北京海淀2025-2026高三上学期期中考试数学文科含答案

海淀名师7/7海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科）2025.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合，，则(B)A.B.C.D.2.下列函数中，为奇函数的是(D)A.B.C.D.3.已知向量，且，则实数的值为(C)A.B.C.D.4.“”是“”的（A）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知数列的前项和为，且，则取最小值时，的值是（B）A.3B.4C.5D.66.若函数在上单调递增，则实数的取值范围(A)A.B.C.D.7.若函数存在极值，则实数的取值范围是(A)A.B.C.D.8.已知点，是函数图象上不同于的一点.有如下结论：①存在点使得是等腰三角形；②存在点使得是锐角三角形；③存在点使得是直角三角形.其中，正确的结论的个数为(B)A.0B.1C.2D.3二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。9.函数的定义域是____________.10.已知，则________.111.已知等差数列的前n项和为，若，则公差___________.312.函数的图象如图所示，则______________，__________.,13.向量在正方形网格中的位置如图所示.设向量,若，则实数__________.314.定义在上的函数满足：=1\*GB3①当时，=2\*GB3②.（=1\*romani）；（=2\*romanii）若函数的零点从小到大依次记为，则当时，_____________.答案：3；三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.（本小题满分14分）已知函数.（=1\*ROMANI）求的最小正周期；（=2\*ROMANII）求在区间上的取值范围.解：（=1\*ROMANI）2分4分6分最小正周期为，8分（=2\*ROMANII）因为，所以10分所以12分所以，所以取值范围为.14分16.（本小题满分13分）在中，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.解：（Ⅰ）由和可得,2分所以，3分又所以.5分（Ⅱ）因为,,由余弦定理可得7分，即.9分由正弦定理可得，12分所以.13分17.（本小题满分13分）已知等比数列满足.（=1\*ROMANI）求数列的通项公式；（=2\*ROMANII）若，求数列的前项和公式.解：（=1\*ROMANI）设等比数列的公比为，由得=1\*GB3①2分由得=2\*GB3②4分两式作比可得，所以，5分把代入=2\*GB3②解得，6分所以.7分（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）可得8分易得数列是公比为4的等比数列，由等比数列求和公式可得.13分18.（本小题满分13分）如图，已知点，函数的图象上的动点在轴上的射影为，且点在点的左侧.设，的面积为.（=1\*ROMANI）求函数的解析式及的取值范围；（=2\*ROMANII）求函数的最大值.解：（=1\*ROMANI）由已知可得，所以点的横坐标为,2分因为点在点的左侧，所以，即.由已知，所以，4分所以所以的面积为.6分（=2\*ROMANII）7分由，得（舍）,或.8分函数与在定义域上的情况如下：2+0↗极大值↘12分所以当时，函数取得最大值8.13分19.（本小题满分14分）已知函数（=1\*ROMANI）当时，求曲线在点处的切线方程；（=2\*ROMANII）求的单调区间；（=3\*ROMANIII）若函数没有零点，求的取值范围.解：（=1\*ROMANI）当时，，1分，3分所以切线方程为5分（=2\*ROMANII）6分当时，在时，所以的单调增区间是；-8分当时，函数与在定义域上的情况如下：0+↘极小值↗10分（=3\*ROMANIII）由（=2\*ROMANII）可知=1\*GB3①当时，是函数的单调增区间，且有，，所以，此时函数有零点，不符合题意；11分=2\*GB3②当时，函数在定义域上没零点；12分=3\*GB3③当时，是函数的极小值，也是函数的最小值，所以，当，即时，函数没有零点13分综上所述，当时，没有零点.14分20.（本小题满分13分）已知数列的首项其中，令集合.（=1\*ROMANI）若，写出集合中的所有的元素；（=2\*ROMANII）若，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，求的所有可能取值构成的集合；（=3\*ROMANIII）求证：.解：（=1\*ROMANI）集合的所有元素为：4,5,6,2,3,1..3分（=2\*ROMANII）不妨设成等比数列的这连续7项的第一项为，如果是3的倍数，则；如果是被3除余1，则由递推关系可得，所以是3的倍数，所以；如果被3除余2，则由递推关系可得，所以是3的倍数，所以.所以，该7项的等比数列的公比为.又因为，所以这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项），设第7项为，则是被3除余1或余2的正整数，则可推得因为，所以或.由递推关系式可知，在该数列的前项中，满足小于2025的各项只有：或,或,所以首项的所有可能取值的集合为{,}.