第14讲　函数与方程【教研派资料社】

第14讲函数与方程第二章基本初等函数202X/01/01汇报人：链教材夯基固本01单击此处添加章节副标题1.(人A必一P143例1改)f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数是 (

)A.0 B.1

C.2 D.3BB3.(人A必一P155习题T2改)(多选)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：x123f(x)136.13615.552－3.92x456f(x)10.88－52.488－232.064在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为 (

)A.(1，2) B.(2，3)

C.(3，4) D.(4，5)【解析】

由所给的函数值的表格可以看出，f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，所以函数f(x)在(2，3)，(3，4)，(4，5)内必有零点．BCD4.(人A必一P160复习参考题T5(3))已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为 (

)A.a＞b＞c B.b＞c＞aC.c＞a＞b D.b＞a＞c【解析】

在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝2x，y＝log2x，y＝x3及y＝－x的图象，如图所示，由图象可知b＞c＞a.B【解析】

令g(x)＝f(x)－m＝0，得f(x)＝m，根据分段函数f(x)的解析式，作出函数f(x)的图象，如图所示．由题可知函数y＝f(x)的图象和直线y＝m有3个交点，根据图象可得实数m的取值范围是(0，1).D1.函数零点(1)概念：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，亦即函数y＝f(x)的图象与x轴交点的_________，即：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(2)存在定理：①条件：(ⅰ)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；(ⅱ)_____________＜0.②结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得__________，这个c也就是方程f(x)＝0的解．横坐标f(a)·f(b)f(c)＝02.二分法(1)方法：对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)步骤：第一步：确定区间[a，b]，验证________________，给定精确度ε；第二步：求区间[a，b]的中点c；第三步：计算f(c)：①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))；④判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).f(a)·f(b)＜03.常用结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．(2)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如图所示，所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．研题型素养养成02单击此处添加章节副标题目标1零点所在区间的判定

已知函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则m＝

(

)A.－2 B.－1

C.0 D.11【解析】

因为函数f(x)＝e－x－2x－5是连续减函数，f(－2)＝e2－1＞0，f(－1)＝e－3＜0，所以f(－2)·f(－1)＜0，函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(－2，－1)，即(m，m＋1)上，又m∈Z，所以m＝－2.A确定函数零点所在区间的方法：(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点的存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，判断图象与x轴在给定区间上是否有交点．【解析】

由条件知函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，又f(3)＝－1＜0，f(4)＝ln2＞0，根据零点存在定理知该函数的零点所在区间为(3，4). (2024·安庆期末)函数f(x)＝ln(x－2)＋x－4的零点所在区间为 (

)A.(2，3) B.(3，4)

C.(4，5) D.(5，6)变式1

B目标2零点个数的判定2【解析】A函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点．(2)零点存在定理，应注意：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点．(3)作出两函数的图象，观察其交点即得零点个数．【解析】

作出y1＝|2x－1|，y2＝x2－4|x|＋2的大致图象如图所示，两个函数的零点个数转化为图象与y＝a的公共点的个数．由图可知，当g(x)有2个零点时，f(x)无零点或只有1个零点；当g(x)有3个零点时，f(x)只有1个零点；当f(x)有2个零点时，g(x)有4个零点． (2024·湛江二模)已知函数f(x)＝|2x－1|－a，g(x)＝x2－4|x|＋2－a，则

(

)A.当g(x)有2个零点时，f(x)只有1个零点

B.当g(x)有3个零点时，f(x)有2个零点C.当f(x)有2个零点时，g(x)有2个零点

D.当f(x)有2个零点时，g(x)有4个零点变式2

D目标3根据零点情况确定参数3－1【解析】

当x≥1时，由f(x)－2＝lnx－1＝0，得x＝e，此时函数有一个零点，所以当x＜1时，y＝f(x)－2＝x2＋4x＋a－2有且仅有一个零点，即a＝－x2－4x＋2在(－∞，1)上有唯一解，即y＝－x2－4x＋2(x＜1)的图象与直线y＝a有且仅有一个交点．作出y＝－x2－4x＋2(x＜1)的图象如图所示，由图象可知：当a≤－3或a＝6时，y＝－x2－4x＋2(x＜1)的图象与直线y＝a有且仅有一个交点，所以实数a的取值范围为(－∞，－3]∪{6}．【答案】D变式3-1

【解析】【答案】A3－2【解析】【答案】B【解析】变式3-2

B已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数取值范围；(2)值域法：将问题转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后利用数形结合求解．1.函数f(x)＝lnx与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为 (

)A.3 B.2

C.1 D.0【解析】

由题知g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)＝lnx与g(x)＝(x－2)2的图象如图所示．由图可知两个函数的图象有2个交点．B【解析】【答案】D3.(2024·镇江模拟)若函数f(x)＝|ex－1|－b只有一个零点，则实数b的取值集合是___________________．【解析】

