理科数学试题和答案

理科数学试题和答案

一、单项选择题(每题2分,共10题)1.函数\(y=\sinx\)的最小正周期是(）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)2.抛物线\(y^2=4x\)的焦点坐标是()A.\((1,0)\)B.\((0,1)\)C.\((2,0)\)D.\((0,2)\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\),\(\vec{b}=(-1,1)\),则\(\vec{a}+\vec{b}\)等于()A.\((0,3)\)B.\((1,3)\)C.\((2,1)\)D.\((2,3)\)4.若\(\tan\alpha=2\),则\(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)的值为()A.\(\frac{1}{2}\)B.\(2\)C.\(\pm2\)D.\(\frac{2}{3}\)5.等差数列\(\{a_{n}\}\)中,\(a_{1}=1\),\(a_{3}=5\),则公差\(d\)为()A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)6.函数\(f(x)=x^3-3x\)的极大值点是()A.\(1\)B.\(-1\)C.\(0\)D.\(2\)7.已知\(\log_{2}x=3\),则\(x\)的值为()A.\(6\)B.\(8\)C.\(16\)D.\(32\)8.从\(5\)名男生和\(3\)名女生中选\(2\)人参加比赛,选到一男一女的概率是()A.\(\frac{15}{28}\)B.\(\frac{5}{14}\)C.\(\frac{3}{14}\)D.\(\frac{1}{2}\)9.圆\((x-1)^2+(y+2)^2=9\)的圆心坐标是()A.\((1,2)\)B.\((-1,2)\)C.\((1,-2)\)D.\((-1,-2)\)10.直线\(y=2x+1\)与直线\(y=2x-3\)的位置关系是()A.相交B.平行C.垂直D.重合二、多项选择题(每题2分,共10题)1.下列函数中,是偶函数的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=|x|\)2.以下属于基本不等式的有()A.\(a^2+b^2\geq2ab\)B.\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}(a\gt0,b\gt0)\)C.\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)D.\(a^2+b^2+c^2\geqab+bc+ca\)3.一个正方体的棱长为\(a\),以下正确的是()A.正方体的表面积为\(6a^2\)B.正方体的体积为\(a^3\)C.正方体的体对角线长为\(\sqrt{3}a\)D.正方体的面对角线长为\(\sqrt{2}a\)4.已知复数\(z=a+bi\)(\(a,b\inR\)),以下说法正确的是()A.当\(a=0\)时,\(z\)是纯虚数B.\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)C.若\(z=\overline{z}\),则\(b=0\)D.\(z\cdot\overline{z}=a^2+b^2\)5.椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的性质正确的有(）A.长轴长为\(2a\)B.短轴长为\(2b\)C.焦距为\(2c\)(\(c^2=a^2-b^2\))D.离心率\(e=\frac{c}{a}\)且\(0\lte\lt1\)6.下列求导正确的是(）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)7.已知直线\(l_1:y=k_1x+b_1\),\(l_2:y=k_2x+b_2\),以下能判断\(l_1\parallell_2\)的是()A.\(k_1=k_2\)且\(b_1\neqb_2\)B.\(k_1k_2=-1\)C.两直线斜率都不存在且不重合D.\(k_1=k_2\)且\(b_1=b_2\)8.以下哪些是等比数列的性质()A.\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)B.\(a_{m}\cdota_{n}=a_{p}\cdota_{q}(m+n=p+q)\)C.\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}(q\neq1)\)D.\(S_{n}=na_{1}(q=1)\)9.空间中,下列说法正确的是()A.垂直于同一条直线的两条直线平行B.若直线\(a\)平行于平面\(\alpha\),直线\(b\subset\alpha\),则\(a\parallelb\)C.若两个平面\(\alpha\)、\(\beta\)平行,直线\(a\subset\alpha\),则\(a\parallel\beta\)D.若一条直线垂直于一个平面内两条相交直线,则这条直线垂直于这个平面10.已知\(A(1,2)\),\(B(3,4)\),以下说法正确的是（）A.直线\(AB\)的斜率为\(1\)B.\(AB\)中点坐标为\((2,3)\)C.\(|AB|=2\sqrt{2}\)D.直线\(AB\)的方程为\(y-2=x-1\)三、判断题(每题2分,共10题)1.\(y=\log_{a}x\)(\(a\gt0\)且\(a\neq1\))的定义域是\((0,+\infty)\)。()2.若\(a\gtb\),则\(a^2\gtb^2\)。（)3.向量\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\times|\vec{b}|\sin\theta\)(\(\theta\)为\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角)。()4.函数\(y=\cos(x+\frac{\pi}{2})\)是奇函数。()5.双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的渐近线方程是\(y=\pm\frac{b}{a}x\)。()6.若\(f^\prime(x_0)=0\),则\(x_0\)一定是函数\(f(x)\)的极值点。(）7.两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（)8.等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d\)。()9.复数\(z=3+4i\)的共轭复数是\(3-4i\)。()10.对于任意实数\(a,b\),\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)恒成立。（）四、简答题(每题5分,共4题)1.求函数\(y=x^2-2x+3\)的最小值及对称轴。答案:将函数化为顶点式\(y=(x-1)^2+2\),所以对称轴为\(x=1\),当\(x=1\)时,\(y\)有最小值\(2\)。2.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\),\(\alpha\)是第二象限角,求\(\cos\alpha\)的值。答案：因为\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\),\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\),所以\(\cos^2\alpha=1-(\frac{3}{5})^2=\frac{16}{25}\)。又\(\alpha\)是第二象限角,\(\cos\alpha\lt0\),所以\(\cos\alpha=-\frac{4}{5}\)。3.求过点\((1,2)\)且斜率为\(3\)的直线方程。答案:由直线的点斜式方程\(y-y_1=k(x-x_1)\)(其中\((x_1,y_1)=(1,2)\),\(k=3\)),可得\(y-2=3(x-1)\),整理得\(3x-y-1=0\)。4.计算\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)。答案:\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{1}=(\frac{1}{3}\times1^3+1)-(\frac{1}{3}\times0^3+0)=\frac{4}{3}\)。五、讨论题(每题5分,共4题)1.讨论函数\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上的单调性,并说明理由。答案:函数\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上单调递减。设\(0\ltx_1\ltx_2\),则\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\gt0\),即\(f(x_1)\gtf(x_2)\),所以单调递减。2.已知直线\(l\)与圆\(C\),讨论直线与圆的位置关系有几种判定方法。答案:两种方法。一是几何法,比较圆心到直线的距离\(d\)与圆半径\(r\)的大小,\(d\gtr\)时相离,\(d=r\)时相切,\(d\ltr\)时相交;二是代数法,联立直线与圆的方程得方程组,消元后看判别式\(\Delta\),\(\Delta\gt0\)相交,\(\Delta=0\)相切,\(\Delta\lt0\)相离。3.讨论在等比数列中,若\(a_{n}\gt0\),\(a_{1}a_{9}=64\),\(a_{4}=4\),求公比\(q\)的值。答案：由等比数列性质\(a_{1}a_{9}=a_{5}^2=64\),又\(a_{n}\gt0\),所以\(a_{5}=8\)。则\(q=\frac{a_{5}}{a_{4}}=\frac{8}{4}=2\)。4.讨论如何利用导数判断函数的单调性。答案:先求函数\(f(x)\)的导数\(f^\prime(x)\)。若在某区间内\(f^\prime(x)\gt0\),则\(f(x)\)在该区间单调递增;若\(f^\prime(x)\lt0\),则\(f(x)\)在该区间单调递减;若\(f^\prime(x)=0