难点解析北师大版9年级数学上册期末测试卷含答案详解（培优）

北师大版9年级数学上册期末测试卷考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题24分）一、单选题（6小题，每小题2分，共计12分）1、已知点都在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．2、如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是矩形的是(

)A．AB+BC=AC B．AB=AD C．OA=OD D．∠ABC+∠ADC=180°3、把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，104、图，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF为菱形，O为AE，DF的交点，S△ABC＝8，则S菱形ADEF＝（）A．4 B．4 C．4 D．45、如图所示，双曲线y＝上有一动点A，连接OA，以O为顶点、OA为直角边，构造等腰直角三角形OAB，则△OAB面积的最小值为（

）A． B． C．2 D．26、已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12+x22的值是（）A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣2二、多选题（6小题，每小题2分，共计12分）1、下列方程不适合用因式方程解法解的是（

）A．x2－3x+2=0 B．2x2=x+4C．(x－1)(x+2)=70 D．x2－11x－10=02、下列四个命题中正确的命题有（

）A．两个矩形一定相似 B．两个菱形都有一个角是40°，那么这两个菱形相似C．两个正方形一定相似 D．有一个角相等的两个等腰梯形相似3、如图，，AD与BC相交于点O，那么在下列比例式中，不正确的是（

）A． B．C． D．4、如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论，其中正确的结论是（）A．AC＝FG B．S△FAB：S四边形CBFG＝1：2 C．∠ABC＝∠ABF D．AD2＝FQ•AC5、如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论中正确的是（）A．AC=AD B．BD⊥AC C．四边形ACED是菱形 D．∠ADC=60°6、（多选）若数使关于的一元二次方程有两个不相等的实数解，且使关于的分式方程的解为非负整数，则满足条件的的值为（

