中考数学-整式乘法与因式分解易错压轴解答题含答案

中考数学整式乘法与因式分解易错压轴解答题(含答案)一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题1.

(1)计算并观察下列各式:
________;
________;
________;(2)从上面的算式及计算结果,你发现了什么？请根据你发现的规律直接填写下面的空格.
________;(3)利用该规律计算:
.2.某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作:（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形,如图1,再沿线段AB把纸片剪开,最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形,这一过程所揭示的公式是________.(2)先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片,再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片,如图3,最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形.这一过程你能发现什么代数公式?(3)先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片,再剪出三张边长分别为a和占的长方形纸片,如图5,你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形?如果可以,请画出草图,并写出相应的等式.如果不能,请说明理由.3.观察下列各式:(x﹣1)(x+1)＝x2﹣1;(x﹣1）(x2+x+1）＝x3﹣1;（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1;……根据这一规律计算:(1)(x﹣1)(x4+x3+x2+x+1)＝________.(x﹣1)(xn+xn﹣1+…+x+1)＝________.(2)22020+22019+22018+…+22+2+1.(3)32020﹣32019+32018﹣32017+…+32﹣3+1.4．如图,有一个边长为a的大正方形与两个边长均为b的小正方形(a>b),按如图1、2所示的方式摆放,设图1中阴影部分的面积之和为S1,图2中阴影部分的面积为S2。(1)用含a,b的代数式表示S1与S2(结果要化为最简形式)。(2)当S1+3S2=
b²时,求a:b的值。5.【阅读材料】我们知道,图形也是一种重要的数学语言,它直观形象,能有效地表现一些代数中的数量关系,而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题。在一次数学活动课上,张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片,其中甲种纸片是边长为x的正方形,乙种纸片是边长为y的正方形,丙种纸片是长为y,宽为x的长方形,并用甲种纸片一张,乙种纸片一张,丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形。(1)【理解应用】观察图2,用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式,请你直接写出这个等式。(2)【拓展升华】利用(1)中的等式解决下列问题:①已知a²+b²=10,a+b=6,求ab的值。②已知(2021-c)(c-2019)=2020,求(2021-c)²+(c-2019)²的值。6．如图,长方形ABCD中,AB=x(6<x<9),AD=y(6<y<9),放入一个边长为6的正方形AEFG和两个边长都为3的正方形CHIJ及正方形DKMN,S1,S2,S3分别表示对应阴影部分的面积．(1)MH=________,KG=________,BJ=________(结果用含x或y的代数式表示)(2)若S2=S3,求长方形ABCD的周长.（3）若2S1+3S2=5S3,且AD比AB长1,求长方形ABCD的面积.7．