难点解析吉林省图们市中考数学真题分类（勾股定理）汇编章节测评练习题（含答案解析）

吉林省图们市中考数学真题分类（勾股定理）汇编章节测评考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题14分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）……如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（

）A．1 B．2020 C．2021 D．20222、如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（

）A． B． C． D．3、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为A．9 B．6 C．4 D．34、下列各组数：①3、4、5

②4、5、6

③2.5、6、6.5

④8、15、17，其中是勾股数的有(

)A．4组 B．3组 C．2组 D．1组5、如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（）A．13米 B．12米 C．5米 D．米6、如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（

）A．12 B．8 C．10 D．137、在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（

）A．10 B．8 C．6或10 D．8或10第Ⅱ卷（非选择题86分）二、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、如图，CD是△ABC的中线，将△ACD沿CD折叠至，连接交CD于点E，交CB于点F，点F是的中点．若的面积为12，，则点F到AC的距离为______．2、如图所示，数轴上点A所表示的数为_______．3、如图，分别以此直角三角形的三边为直径在三角形的外部画半圆，，，则_________．4、无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm．5、如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为__________cm（容器壁厚度忽略不计）．6、已知一直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm,则此直角三角形斜边上的高为____．7、如图，在四边形中，，分别以四边向外做正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，则丁的面积为______．8、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为_____尺．三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，且．(1)求证：．(2)若，，，求BE的长．2、阅读理解：课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；……学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，_________，_________；(2)若第一个数用字母（为奇数，且）表示，则后两个数用含的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，，，……于是他很快表示出了第二个数为，则用含的代数式表示第三个数为_________．(3)用所学知识说明（2）中用表示的三个数是勾股数．3、已知：在中，点在直线上，点在同一条直线上，且，【问题初探】（1）如图1，若平分，求证：．请依据以下的简易思维框图，写出完整的证明过程．【变式再探】（2）如图2，若平分的外角，交的延长线于点，问：和的数量关系发生改变了吗？若改变，请写出正确的结论，并证明；若不改变，请说明理由．【拓展运用】（3）如图3，在的条件下．若，求的长度．4、如图，烟台市正政府决定在相距50km的A、B两村之间的公路旁E点，修建一个大樱桃批发市场，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么大樱桃批发市场E应建什么位置才能符合要求？5、有一只喜鹊在一棵高3米的小树的树梢上觅食，它的巢筑在距离该树24米，高为14米的一棵大树上，且巢离大树顶部为1米，这时，它听到巢中幼鸟求助的叫声，立刻赶过去，如果它的飞行速度为每秒5米，那么它至少几秒能赶回巢中？6、我市《道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过60km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测点A正前方30m的C处，2秒后又行驶到与车速检测点A相距50m的B处．请问这辆小汽车超速了吗？若超速，请求出超速了多少？7、2020年春季“新冠肺炎”在武汉全面爆发，蔓延全国，危及到人民生命安全，为了积极响应国家防控政策，双流区某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传防控措施，如图，笔直公路的一侧点处有一村庄，村庄到公路的距离为600米，假设宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上沿方向行驶时：（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和．【详解】解：如图，由题意得：SA=1，由勾股定理得：SB＋SC=1，则“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022，故选：D【考点】本题考查了勾股数规律问题，找到规律是解题的关键．2、C【解析】【分析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断C．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，所以A正确，不符合题意；PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，所以B正确，不符合题意；∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，∴△BPQ是等边三角形，∴∠BPQ=60°，∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以D正确，不符合题意；∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，∵PC=5，QC=PA=3,∴PC≠2QC，∵∠PQC=90°，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以C不正确，符合题意．故选：C．