强化训练-吉林省蛟河市中考数学真题分类（勾股定理）汇编专项测试练习题（含答案详解）

吉林省蛟河市中考数学真题分类（勾股定理）汇编专项测试考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题14分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、一个直角三角形的两条直角边边长分别为6和8，则斜边上的高为（

）A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．52、如图，在中，，cm，cm，点、分别在、边上．现将沿翻折，使点落在点处．连接，则长度的最小值为（

）A．0 B．2 C．4 D．63、已知直角三角形的两条边长分别是3和4，那么这个三角形的第三条边的长为（

）A．5 B．25 C． D．5或4、如图，矩形中，的平分线交于点E，，垂足为F，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤若，则．其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5、《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股定理篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深等于1寸，锯道长1尺，则圆形木材的直径是（

）（1尺=10寸）A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸6、勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（

）A． B． C． D．7、如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（

）A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米第Ⅱ卷（非选择题86分）二、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、如图，在四边形ABCD中，，，，，，那么四边形ABCD的面积是___________．2、《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在勾股章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折着高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在ΔABC中，∠ACB=90º，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，若设AC=x，则可列方程为________________．3、某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的是样子离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜塞在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为1.5m，则这两面直立墙壁之间的安全道的宽BE为__________m．4、在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则BC的长为_____．5、若△ABC中，cm，cm，高cm，则BC的长为________cm．6、《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思为：今有墙高1丈，倚木杆于墙，使木之上端与墙平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上．问木杆是多长？（1丈=10尺）设木杆长为x尺根据题意，可列方程为______．7、公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积是49，直角三角形中较小锐角θ的正切为，那么大正方形的面积是_____．8、如图，台风过后，某希望小学的旗杆在离地某处断裂，且旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部________m位置断裂．三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．(1)出发3s后，求PQ的长；(2)当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？(3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．2、如图所示，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，AC=BC．(1)求证：△ADC≌△BEC．(2)若CD=1，BE=2，求线段AC的长.3、如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，AD＝1，BC＝2，求AB、CD的长．4、如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．5、（1）如图１是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；（2）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试证明过程．说明：．6、在边长为8的等边ABC中，点D是边AB上的一动点，点E在边AC上，且CE=2AD，射线DE绕点D顺时针旋转60°交BC边于F．（1）如图1，求证：∠AED=∠BDF；（2）如图2，在射线DF上取DP=DE，连接BP，①求∠DBP的度数；②取边BC的中点M，当PM取最小值时，求AD的长.7、已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，求m的值．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求出斜边的高．【详解】解：设斜边长为c，高为h．由勾股定理可得：c2=62+82，则c=10，直角三角形面积S=×6×8=×c×h，可得h=4.8，故选：C．【考点】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求直角三角形的边长和利用面积法求直角三角形的高是解决此类题的关键．