上数学课时,王老师在讲完乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的多种运用后,要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值?同学们经过交流、讨论,最后总结出如下解答方法：解:x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1∵(x+2)2≥0∴当x=-2时,(x+2)2的值最小,最小值是0,∴(x+2)2+1≥1∴当(x+2)2=0时,(x+2)2+1的值最小,最小值是1,∴x2+4x+5的最小值是1.请你根据上述方法,解答下列各题(1)知识再现:当x=________时,代数式x2-6x+12的最小值是________;(2)知识运用:若y=-x2+2x-3,当x=________时,y有最________值(填"大"或"小")（3）知识拓展:若-x2+3x+y+5=0,求y+x的最小值8．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助图的直观性,可以帮助理解数学问题．(1)请写出图1.图2.图3分别能解释的乘法公式.(2)用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图4的正方形,请你写出这三个代数式(a+b)2.(a﹣b)2.ab之间的等量关系.(3)根据(2)中你探索发现的结论,完成下列问题:①当a+b＝5,ab＝﹣6时,则a﹣b的值为________.②设
,B＝x﹣2y﹣3,计算：（A+B）2﹣（A﹣B）2的结果________.9．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列,其中“杨辉三角”就是一大重要研究成果．如图所示的三角形数表,称“杨辉三角”．具体法则：两侧的数都是1,其余每个数均为其上方左右两数之和,它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律：(1)根据上面的规律,写出(a+b)5的展开式;(2)利用上面的规律计算:(﹣3)4+4×(﹣3)3×2+6×(﹣3)2×22+4×(﹣3)×23+24.10.提出问题：“周长一定的长方形,当邻边长度满足什么条件时面积最大？”探究发现：如图所示,小敏用4个完全相同的、邻边长度分别为a、b的长方形拼成一个边长为（a+b）的正方形（其中a、b的和不变,但a、b的数值及两者的大小关系都可以变化）.仔细观察拼图,我们发现,如果右图中间有空白图形F,那么它一定是正方形(1)空白图形F的边长为________;(2)通过计算左右两个图形的面积,我们发现(a+b)2.(a﹣b)2和ab之间存在一个等量关系式.①这个关系式是________;②已知数x、y满足：x+y＝6,xy＝
,则x﹣y＝________;问题解决:问题:"周长一定的长方形,当邻边长度满足什么条件时面积最大?"①对于周长一定的长方形,设周长是20,则长a和宽b的和是________面积S＝ab的最大值为________,此时a、b的关系是________;②对于周长为L的长方形,面积的最大值为________.活动经验:周长一定的长方形,当邻边长度a、b满足________时面积最大.11.认真阅读材料,然后回答问题:我们初中学习了多项式的运算法则,相应的,我们可以计算出多项式的展开式,如:（a+b）1=a+b,（a+b）2=a2+2ab+b2,（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3,…下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现,当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为"杨辉三角形";仔细观察"杨辉三角形",用你发现的规律回答下列问题:(1)多项式(a+b)n的展开式是一个几次几项式?并预测第三项的系数;(2)请你预测一下多项式(a+b)n展开式的各项系数之和.（3）结合上述材料,推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S,（结果用含字母n的代数式表示）.12．现有若干张如图1所示的正方形纸片A,B和长方形纸片C．