函数f(x)＝|ex－1|－b只有一个零点，即y＝|ex－1|的图象与直线y＝b只有1个交点．作出y＝|ex－1|的大致图象与直线y＝b如图所示，由图可知，实数b的取值集合是{0}∪[1，＋∞).{0}∪[1，＋∞)【解析】

若m＜－2，则f(x)在(－∞，m]上无零点，在(m，＋∞)上有1个零点x＝4，不符合题意．若－2≤m＜0，则f(x)在(－∞，m]上有1个零点x＝－2，在(m，＋∞)上有1个零点x＝4，符合题意．若0≤m＜4，则f(x)在(－∞，m]上有2个零点x＝－2，x＝0，在(m，＋∞)上有1个零点x＝4，不符合题意．若m≥4，则f(x)在(－∞，m]上有2个零点x＝－2，x＝0，在(m，＋∞)上无零点，符合题意．综上所述，－2≤m＜0或m≥4，即实数m的取值范围为[－2，0)∪[4，＋∞).[－2，0)∪[4，＋∞)配套精练03单击此处添加章节副标题A组夯基精练一、

单项选择题1.已知方程3x＋2x－10＝0的解在(k，k＋1)(k∈Z)内，则k＝ (

)A.0

B.1

C.2

D.3【解析】

设f(x)＝3x＋2x－10，则f(x)在定义域内单调递增，故f(x)在定义域内至多有一个零点．因为f(1)＝3＋2－10＝－5＜0，f(2)＝9＋4－10＝3＞0，所以f(x)仅在(1，2)内存在零点，即方程3x＋2x－10＝0的解在(1，2)内，故k＝1.B2.(2024·北京西城模拟)函数f(x)＝ex|lnx|－1的零点个数是 (

)A.0

B.1

C.2

D.3【解析】

由f(x)＝0可得|lnx|＝e－x，作出函数y＝|lnx|与y＝e－x的图象如图所示．由图可知，函数y＝|lnx|与y＝e－x的图象的交点个数为2，故函数f(x)的零点个数为2.C【解析】A【解析】

作出函数y＝f(x)的图象如图所示．将原问题转化为直线y＝ax＋2(过定点(0，2))与函数y＝f(x)的图象交点的个数．由图可知，当a＜0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象没有交点；当a＝0时，直线y＝2与函数y＝f(x)的图象有1个交点；当a＞0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象有3个交点．所以直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象不可能有2个交点．C二、

多项选择题5.已知函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：【解析】

因为f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(－1)f(1)＜0，f(3)f(5)＜0，f(5)f(7)＜0，所以一定包含f(x)的零点的区间是(－1，1)，(3，5)，(5，7).则一定包含f(x)的零点的区间是 (

)A.(－1，1)

B.(1，3)

C.(3，5)

D.(5，7)x－11357f(x)－1172－38ACD【解析】BCD【解析】【答案】ACD

作出f(x)的图象如图所示，方程f(x)－k＝0根的问题可以转换成y＝k和y＝f(x)图象的交点问题．对于A，由图象可知，当k＝1时，方程f(x)－k＝0有3个不同的实数根，故A正确；对于B，当k＜0时，结合图象可知，方程无解，故B错误；对于C，由图象可知y＝k和y＝f(x)的图象有3个交点时，k的取值范围为(0，1]，故C正确；对于D，设x1＜x2＜x3，结合图象可知x1＋x2＝－2，x3≥1，所以x1＋x2＋x3≥－1，故D正确．三、

填空题8.函数f(x)＝sinx－log2x的零点个数为____．【解析】

注意到log22＝1，在同一平面直角坐标系中作出y＝sinx与y＝log2x的图象如图所示，易知零点个数为1.19.(2024·潍坊二模)请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式f(x)＝_____________________．①f(1－x)＝f(1＋x)；②f(x)至少有两个零点；③f(x)有最小值．【解析】

取f(x)＝x2－2x，其对称轴为x＝1，满足①f(1－x)＝f(1＋x)；令f(x)＝x2－2x＝0，解得x＝0或x＝2，满足②f(x)至少有两个零点；f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，当x＝1时，f(x)min＝－1，满足③f(x)有最小值．x2－2x(答案不唯一)【解析】

当m＞0时，可知f(x)有一个零点x＝－m；当m＝0时，f(x)有一个零点x＝0；当m＜0时，可知f(x)有一个零点x＝0.综上，函数f(x)的零点个数为1.1【解答】

如图(1)所示，当m＞0时，若要满足题意需2m＞m2，得m∈(0，2)；当m＝0时，不符合题意；如图(2)所示，当m＜0时，若要满足题意需m2＞－2m，得m＜－2.综上，实数m的取值范围是(0，2)∪(－∞，－2).(0，2)∪(－∞，－2)四、

解答题11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x＋1.(1)求函数f(x)的解析式；【解答】11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x＋1.(2)讨论函数g(x)＝f(x)－mx零点的个数．【解答】当m＝－2时，函数g(x)在(0，＋∞)上有1个零点；当m＞－2时，函数g(x)在(0，＋∞)