2、C【解析】【分析】当H落在AB上，点D与B重合时，AH长度的值最小，根据勾股定理得到AB=10cm，由折叠的性质知，BH=BC=6cm，于是得到结论．【详解】解：当H落在AB上，点D与B重合时，AH长度的值最小，∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，∴AB=10cm，由折叠的性质知，BH=BC=6cm，∴AH=AB-BH=4cm．故选：C．【考点】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．3、D【解析】【分析】分情况讨论：①当边长为4的边作斜边时；②当边长为4的边作直角边时，利用勾股定理分别求解即可．【详解】解：当边长为4的边作斜边时，第三条边的长度为；当边长为4的边作直角边时，第三条边的长度为；综上分析可知，这个三角形的第三条边的长为5或，故D正确．故选：D．【考点】本题主要考查了勾股定理，掌握分类讨论的思想是解题的关键．4、D【解析】【分析】根据AE平分∠DAE，可得，从而得到AB=BE，进而得到，可得①正确；然后证明△ABE≌△AFD，可得AB=BE=AF=FD，从而得到∠AED=∠CED，故②正确；再证得△DEF≌△DEC，可得③正确；再根据△ABF≌△DCF，可得BF=CF，故④正确；过点F作FG⊥BC于点G，可得，从而得到，进而得到，可得⑤正确；即可求解．【详解】解：在矩形中，∠BAD=∠ADC=∠ABC=90°，AD=BC，AD∥BC，∵AE平分∠DAE，∴，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB=45°，∴∠AEB=∠BAE=45°，∴AB=BE，∴，∵，∴AE=AD，故①正确；在△ABE和△AFD中，∵∠BAE=∠DAE，∠ABE=∠AFD，AE=AD，∴△ABE≌△AFD（AAS），∴BE=DF，∴AB=BE=AF=FD，∴，∴∠AED=∠CED，故②正确；∵∠DAE=45°，DF⊥AE，∴∠ADF=45°，∴∠CDF=45°，∠EDF=∠ADE-∠ADF=22.5°，∴∠CDE=∠FDE=22.5°，∵∠AEB=45°，∠AED=67.5°，∴∠CED=67.5°，∴∠AED=∠CED，∵DE=DE，∴△DEF≌△DEC，∴DF=CD，∴DE⊥CF，故③正确；∵AB=CD，∠BAE=∠CDF=45°，AF=DF，∴△ABF≌△DCF，∴BF=CF，故④正确；如图，过点F作FG⊥BC于点G，∴FG∥AB，∴∠EFG=∠BAE=45°，∴∠EFG=∠FEG，∴FG=GE，∵△DEF≌△DEC，∴CE=EF，∴，∴，∵BF=CF，∴BG=CG，∴，∵AB=1，，∴，，解得：，∴．故⑤正确；∴正确的有5个．故选：D【考点】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．5、D【解析】【分析】连接OA、OC，由垂径定理得AC＝BC＝AB＝5寸，连接OA，设圆的半径为x寸，再在Rt△OAC中，由勾股定理列出方程，解方程可得半径，进而直径可求．【详解】解：连接OA、OC，如图：由题意得：C为AB的中点，则O、C、D三点共线，OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝5（寸），设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13．∴圆材直径为2×13＝26（寸）．故选：D【考点】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．6、B【解析】【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．【详解】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：故选B.【考点】本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．7、C【解析】【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选：C．【考点】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.二、填空题1、+24【解析】【分析】连结BD，可求出BD=6，再根据勾股定理逆定理，得出△BDC是直角三角形，两个三角形面积相加即可．【详解】解：连结BD，∵，∴，∵，，∴BD=6，∵BD2=36，CD2=64，BC2=100，BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，S△ABD=，S△BDC=，四边形ABCD的面积是=S△ABD+S△BDC=+24故答案为：+24．【考点】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2、【解析】【分析】设AC=x，则AB=10-x，再由即可列出方程．【详解】解：∵，且，∴，在Rt△ABC中，由勾股定理有：，即：，故可列出的方程为：，故答案为：．【考点】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．3、2.7【解析】【分析】先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出AB的长，进而可得出结论．【详解】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AE=0.7米，DE=2.4米，∴AD2=0.72+2.42=6.25．在Rt△A′BD中，∵∠ABC=90°，BC=1.5米，AB2+BC2=AC2，∴AB2+1.52=6.25，∴AB2=4．∵AB＞0，∴AB=2米．∴BE=AE+AB=0.7+2=2.7米．故答案为2.7．【考点】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．4、6【解析】【分析】根据勾股定理求解即可．【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，∴BC===6故答案为：6．【考点】本题考查勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．5、28或8##8或28【解析】【分析】高的位置不确定，应分情况进行讨论：（1）高在内部；（2）高在外部，依此即可求解．【详解】解：如图（1）cm，cm，，则，，则；如图（2），由（1）得，，则．则的长为或．故答案为或．【考点】此题考查了勾股定理，本题需注意高的位置不确定，应根据三角形的形状分两种情况讨论．