(1)小王利用这些纸片拼成了如图2的一个新正方形,通过用两种不同的方法计算新正方形面积,由此,他得到了一个等式:________;(2)小王再取其中的若干张纸片(三种纸片都要取到)拼成一个面积为a2+3ab+nb2的长方形,则n可取的正整数值是________,并请你在图3位置画出拼成的长方形________;(3)根据拼图经验,请将多项式a2+5ab+4b2分解因式.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题1.(1);;（2）(3)解:＝＝.【解析】【解答】(1)(x-1)(x+1)=x2+x-x-1=x2-1;(x-1)(x2+x+1)=x3+x2+x--x2-x-1=x3-1;解析:（1）
；
；
（2）(3)解:
＝＝.【解析】【解答】(1)(x-1)(x+1)=x2+x-x-1=x2-1;(x-1)(x2+x+1)=x3+x2+x--x2-x-1=x3-1;(x-1)(x3+x2+x+1)=x4+x3+x2+x-x3--x2-x-1=x4-1;故答案为:x2-1,x3-1,x4-1.【分析】（1)利用多项式乘以多项式的法则：用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把它们的积相加,可得结果。(2)根据(1)中的规律可得答案。(3）将原式转化为(x-1）(xn+xn-1+
+x+1）=xn+1-1(n为正整数）,因此只需在原式乘以
,就可得出结果。2.（1)(2)a2+b2+2ab=(a+b)2（3)解:能拼成长方形.如图.(不止一种）画图正确得分.等式:2a2+3ab+b2=(a+b)(2a+b).(等式左右两边交换不扣分)解析:（1）
（2）(3)解:能拼成长方形.如图.(不止一种）画图正确得分.等式:
.(等式左右两边交换不扣分)【解析】【分析】(1)图1阴影部分面积为S1=a2-b2,图1阴影部分面积为S2=
,根据展开前后图形的面积相等得到S1=S2,所以

;(2)图3四个图形面积和为S3=a2+b2+2ab,图4的面积S4=(a+b)2,因为图4为图3的四个图形拼成,所以S3=S4,即
;(3)图5六个图形面积和为S5=2a2+b2+3ab,画出的长方形的面积S=(a+b)(2a+b),因为画出的长方形为图5的六个图形拼成,所以S5=S,即

.3.(1)x5﹣1;xn+1﹣1（2）解:（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1,把x＝2,n＝2020代入得,22020+22019+22018+…+22+2+1＝（2﹣解析:(1)x5﹣1;xn+1﹣1(2)解:(x﹣1)(xn+xn﹣1+…+x+1)＝xn+1﹣1,把x＝2,n＝2020代入得,22020+22019+22018+…+22+2+1＝(2﹣1)(22020+22019+22018+…+22+2+1),＝22021﹣1(3)解:(x﹣1)(xn+xn﹣1+…+x+1)＝xn+1﹣1,把x＝﹣3,n＝2020代入得,(﹣3﹣1)(32020﹣32019+32018﹣32017+…+32﹣3+1)＝(﹣3)2021﹣1,所以.32020﹣32019+32018﹣32017+…+32﹣3+1,＝
,＝【解析】【解答】解:(1)根据规律可得,x5﹣1,xn+1﹣1;故答案为：x5﹣1,xn+1﹣1；【分析】(1)根据代数式的规律可得答案;（2)根据规律（x﹣1)（xn+xn﹣1+…+x+1)＝xn+1﹣1,把x＝2,n＝2020代入计算即可;(3）根据规律(x﹣1）(xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1,把x＝﹣3,n＝2020代入计算即可.4.（1）解：S1=2(a-b)2+(2b-a)2=3a²-8ab+6b²S2=b²-(a-b)2=2ab-a2(2)解:∵S1+3S2=72b²,∴3a2-8ab+6b2+3(解析:(1)解:S1=2(a-b)2+(2b-a)2=3a²-8ab+6b²S2=b²-(a-b)2=2ab-a2(2)解:∵S1+3S2=
b²,∴3a2-8ab+6b2+3(2ab-a²)=b2化简得:5b2=4ab,∵b≠0,∴两边同除以b,得：5b=4a,∴a:b=5:4【解析】【分析】(1)根据图1可知左下角及右上角两个图形是全等的正方形,其边长为(a-b),中间的小正方形应该是(2b-a),然后根据正方形面积的计算方法即可列出算式S1=2(a-b)2+(2b-a)2,再根据完全平方公式展开括号,再合并同类项即可;由图2可知:阴影部分的面积=边长为b的正方形的面积-边长为(a-b)的正方形的面积,从而根据正方形面积的计算方法即可列出算式,再根据完全平方公式展开括号,再合并同类项即可;(2）根据(1）的计算结果,由S1+3S2=