）A．1 B．3 C．5 D．7第Ⅱ卷（非选择题76分）三、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、如图，将矩形的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙重叠的四边形，若，，则边的长是____．2、如图，在一块长为22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽度相等的小路（阴影部分），其余部分种植花草．若花草的种植面积为240m2，则小路的宽为________m．3、如图，正方形ABCO的边长为，OA与x轴正半轴的夹角为15°，点B在第一象限，点D在x轴的负半轴上，且满足∠BDO＝15°，直线y＝kx+b经过B、D两点，则b﹣k＝_____．4、如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为AE为腰的等腰三角形，则点P的坐标为____．5、若正方形的对角线的长为4，则该正方形的面积为_________．6、对任意实数a，b，定义一种运算：，若，则x的值为_________．7、如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，则∠DAE的度数为_________．8、已知、在同一个反比例函数图像上，则________.四、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；(2)若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．2、如图，在平面直角坐标系中，一次函数由函数平移得到，且与函数的图象交于点．（1）求一次函数的表达式；（2）已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交函数的图象于点．当时，直接写出的取值范围．3、如图,在△ABC中,AB=AC，点P在BC上．(1)求作:△PCD,使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC，求证:PD//AB．4、(1)阅读理解如图，点，在反比例函数的图象上，连接，取线段的中点．分别过点，，作轴的垂线，垂足为，，，交反比例函数的图象于点．点，，的横坐标分别为，，．小红通过观察反比例函数的图象，并运用几何知识得出结论：AE+BG=2CF，CF>DF，由此得出一个关于，，之间数量关系的命题：若，则______．(2)证明命题小东认为：可以通过“若，则”的思路证明上述命题．小晴认为：可以通过“若，，且，则”的思路证明上述命题．请你选择一种方法证明(1)中的命题．5、已知关于的一元二次方程有实数根.（1）求的取值范围.（2）若该方程的两个实数根为、，且，求的值.6、某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元．该公司缴税的年均增长率为多少？-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．【详解】反比例函数中，＝－2020＜0，图象位于二、四象限，∵a＜0，∴P（a，m）在第二象限，∴m＞0；∵b＞0，∴Q（b，n）在第四象限，∴n＜0．∴n＜0＜m，即m＞n，故选：C．【考点】本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质：k＜0时，图象位于二四象限是解题关键．2、B【解析】【分析】由勾股定理的逆定理证得∠ABC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断A；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断B；根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断C；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断D．【详解】解：A．∵AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∴▱ABCD为矩形，故本选项不符合题意；B．∵AB=AD，∴▱ABCD为菱形，故本选项符合题意；C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴▱ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴▱ABCD为矩形，故本选项不符合题意；故选：B．【考点】本题考查了矩形的判定定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键．3、D【解析】【分析】先把x2+2x＝5（x﹣2）化简，然后根据一元二次方程的一般形式即可得到a、b、c的值．【详解】解：x2+2x＝5（x﹣2），x2+2x＝5x﹣10，x2+2x﹣5x+10＝0，x2﹣3x+10＝0，则a＝1，b＝﹣3，c＝10，故选：D．【考点】此题主要考查了一元二次方程化为一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．