6、102+（x-1）2=x2【解析】【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x-1）尺，根据勾股定理可列出方程．【详解】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x-1）尺，在Rt△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，∴102+（x-1）2=x2，故答案为：102+（x-1）2=x2．【考点】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．7、169．【解析】【分析】由题意知小正方形的边长为7．设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，运用正切函数定义求解．【详解】解：由题意知，小正方形的边长为7，设直角三角形中较小边长为a，较长的边为b，则tanθ＝短边：长边＝a：b＝5：12．所以b＝a，①又以为b＝a+7，②联立①②，得a＝5，b＝12．所以大正方形的面积是：a2+b2＝25+144＝169．故答案是：169．【考点】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，掌握解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积是解题的关键.8、6【解析】【分析】设，则,在中，利用勾股定理列方程，即可求解．【详解】解：如图，由题意知，，，设，则,在中，，即，解得，因此旗杆在离底部6m位置断裂．故答案为：6．【考点】本题考查勾股定理的实际应用，读懂题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键．三、解答题1、(1)PQ＝cm(2)出发秒后△PQB能形成等腰三角形(3)当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．【解析】【分析】（1）可求得AP和BQ，则可求得BP，由勾股定理即可得出结论；（2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于t的方程，可求得t；（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．(1)当t＝3时，则AP＝3，BQ＝2t＝6，∵AB＝16cm，∴BP＝AB﹣AP＝16﹣3＝13（cm），在Rt△BPQ中，PQ＝＝＝（cm）．(2)由题意可知AP＝t，BQ＝2t，∵AB＝16，∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣t＝2t，解得t＝，∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形；(3)①当CQ＝BQ时，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10，∴BC+CQ＝22，∴t＝22÷2＝11秒．②当CQ＝BC时，如图2所示，则BC+CQ＝24，∴t＝24÷2＝12秒．③当BC＝BQ时，如图3所示，过B点作BE⊥AC于点E，则BE＝，∴CE＝＝＝，∴CQ＝2CE＝14.4，∴BC+CQ＝26.4，∴t＝26.4÷2＝13.2秒．综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．【考点】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．2、(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）由AD⊥BC，BE⊥AC得∠BEC=∠ADC=90°，可证∠DAC=∠CBE，根据AAS可证△ADC≌△BEC；（2）由△ADC≌△BEC，得CD=CE=1，根据勾股定理可求．(1)证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BEC=∠ADC=90°∴∠C+∠DAC=90°=∠C+∠CBE，∴∠DAC=∠CBE在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC(AAS)；(2)解：∵△ADC≌△BEC，∴CD=CE=1，∴BC===，∴AC=BC=【考点】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．3、AB＝2－2，CD＝4－.【解析】【分析】此题为几何题，看题目只是一个四边形，要求两条未知边，那肯定要添辅助线.过点D作DH⊥BA延长线于H，作DM⊥BC于M.构建矩形HBMD.利用矩形的性质和解直角三角形来求AB、CD的长度.【详解】如图，过点D作DH⊥BA延长线于H，作DM⊥BC于点M.∵∠B＝90°，∴四边形HBMD是矩形.∴HD＝BM，BH＝MD，∠ABM＝∠ADC＝90°，又∵∠C＝60°，∴∠ADH＝∠MDC＝30°，∴在Rt△AHD中，AD＝1，∠ADH＝30°，则AH＝AD＝，DH＝.∴MC＝BC－BM＝BC－DH＝2－＝.∴在Rt△CMD中，CD＝2MC＝4－，DM＝CD＝.∴AB＝BH－AH＝DM－AH＝－＝【考点】本题考查了勾股定理和矩形的判定与性质.此题的关键是根据题意作出辅助线，构建矩形.4、【解析】【分析】设秋千的绳索长为，则，，利用勾股定理得，再解方程即可得出答案．【详解】解：设秋千的绳索长为，则，，在中，，即，解得，答：绳索的长度是．【考点】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．5、（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据正方形面积计算公式解答；（2）利用面积法证明即可得到结论．【详解】（1）；（2）如图，∵Rt△DEC≌Rt△EAB，∴∠DEC=∠EAB，DE=AE，∵，∴，∴△AED为等腰直角三角形，∵，∴，即，∵，∴，∴．【考点】此题考查勾股定理的证明，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解各部分图形之间的关系，正确分析它们之间的面积等量关系是解题的关键．6、（1）见解析；（2）①30°；②2【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质求解即可；（2）①方法一：连接EP，过点P作GQ∥BC分别交AB，AC于点G，Q，易知△AGQ和△DEP均为等边三角形，得到△ADE≌△GPD≌△QEP（AAS），即可得解；方法二：在DB上取DG=AE，证明△ADE≌△GPD（SAS），即可得解；②在DB上取