b²列出方程,化简即可得出答案.5.（1）解：x²+y²=(x+y)²-2xy(2)解:①由题意得:ab=把a²+b²=10,a+b=6代入上式得,ab==13②由题意得:(2021-c)²+(c-2019)解析:(1)解:x²+y²=(x+y)²-2xy(2)解:①由题意得:ab=
把a²+b²=10,a+b=6代入上式得,ab==13②由题意得:(2021-c)²+(c-2019)²=(2021-c+c-2019)²-2(2021-c)(c-2019)=22-2×2020=-4036【解析】【分析】(1)方法一是直接求出阴影部分面积x2＋y2,方法二是间接求出阴影部分面积,即(x＋y)为边的正方形面积减去两个x为宽、y为长的矩形面积,即(x＋y)2−2xy,进而根据用两个不同的算式表示同一个图形的面积,则这两个式子应该相等即可得出等式;(2)①根据等式的性质将(1)所得的等式变形后将a2＋b2＝10,a＋b＝6代入即可解决问题;②根据完全平方公式的恒等变形,a2+b2=(a+b）2-2ab,可以将2021−c看作a,将c−2019看作b,整体代入就可算出答案.6.（1）；9-y;y-3(2)解:FG=EB=x-6,IP=KG=9-y,IQ=IJ-EB=3-(x-6)=9-x,∴S2=IP×IQ=(9-y)(9-x),LN=GD=KD-K解析:(1)
；9-y;y-3（2）解:FG=EB=x-6,IP=KG=9-y,IQ=IJ-EB=3-(x-6)=9-x,∴S2=IP×IQ=(9-y)(9-x),LN=GD=KD-KG=3-(9-y)=y-6,∴S3=LN×NH=(y-6)(x-6),∵S2=S3,∴(9-y)(9-x)=(y-6)(x-6),81-9y-9x+xy=xy-6x-6y+363(x+y)=81,x+y=27.∴长方形ABCD的周长=2(x+y)=54.(3)解:S1=EB×BJ=(x-6)(y-3),由2S1+3S2=5S3得,2(x-6)(y-3)+3(9-y)(9-x)=5(y-6)(x-6),整理得:3y-x=33,∵y=x+1,解得x=15,y=16,则长方形ABCD的面积=xy=15×16=240.【解析】【解答】【解答】(1)由图可知,AG+KD=AG+GD+KG=AD+KG,即6+3=y+KG,∴KG=9-y,由图可知,BJ=AK=AG-KG=6-(9-y)=y-3,NH=DC-DN-HC=AB-2DN=x-6,则MH=;【分析】(1)根据线段之间的关系,结合正方形的性质推得AG+KD=AD+KG,求出KG=KG=9-y,由BJ=AK=AG-KG,从而求得BG=y-3;(2)根据已求线段的值,结合线段之间的关系,把IP和IQ,LN和NH分别用含x和y的代数式表示,根据S2=S3列式,求得x+y=27,则矩形的周长可求;(3)把S1.S2和S3分别用含x和y的代数式表示,根据2S1+3S2=5S3列式,

结合y=x+1,从而解出x、y则可求出长方形ABCD的面积.7.(1)3；3(2)1;-2（3）解:∵-x2+3x+y+5=0,∴x+y=x2-2x-5=(x-1)2-6,∵(x-1)2≥0∴(x-1)2-6≥-6∴当x=1时,y+x的最小值为解析:(1)3；3(2)1;-2（3）解:∵-x2+3x+y+5=0,∴x+y=x2-2x-5=(x-1)2-6,∵(x-1)2≥0∴(x-1)2-6≥-6∴当x=1时,y+x的最小值为-6.【解析】【解答】解:(1)∵x2-6x+12=(x-3)2+3,∴当x=3时,有最小值3:(2)∵y=-x2+2x-3=-(x-1)2-2,∴当x=1时有最大值-2【分析】(1)把代数式x2-6x+12根据完全平方公式配方,由配方的结果:(x-3)2+3,得(x-3)2≥0,当(x-3)2=0,即x=3时,求得x2-6x+12最小值为3;(2)把y=-x2+2x-3配方,由配方的结果:-(x-1)2-2,得-(x-1)2≤0,则当-(x-1)2=0,即x=1时,y有最大值为-2;(3)首先移项,求出y+x的表达式,再把此表达式配方,根据配方的结果,因为(x-1)2≥0,得出x=1,