4、C【解析】【分析】根据菱形的性质，结合AB=AC，得出DF为△ABC的中位线，DF∥BC，，从而得出AE为△ABC的高，得出，再根据菱形的面积公式，即可得出菱形的面积．【详解】解：∵四边形ADEF为菱形，∴EF∥AB，DE∥AC，AF=EF=DE=AD，AE⊥DF，∴，，，，，∴CF=EF，DE=DB，，，∴DF∥BC，，，，，，，即，，故C正确．故选：C．【考点】本题主要考查了菱形的性质，中位线的性质，等腰三角形的性质和判断，平行线的性质，菱形的面积，三角形面积的计算，根据菱形的性质和等腰三角形的性质得出DF为△ABC的中位线，是解题的关键．5、C【解析】【分析】根据等腰直角三角形性质得出S△OAB＝OA•OB＝OA2，先求得OA取最小值时A的坐标，即可求得OA的长，从而求得△OAB面积的最小值．【详解】解：∵△AOB是等腰直角三角形，∴OA＝OB，∴S△OAB＝OA•OB＝OA2，∴OA取最小值时，△OAB面积的值最小，∵当直线OA为y＝x时，OA最小，解得或，∴此时A的坐标为（，），∴OA＝2，∴，∴△OAB面积的最小值为2，故选：C．【考点】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，求得OA取最小值时A的坐标是解题的关键．6、B【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2＝3，x1x2＝1，再把代数式x12+x22化为，再整体代入求值即可.【详解】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝1，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×1＝7．故选：B．【考点】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，熟练的利用根与系数的关系求解代数式的值是解本题的关键.二、多选题1、ABD【解析】【分析】根据因式分解法解一元二次方程的方法求解即可．【详解】解：A、x2－3x+2=0，适用公式法，不适合用因式分解法来解题，符合题意；B、2x2=x+4，适用公式法，不适合用因式分解法来解题，符合题意；C、(x－1)(x+2)=70，即，可得，故适合用因式分解法来解题，不符合题意；D、x2－11x－10=0，适用公式法，不适合用因式分解法来解题，符合题意；故选：ABD．【考点】此题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．2、BC【解析】【分析】根据两个图形相似的性质及判定方法，对应边的比相等，对应角相等，两个条件同时满足来判断正误．【详解】解：A两个矩形对应角都是直角相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故本小题错误；B两个菱形有一个角相等，则其它对应角也相等，对应边成比例，所以一定相似，故本小题正确；C两个正方形一定相似，正确；D有一个角相等的两个等腰梯形，对应角一定相等，但对应边的比不一定相等，故本小题错误．故选：BC．【考点】本题考查的是相似多边形的判定及菱形，矩形，正方形，等腰梯形的性质及其定义．3、ABD【解析】【分析】先判断三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例，则可判断A、B、C的正确性，根据基本事实，一组平行线被两条直线所截的对应线段成比例，判断D的正确性．【详解】解：∵，∴∠A=∠D，∠B=∠C，∴，∴故A不正确；故B不正确；故C正确；∵,∴即故D不正确；故选：ABD．【考点】本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质以及基本事实的应用，根据性质找到对应的边成比例是解答此题的关键．4、ABCD【解析】【分析】根据正方形的性质及垂直的定义证明△CAD≌△GFA，即可判断A选项；证明四边形CBFG是矩形，由此判断B选项；根据矩形的性质及等腰直角三角形的性质即可判断C选项；证明△CAD∽△EFQ，即可判断D选项．【详解】解：∵四边形ADEF为正方形，∴，∴，∵FG⊥CA，∴，∴，∴，∴△CAD≌△GFA，∴AC=FG，故A选项正确；∵，∴GF∥BC，∵CB＝CA，CA=GF，∴GF=BC，∴四边形CBFG是平行四边形，∵，∴四边形CBFG是矩形，∴S△FAB：S四边形CBFG＝1：2，故B选项正确；∵四边形CBFG是矩形，∴，∵CB＝CA，∠ACB＝90°，∴，∴，故C选项正确；∵四边形ADEF为正方形，∴，AD=EF，∴，∵四边形CBFG是矩形，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴△CAD∽△EFQ，∴，∵AD=EF，∴AD2＝FQ•AC，故D选项正确；故选：ABCD．【考点】此题考查矩形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，熟记各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．5、ABCD【解析】【分析】由旋转和等边三角形性质得到，，，可推导得到是等边三角形，再由等边三角形性质判断A、D是否正确；根据菱形的判定得到四边形是菱形，从而判断C是否正确，结合前两问可推导得到四边形是菱形，从而得到B是否正确【详解】证明：∵将等边绕点C顺时针旋转得到

