基础强化山西省古交市中考数学真题分类（勾股定理）汇编专项练习试题（含解析）

山西省古交市中考数学真题分类（勾股定理）汇编专项练习考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题14分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、如图，中，，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于N，分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；过点D作交AB的延长线于点F，若，，则CE的长为（

）A．13 B． C． D．2、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=5，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的面积和为（

）A．5 B．9 C．16 D．253、如图，在水塔O的东北方向24m处有一抽水站A，在水塔的东南方向18m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管AB的长为（

）A．40m B．45m C．30m D．35m4、如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（

）A． B． C． D．5、如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（

）A． B． C． D．6、下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是（

）A．4，8，7 B．2，2，2 C．2，2，4 D．13，12，57、下面图形能够验证勾股定理的有（）个A．4个 B．3个 C．2个 D．1个第Ⅱ卷（非选择题86分）二、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、如图所示，数轴上点A所表示的数为_______．2、如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得两个锐角顶点A、C重合，设折痕为DE，若AB=4，BC=3，则△ADC的周长是__________

3、把一根长12厘米的木棒，从一端起顺次截下3厘米和5厘米的两段，用得到的三根木棒首尾依次相接，摆成的三角形形状是______．4、如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为的正方形纸片，沿着边上一点与点的连线折叠，点是点的对应点，延长交于点，经测量，，则的面积为______．5、如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向，以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是_______s6、如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为________．7、勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．（1）A，B间的距离为______km；（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为______km．8、如图，CD是△ABC的中线，将△ACD沿CD折叠至，连接交CD于点E，交CB于点F，点F是的中点．若的面积为12，，则点F到AC的距离为______．三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．（1）问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．2、如图所示，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，AC=BC．(1)求证：△ADC≌△BEC．(2)若CD=1，BE=2，求线段AC的长.3、已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2．求整式B．联想：由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；直角三角形三边n2﹣12nB勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ354、如图，将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，已知AB=4，BC=2，求折叠后重合部分的面积．5、如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？6、如图②，它可以看作是由边长为a、b、c的两个直角三角形（如图①C为斜边）拼成的，其中A、C、D三点在同一条直线上，(1)请从面积出发写出一个表示a、b、c的关系的等式；（要求写出过程）(2)如图③④⑤，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个．(3)如图⑥，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_______．7、我市《道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过60km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测点A正前方30m的C处，2秒后又行驶到与车速检测点A相距50m的B处．请问这辆小汽车超速了吗？若超速，请求出超速了多少？-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】先证明CE=CD=DF，BC=BF=5，利用勾股定理求出AB，设CE=CD=DF=x，在Rt△ADF中，利用勾股定理构建方程求解即可．【详解】解：由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，∴∠1=∠2=∠3，∵∠CEB+∠3=∠2+∠CDE=90°，∴∠CEB=∠CDE，∴CD=CE，在△DBC和△DBF中，，∴△BDC≌△BDF（AAS），∴CD=DF，BC=BF=5，∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴AB=，设EC=CD=DF=x，在Rt△ADF中，则有（12+x）2=x2+182，∴x=，∴CE=，故选D．【考点】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，以及勾股定理等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．2、D【解析】【分析】设，根据勾股定理可得，即可求解．【详解】解：设，根据勾股定理可得，即两个正方形的面积和为25故选：D【考点】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．3、C【解析】【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可．【详解】解：∵OA是东北方向，OB是东南方向，∴∠AOB=90°，又∵OA=24m，OB=18m，∴30m．故选：C．【考点】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．4、C【解析】【分析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断C．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，所以A正确，不符合题意；PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，所以B正确，不符合题意；∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，∴△BPQ是等边三角形，∴∠BPQ=60°，∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以D正确，不符合题意；∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，∵PC=5，QC=PA=3,∴PC≠2QC，∵∠PQC=90°，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以C不正确，符合题意．故选：C．【考点】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．5、C【解析】【分析】找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可．【详解】解：如图，，，，均可与点和组成直角三角形．，故选：C．【考点】本题考查了概率公式，解题的关键是掌握如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率（A）．6、D【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理，看较小的两边的平方和是否等于最大的边的平方即可进行判断.【详解】A、42+72≠82，故不能构成直角三角形；B、22+22≠22，故不能构成直角三角形；C、2+2=4，故不能构成三角形，不能构成直角三角形；D、52+122=132，故能构成直角三角形，故选D．【考点】本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即若三角形的三边符合a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形．7、A【解析】【分析】分别计算图形的面积进行证明即可．【详解】解：A、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；B、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；C、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；D、由可得，故该项的图形能够验证勾股定理；故选：A．【考点】此题考查了图形与勾股定理的推导，熟记勾股定理的计算公式及各种图形面积的计算方法是解题的关键．二、填空题1、【解析】【分析】根据数轴上点的特点和相关线段的长，结合勾股定理求出斜边长，即可求出-1和A之间的线段的长，即可知A所表示的数．【详解】图中直角三角形的两直角边为1，2，所以斜边长为，那么-1和A之间的距离为，那么数轴上点A所表示的数为：．故答案为：．【考点】本题考查实数与数轴之间的对应关系以及勾股定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜边的长是解答本题的关键．2、【解析】【分析】首先根据勾股定理设，求出AD、CD，再求出AB，相加即可．【详解】解：∵折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点、重合，∴，设，则，故，∵，∴，即，解得，∴．则在中，由勾股定理得∴AC=5∴周长为AD+CD+AB=．故答案为：．【考点】本题考查了勾股定理的应用以及折叠的性质，掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键．3、直角三角形【解析】【分析】首先计算出第三条铁丝的长度，再利用勾股定理的逆定理可证明摆成的三角形是直角三角形．【详解】解：12-3-5=4（cm），∵32+42=52，∴这三条铁丝摆成的三角形是直角三角形，故答案为：直角三角形．【考点】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．4、##【解析】【分析】根据题意，，进而求得，勾股定理求得，即可求得的面积．【详解】解：折叠，，，，∵四边形是正方形∴中．．故答案为：【考点】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．5、8【解析】【分析】过点A作AC⊥ON，根据题意可知AC的长与200米相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200米，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，∵公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN120米，∴AC=120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，∵144千米/小时=40米/秒，∴影响时间应是：320÷40=8秒．故答案为：8．【考点】本题考查勾股定理的应用．根据题意构建直角三角形是解题关键．6、2.5m【解析】【详解】设木棒的长为xm，根据勾股定理可得：x2=22+1.52，解得x=2.5．故木棒的长为2.5m．故答案为2.5m．7、