y+x有最小值-6即可.8.(1）图1：(a+b）2＝a2+2ab+b2;图2:（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2;图3：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2,(2)图4:(a+b)2﹣(a﹣b)2＝4ab（3解析:(1)图1:(a+b)2＝a2+2ab+b2;图2:(a﹣b)2＝a2﹣2ab+b2;图3：(a+b)(a﹣b)＝a2﹣b2,(2)图4:(a+b)2﹣(a﹣b)2＝4ab（3)±7;∵
,B＝x﹣2y﹣3,∴(A+B)2﹣(A﹣B)2＝4×A×B＝4×
×(x﹣2y﹣3)＝(x+2y﹣3)(x﹣2y﹣3)＝[(x﹣3)+2y][(x﹣3)﹣2y]＝x2﹣6x+9﹣4y2.【解析】【解答】（3）①由（2）知:（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab,∵a+b＝5,ab＝﹣6,∴52﹣(a﹣b)2＝4×(﹣6),(a﹣b）2＝25+24＝49,∴a﹣b＝±7,故答案为:±7;【分析】(1)根据图形面积直接得出即可;(2)用两种方法表示阴影部分的面积可得结论;(3)①根据(2)中的等量关系代入计算可得结论;②同理根据(2)中的公式代入可得结论.9.(1）解：根据规律可得：(a+b）5首项a的次数是5次方,b为0次方,后续每项a的次数减少1而b的次数增加1,每项的系数根据规律则依次为为1,1+4=5,4+6=10,6+4=10,4+1=5,1解析:（1）解:根据规律可得:（a+b）5首项a的次数是5次方,b为0次方,后续每项a的次数减少1而b的次数增加1,每项的系数根据规律则依次为为1,1+4=5,4+6=10,6+4=10,4+1=5,1,根据以上规律,则（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2)解：由题知：
,对比(﹣3)4+4×(﹣3)3×2+6×(﹣3)2×22+4×(﹣3)×23+24可知a=-3,b=2,则原式＝(﹣3+2)4＝1.【解析】【分析】（1)根据上面的规律,按a的次数由大到小的顺序判断出各是多少,写出（a+b)5的展开式即可;（2)利用上面的规律,（-3)4+4×（-3)3×2+6×（-3)2×22+4×（-3)×23+24=（-3+2)4,据此求出算式的值是多少即可．10.(1)a﹣b(2)(a+b)2﹣(a﹣b)2＝4ab;5或﹣5;10;25;a＝b;116L2;a＝b【解析】【解答】(1)由图可知：空白图形F的边长为：a﹣b,故答案为:a﹣b;解析:(1)a﹣b(2)(a+b)2﹣(a﹣b)2＝4ab;5或﹣5;10;25;a＝b;
L2;a＝b【解析】【解答】(1)由图可知：空白图形F的边长为：a﹣b,故答案为:a﹣b;(2)①左图形的面积为:2a×2b＝4ab,右图形的面积为:（a+b)2﹣（a﹣b)2,∴(a+b)2﹣(a﹣b)2＝4ab,故答案为:(a+b)2﹣(a﹣b)2＝4ab;②由(a+b）2﹣(a﹣b）2＝4ab得:(x+y）2﹣(x﹣y）2＝4xy,即:62﹣（x﹣y)2＝4×
,∴(x﹣y）2＝25,∴x﹣y＝5或x﹣y＝﹣5,故答案为:5或﹣5;问题解决:解:①∵长方形的周长是20,∴2(a+b）＝20,∴a+b＝10,则b＝10﹣a,∴面积S＝ab＝a(10﹣a)＝﹣a2+10a＝﹣(a﹣5)2+25,∴a＝5时,S＝ab的最大值为25,此时a、b的关系是a＝b,故答案为:10,25,a＝b;②对于周长为L的长方形,设一边长为a,则邻边长为
﹣a,∴面积
;∴面积的最大值为
L2;故答案为:
L2;活动经验:解：周长一定的长方形,当邻边长度a、b满足a＝b时面积最大;故答案为:a＝b.【分析】探究发现(1)由图可知:空白图形F的边长为:a-b;(2)①由矩形的性质得出左图形的面积为:2a×2b=4ab,由正方形的性质得出右图形的面积为:(a+b)2-(a-b)2,即可得出答案;②由①得出(x-y)2=25,即可得出答案;问题解决①由长方形的性质得出a+b=10,面积S=ab=a(10-a)=-a2+10a=-(a-5)2+25,由二次函数的性质即可得出答案;②由长方形的性质得出面积
;由二次函数的性质即可得出答案;活动经验根据前面的问题即可得出结论.11.(1)解：∵当n=1时