∴，∴,∴∴是等边三角形∴，∵∴四边形是菱形又∵,且是等边三角形∴∴四边形是菱形∴综上所述：选项A、B、C、D全部正确故选：ABCD【考点】本题考查等边三角形的性质，菱形的判定和性质，根据相关定理内容解题是切入点．6、AC【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式及分式有意义的条件和分式方程的解为非负整数分别求出a的取值范围，即可得答案．【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数解，∴，解得：，∵，∴，解得：，∵关于的分式方程的解为非负整数，∴且，解得：且，∴且a≠3，∵是整数，∴a=1或5，故选：AC．【考点】本题考查一元二次方程根的判别式、解分式方程及分式有意义的条件，正确得出两个不等式的解集是解题关键，注意分式的分母不为0的隐含条件，避免漏解．三、填空题1、【解析】【分析】由折叠的性质和矩形的性质可得∠HEF=90°，EA=EB=3，证明△HNG≌△FME，求出HF，设AH=x，在△AEH，△BEF和△EFH中，利用勾股定理列出方程，求出x，即可得到EH．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，由折叠可知：△EAH≌△EMH，△HNG≌△HDG，△FBE≌△FME，∴EA=EM，AH=MH，HD=HN，EB=EM，FB=FM，∠AEH=∠MEH，∠BEF=∠MEF，∠BME=∠B=90°，∠HNG=∠D=90°，∴EA=EB=AB=3，∵∠AEH+∠MEH+∠BEF+∠MEF=180°，∴2∠MEH+2∠MEF=180°，∴∠HEF=90°，同理可知：∠EHG=∠EFG=∠HGF=90°，∴四边形EHGF是矩形，∴HG∥FE，HG=FE，∴∠GHN=∠EFM，在△HNG和△FME中，，∴△HNG≌△FME（AAS），∴HN=FM，∴HD=FM，∴HF=HM+FM=AH+HD=AD=10，设AH=x，则HD=FM=FB=10-x，∵，，，∴，即，解得：x=1或x=9（舍），∴AH=1，∴，故答案为：．【考点】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键．2、2【解析】【分析】设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，根据花草的种植面积为240m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】解：设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长（22-x）m，宽（14-x）m的矩形的面积，依题意得：（22-x）（14-x）=240，整理得：x2-36x+68=0，解得：x1=2，x2=34（不合题意，舍去）．故答案为：2．【考点】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3、2﹣．【解析】【分析】连接OB，过点B作BE⊥x轴于点E，根据正方形的性质可得出∠AOB的度数及OB的长，结合三角形外角的性质可得出∠BDO＝∠DBO，利用等角对等边可得出OD＝OB，进而可得出点D的坐标，在Rt△BOE中，通过解直角三角形可得出点B的坐标，由点B，D的坐标，利用待定系数法可求出k，b的值，再将其代入（b﹣k）中即可求出结论．【详解】解：连接OB，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．∵正方形ABCO的边长为，∴∠AOB＝45°，OB＝OA＝2．∵OA与x轴正半轴的夹角为15°，∴∠BOE＝45°﹣15°＝30°．又∵∠BDO＝15°，∴∠DBO＝∠BOE﹣∠BDO＝15°，∴∠BDO＝∠DBO，∴OD＝OB＝2，∴点D的坐标为（﹣2，0）．在Rt△BOE中，OB＝2，∠BOE＝30°，∴BE＝OB＝1，OE＝＝，∴点B的坐标为（，1）．将B（，1），D（﹣2，0）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴b﹣k＝4﹣2﹣（2﹣）＝2﹣．故答案为：2﹣．【考点】此题考查的是正方形的性质、等腰三角形的判定、直角三角形的性质和求一次函数的解析式，掌握正方形的性质、等角对等边、30°所对的直角边是斜边的一半、勾股定理和利用待定系数法求一次函数解析式是解决此题的关键．4、，或【解析】【分析】设AE=m，根据勾股定理求出m的值，得到点E（1，），设点P坐标为（0，y），根据勾股定理列出方程，即可得到答案．【详解】∵对角线AC的垂直平分线交AB于点E，∴AE=CE，∵OA=1，OC=2，∴AB=OC=2，BC=OA=1，∴设AE=m，则BE=2-m，CE=m，∴在Rt∆BCE中，BE2+BC2=CE2，即：（2-m）2+12=m2，解得：m=，∴E（1，），设点P坐标为（0，y），∵△AEP是以为AE为腰的等腰三角形，当AP=AE，则(1-0)2+(0-y)2=(1-1)2+(0-)2，解得：y=，当EP=AE，则(1-0)2+(-y)2=(1-1)2+(0-)2，解得：y=，∴点P的坐标为，，，故答案是：，，．【考点】本题主要考查等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的性质，垂直平分线的性质，掌握勾股定理，列出方程，是解题的关键．5、8【解析】【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【详解】解：∵正方形的一条对角线的长为4，∴这个正方形的面积=×4²=8．故答案为：8．【考点】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的面积的两种求法是解题的关键．6、2或-3##-3或2【解析】【分析】根据题意得到关于x的一元二次方程，解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴，解得或，故答案为：2或-3．【考点】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．7、22.5°【解析】【分析】由四边形ABCD是一个正方形，根据正方形的性质，可得∠ACB=45°，又由AC=EC，根据等边对等角，可得∠E=∠CAE，继而根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求得∠EAC的度数，进一步即可求得∠DAE的度数．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∴，又∵，∴，则．故答案为：22.5°【考点】此题考查了正方形的性质以及等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．8、【解析】【分析】首先设反比例函数解析式为，然后将两点坐标分别代入，即可得出和的表达式，进而得解.【详解】解：设反比例函数解析式为，将、分别代入，得，∴故答案为.【考点】此题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握，即可解题.四、解答题1、(1)见解析(2)120【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，利用全等三角形的判定和性质得出，，依据菱形的判定定理（一组邻边相等的平行四边形的菱形）即可证明；（2）连接AC，交BD于点H，利用菱形的性质及勾股定理可得，再根据菱形的面积公式求解即可得．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴平行四边形ABCD是菱形；(2)解：如图所示：连接AC，交BD于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴，∵，，∴，在中，，∴，∴平行四边形ABCD的面积为：．【考点】题目主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质及其面积公式，勾股定理等，理解题意，熟练掌握各个性质定理是解题关键．2、（1）一次函数的表达式为：；（2）．【解析】【分析】（1）由点在函数图像上，可求，可得点，由一次函数由函数平移得到，可得，由一次函数过点A，可得即可；（2）当时，点位于点的下方．即反比例函数的图像在一次函数图像的上方，符合条件的点在点A的左侧，y轴右侧，即即可【详解】解：（1）∵点在函数图像上，∴，∴点，又∵一次函数由函数平移得到，∴，∵一次函数过点A，∴，∴一次函数的表达式为：；（2）当时，点位于点的下方．即反比例函数的图像在一次函数图像的上方，符合条件的点在点A的左侧，即【考点】本题考查平行线的性质，一次函数解析式，反比例函数的性质，利用函数图像求的条件是解题关键．3、（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质可得∠CPD=∠BAP，故作∠CPD=∠BAP，∠CPD与AC的交点为D即可；（2）利用外角的性质以及（1）中∠CPD=∠BAP可得∠CPD=∠ABC，再根据平行线的判定即可.【