弯矩图支反力RA

=2.5kN,RB

=10.5kN作出弯矩图第29页，共81页。30(1)求弯矩图支反力

RA

=2.5kN,

RB

=10.5kN作出弯矩图最大正弯矩为:MC

=2.5kN⋅m最大负弯矩为:MB

=

−4kN⋅m(2)确定危险截面B截面C截面第30页，共81页。31(2)确定危险截面B截面C截面最大正弯矩为:MC

=2.5kN⋅m最大负弯矩为:MB

=

−4kN⋅m(3)强度校核

B截面M

MBy1

Iz=27.2MPa

≺[σt]=30MPaMBy2

Izσ1c

==46.2MPa

≺[σc]=160MPa第31页，共81页。σ1c

==46.2MPaσ2t

==28.8MPa≺[σt]=30MPa32(3)强度校核

B截面M

MBy1

Iz=27.2MPa

MBy2

IzC截面显然，

σ2c<

σ1c

MCy2

IzM结论满足强度要求。第32页，共81页。§5.

4

弯曲切应力横力弯曲时,横截面上既有正应力,又有切应力。推导切应力公式的方法：假设切应力的分布规律，然后根据平衡条件求出1矩形截面梁切应力。按截面形状，分别讨论。切应力分布假设(1)各点切应力方向平行于剪力Q;

33第33页，共81页。1矩形截面梁切应力分布假设(1)各点切应力方向平行于剪力Q;(2)切应力沿宽度均匀分布。用平衡条件导出切应力公式

取研究对象

34第34页，共81页。35用平衡条件导出切应力公式取研究对象第35页，共81页。36

由切应力互等

定理

τ′=τ

右截面上的N2N2

=∫A1σdAA1为右截面pn1的面积。(M

+

d

M

)y1

I

zσ

=右截面正应力为:第36页，共81页。右截面上的N2

N2

=∫A1σdAσ

=

I

z

dA

A1(M

+dM)(M

+dM)*

Sz

Iz

Iz

*

z

37第37页，共81页。其中:

S

=38右截面上的N2

(M

+dM)*

Sz

Iz∫A1*zy1dA

左截面上的N1同理可得:

N1

=

上表面上的dQ'M*

Sz

Iz

dQ′

=τ′bdxdQ'x方向平衡条件∑

X

=0N2

−

N1

−dQ′

=0第38页，共81页。N2

=N1

=dQ'

(M

+dM)*

Sz

Iz

M*

Sz

Iz

dQ′

=τ′bdxx方向平衡条件z

z∑

X

=0

N2

−N1−dQ′=0

(M

+dM)

S*−

M

S*−τ′bdx

=0

*

Sz

−τ′bdx

=0

τ′

=

⋅

39第39页，共81页。Sz

−τ′bdx

=0=

QdM

S⋅QSzQS40dQ'

dM*

Iz由微分关系

*

zdx

Izbτ′

=dM

dx

*Izbτ′

=由切应力互等定理，得

*

zIzbτ

=计算Sz*第40页，共81页。QSS

=

A1⋅

y1=

b(−

y)⋅(+

y)b

hSz

=

−

y)(Q

h−

y)由切应力互等定理，得

*

zIzbτ

=计算Sz*可用公式*z*

h1h

222

224h1h222

*2

2412所以：

τ

=(

2Iz4第41页，共81页。S

=b

h−

y)Q

h−

y)422

2

(24*z(222Iz4

所以：

τ

=切应力分布切应力沿截面高度按抛物线规律变化。⎯距中性层y处

的切应力公式Qh2

8Iz在上下边缘处

τ

=0

在中性层处

τ

=τmax=bh3

12因为Iz

=3Q2bh=τmax第42页，共81页。43

2

在中性层处

τ

=τmax=

8Iz

3因为Iz

=

τmax

=

122bh即：最大切应力是平均剪应力的1.5倍。2工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼缘组成。

腹板的切应力腹板是矩形，切应力公式同矩形截面梁。第43页，共81页。QSS

=B(−)⋅[+(−)]+b(−

y)⋅[y+(−

y)]442工字形截面梁

腹板的切应力腹板是矩形，切应力公式同

*

zIzb矩形截面梁:

τ

=

计算Sz**zH

2h2h

h1H2222h1h222第44页，共81页。S

=B(−)⋅[+(−)]b

h(H

−h)+(−

y)Q

Bb

h[(H

−h)+(−

y)]45计算Sz**zH

2h2h

h1H2222h1h2222

22422B8=则，距中性层y处的切应力公式为:2222Izb824τ

=切应力分布如图。第45页，共81页。Q

Bb

h[(H

−h)+(−

y)]hBh46距中性层y处的切应力公式为:2222Izb824τ

=切应力分布如图。最大切应力发生在中性轴处]

282

Q

BH

[Izb8−(B−b)τmax

=最小切应力发生在y=±h/2处)822

Q

BH

(Izb8−τmin

=第46页，共81页。hBh47最大切应力发生在中性轴处]

282

Q

BH

[Izb8−(B−b)τmax

=最小切应力发生在y=±h/2处)822

Q

BH

(Izb8−τmin

=腹板切应力的近似公式因为:

(1)腹板切应力近似为均匀分布;(2)腹板负担了绝大部分剪力。近似公式:

Qhbτ

=第47页，共81页。48腹板切应力的近似公式因为:

(1)腹板切应力近似为均匀分布;(2)腹板负担了绝大部分剪力。近似公式:

Qhbτ

=翼缘的切应力

特点(1)除了有平行于剪力Q的切应力分量外，还有与剪力Q垂直的切应力分量；(2)切应力数值与腹板的切应力相比较小。第48页，共81页。3圆形截面梁切应力分布的特点(1)边缘各点的切应力与圆周相切；(2)

y轴上各点的切应力沿y轴。假设(1)

AB弦上各点的切应力作用线通过同一点p；(2)

AB弦上各点的切应力沿y轴的分量

τy相等。

*

z

49第49页，共81页。QSS

=

πR

⋅2S

=2350所以，对τy可用矩形截面梁的

*

zIzbτ

y

=公式式中，b为AB弦的长度，Sz*为AB弦以外的面积对z轴的静矩。最大切应力最大切应力发生在中性轴上。中性轴上的切应力的方向？*124R3πz中性轴处b

=2R3R*z第50页，共81页。QSSz

=

πR

⋅πDSz

=πR2351*12

2最大切应力是平均切应力的1.33倍。中性轴处b

=2R

*

zIzbτ

y

=24Q3

π

Rτmax

=4R3π

4

64Iz

=3R4

*4=第51页，共81页。524弯曲切应力强度条件

强度条件弯曲时横截面上正应力和切应力的分布为：正应力最大处，切应力为零，是单向拉压状态；切应力最大处，正应力为零，是纯剪切状态。第52页，共81页。QmaxSPSz53弯曲切应力强度条件为

*

zmaxIzb=τmax≤[τ]实心截面梁正应力与切应力的比较

PlWzσmax

=

*Izbτmax

=正应力最大处，切应力为零，是单向拉压状态；切应力最大处，正应力为零，是纯剪切状态。第53页，共81页。PS54实心截面梁正应力与切应力的比较

PlWz=σmax

*

zIzb,

τmax

=对矩形截面梁

lh

l

d=4

=6

σmax

τmax对圆形截面梁

σmax

τmax第54页，共81页。55对矩形截面梁对圆形截面梁

lh

l

d=4

=6σmax

τmax

σmax

τmax所以，对实心截面梁通常不需要校核剪切强度。需要校核剪切强度几种情况(1)弯矩较小而剪力很大的情况：短粗梁，或在支座附近作用有较大的集中力；(2)非标准的腹板较高且较薄的工字梁；(3)梁上的焊缝、铆钉或胶合面。第55页，共81页。56例1

(书例5.4)已知：由木板胶合而成的梁。求：胶合面上沿x方向单位长度的剪力。解：无法直接用公式。取一微段：与推导剪应力公式的方法相同，有第56页，共81页。1dM

S1QSz57取一微段：与推导切应力公式相同，有

M*

(M

+dM)*

Sz

Iz

Iz∑

X

=0

N2

−

N1−2qτdx

=0

*

z2dx

Izqτ

=*2Iz=第57页，共81页。例2

(书例5.5)已知：l=2m，a=0.2m,

q=10kN/m，P=200kN,[σ]=160MPa，[τ]=100MPa。求：选择工字钢型号。解：(1)求剪力图和弯矩图支反力

RA

=210kN,

RB

=210kN

作出剪力图和弯矩图

58第58页，共81页。59作出剪力图和弯矩图最大弯矩Mmax

=45kN⋅m最大剪力Qmax

=210kN

先根据最大弯矩选择工字钢型号Mmax

[σ]Wz

==281cm3查型钢表(p.416)第59页，共81页。cm281=

z

W查型钢表(p.416)3单位为:cm

60第60页，共81页。Wz

=281cm61查型钢表(p.416)3

选22a工字钢查型钢表得，对22a工字钢：

3

Iz

*

腹板厚度：b

=

d

=0.75cm

校核剪切强度*zQmaxS

Izb=τmax=148MPa[τ]=100MPa所以，选22a工字钢，剪切强度不够，需重选。第61页，共81页。62所以，选22a工字钢，剪切强度不够，需重选。第62页，共81页。Wz

=423cm,Sz查型钢表(p.416),重选25b工字钢:3Iz

*=21.3cm,

b

=

d

=1.0cm*zQmaxS

Izb=τmax=98.6MPa≺[τ]=100MPa所以，选25b工字钢可同时满足正应力和切应力强度条件。注：若选25a工字钢，则：τmax

=121.5MPa

63第63页，共81页。64§5.

6

提高弯曲强度的措施弯曲正应力是控制梁的强度的主要因素。弯曲正应力强度为：1减小最大弯矩从上式可知，要提高梁的弯曲强度，应减小最大弯矩Mmax和提高抗弯截面系数W。(1)合理布置支座的位置Mmax

Wσmax

=≤[σ]第64页，共81页。651减小最大弯矩(1)合理布置支座的位置第65页，共81页。66工程例子(2)合理布置载荷第66页，共81页。67(2)合理布置载荷第67页，共81页。2提高抗弯截