20

13【解析】【分析】（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；（2）根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD=x，根据勾股定理即可求出x的值．【详解】（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB=12﹣（﹣8）=20；（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由（1）可知：CE=1﹣（﹣17）=18，AE=12，设CD=x，∴AD=CD=x，由勾股定理可知：x2=（18﹣x）2+122，∴解得：x=13，∴CD=13．故答案为（1）20；（2）13．【考点】本题考查了勾股定理，解题的关键是根据A、B、C三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型．8、【解析】【分析】过点F作FH⊥AC于点H，由翻折的性质可知S△AA'D=24，由D为AB的中点，则S△AA'B=2S△AA'D=48，得AA'=12，再通过AAS证明△A'BF≌△ECF，得CE=A'B=8，在Rt△CAE中，由勾股定理求出AC的长，最后通过面积法即可求出FH的长．【详解】解：如图，过点F作FH⊥AC于点H，根据翻折的性质得：AD=A'D，AA'⊥CD，AE=A'E，∵CD是△ABC的中线，∴CD=BD，∴AD=BD=A'D，∴∠AA'B=90°，又∵S△A'DE=12，∴S△ADE=12，∴S△ADA'=24，又∵D为AB的中点，∴S△AA'B=2S△AA'D=48，即×AA′×A′B＝48，∴AA'=12，又∵F为A'E的中点，∴A'F=EF，在△A'BF与△ECF中，，∴△A'BF≌△ECF（AAS），∴CE=A'B=8，∵AA'=2A'E，A'E=2EF=6，∴EF=3，AF=9，在Rt△CAE中，由勾股定理得：CA==10，在△CAF中，CA•HF=AF•CE，∴HF==，即点F到AC的距离为，故答案为：．【考点】本题主要考查了翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用等积法求垂线段的长是解题的关键．三、解答题1、（1）是，理由见解析；（2）2.5米．【解析】【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得Rt△CHB是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；（2）设AC＝AB＝x，则AH＝x－1.8，在Rt△ACH中，根据勾股定理列方程求得x即可．【详解】（1）∵，即，∴Rt△CHB是直角三角形，即CH⊥BH，∴CH是从村庄C到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）；（2）设AC＝AB＝x，则AH＝x－1.8，∵在Rt△ACH，∴，即，解得x＝2.5，∴原来的路线AC的长为2.5米．【考点】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解答本题的关键．2、(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）由AD⊥BC，BE⊥AC得∠BEC=∠ADC=90°，可证∠DAC=∠CBE，根据AAS可证△ADC≌△BEC；（2）由△ADC≌△BEC，得CD=CE=1，根据勾股定理可求．(1)证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BEC=∠ADC=90°∴∠C+∠DAC=90°=∠C+∠CBE，∴∠DAC=∠CBE在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC(AAS)；(2)解：∵△ADC≌△BEC，∴CD=CE=1，∴BC===，∴AC=BC=【考点】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．3、A＝（n2+1）2，B＝n2+1，15，17；12，37【解析】【分析】先根据整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答．【详解】A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，∵A＝B2，B＞0，∴B＝n2+1，当2n＝8时，n＝4，n2﹣1＝42﹣1＝15，n2+1＝42+1＝17；当n2﹣1＝35时，n＝±6（负值舍去），2n＝2×6＝12，n2+1＝37．直角三角形三边n2﹣12nB勾股数组Ⅰ15817勾股数组Ⅱ351237故答案为：15，17；12，37．【考点】本题考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．4、【解析】【分析】先由折叠可知EC=BC=2，进而可知AD=CE，通过全等三角形的角角边判定定理可证明△ADF≌△CEF，由全等可知FE=DF，设FC为x，则FE=DF=4-x，根据直角三角形的勾股定理可列方程，从而计算出CF的长度，通过CF与AD的长度可计算出重合部分面积．【详解】解：∵△AEC是由△ABC沿AC折叠后得到的，∴EC=BC=2，且∠E=∠B=90°