【考点】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识．3、D【解析】【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，每一个直角三角形的面积为：，，，或（舍去），故选：D．【考点】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．4、C【解析】【详解】解：∵32+42=52，①符合勾股数的定义；∵42+52≠62，②不符合勾股数的定义；∵2.5和6.5不是正整数，③不符合勾股数的定义；∵82+152=172，④符合勾股数的定义，是勾股数的有：①④，共2组，故选：C．5、A【解析】【分析】根据题意，画出图形，构造直角三角形，用勾股定理求解即可.【详解】如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E,∵AB=13，CD=8，又∵BE=CD，DE=BC，∴AE=AB−BE=AB−CD=13−8=5,∴在Rt△ADE中，DE=BC=12,∴∴AD=13（负值舍去）,故小鸟飞行的最短路程为13m,故选A.【考点】考查勾股定理，画出示意图，数形结合是解题的关键.6、D【解析】【分析】设BE为x，则AE为25-x，在由勾股定理有，即可求得BE=13．【详解】设BE为x，则DE为x，AE为25-x∵四边形为长方形∴∠EAB=90°∴在中由勾股定理有即化简得解得故选：D．【考点】本题考查了折叠问题求折痕或其他边长，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解．7、C【解析】【详解】分两种情况：在图①中，由勾股定理，得;;∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.在图②中，由勾股定理，得;;∴BC＝BD―CD＝8―2＝6.故选C.二、填空题1、【解析】【分析】过点F作FH⊥AC于点H，由翻折的性质可知S△AA'D=24，由D为AB的中点，则S△AA'B=2S△AA'D=48，得AA'=12，再通过AAS证明△A'BF≌△ECF，得CE=A'B=8，在Rt△CAE中，由勾股定理求出AC的长，最后通过面积法即可求出FH的长．【详解】解：如图，过点F作FH⊥AC于点H，根据翻折的性质得：AD=A'D，AA'⊥CD，AE=A'E，∵CD是△ABC的中线，∴CD=BD，∴AD=BD=A'D，∴∠AA'B=90°，又∵S△A'DE=12，∴S△ADE=12，∴S△ADA'=24，又∵D为AB的中点，∴S△AA'B=2S△AA'D=48，即×AA′×A′B＝48，∴AA'=12，又∵F为A'E的中点，∴A'F=EF，在△A'BF与△ECF中，，∴△A'BF≌△ECF（AAS），∴CE=A'B=8，∵AA'=2A'E，A'E=2EF=6，∴EF=3，AF=9，在Rt△CAE中，由勾股定理得：CA==10，在△CAF中，CA•HF=AF•CE，∴HF==，即点F到AC的距离为，故答案为：．【考点】本题主要考查了翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用等积法求垂线段的长是解题的关键．2、【解析】【分析】根据数轴上点的特点和相关线段的长，结合勾股定理求出斜边长，即可求出-1和A之间的线段的长，即可知A所表示的数．【详解】图中直角三角形的两直角边为1，2，所以斜边长为，那么-1和A之间的距离为，那么数轴上点A所表示的数为：．故答案为：．【考点】本题考查实数与数轴之间的对应关系以及勾股定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜边的长是解答本题的关键．3、【解析】【分析】根据题意设直角三角形的三边为，分别表示出，得出，进而即可求解．【详解】解：设直角三角形的三边为，如图，，，，，S1＝18π，S3＝50π，故答案为：．【考点】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．4、5【解析】【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．【详解】解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：＝15，则木筷露在杯子外面的部分至少有：20−15＝5（cm）．故答案为5．【考点】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．5、34【解析】【分析】首先展开圆柱的侧面，即是矩形，接下来根据两点之间线段最短，可知CF的长即为所求；然后结合已知条件求出DF与CD的长，再利用勾股定理进行计算即可.【详解】如图为圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段CF是蜘蛛由C到F的最短路程.根据题意，可知DF=18-1-1=16（cm），CD（cm），∴（cm），即蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm.故答案为34.【考点】此题是有关最短路径的问题，关键在于把立体图形展开成平面图形，找出最短路径；6、4.8cm.【解析】【分析】根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．【详解】∵直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，∴斜边为=10(cm)，设斜边上的高为h，则直角三角形的面积为×6×8=×10h，解得：h=4.8cm，这个直角三角形斜边上的高为4.8cm.故答案为4.8cm.【考点】此题考查勾股定理，解题关键在于列出方程.7、29【解析】【分析】如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得，再利用勾股定理可得的值，由此即可得出答案．【详解】如图，连接AC，由题意得：，在中，，，在中，，，则正方形丁的面积为，故答案为：29．【考点】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．8、13【解析】【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【详解】解：设水深为尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理得：，解得：，芦苇的长度（尺，答：芦苇长13尺．故答案为：13．【考点】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．三、解答题1、(1)见解析(2)6【解析】【分析】（1）根据已知条件利用证明即可；（2）根据勾股定理求解即可．(1)证明：∵．∴，∵，∴，又∵，∴(2)解：∵，，且，∴由勾股定理得，∴，∴【考点】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．2、(1)60，61(2)(3)见解析【解析】【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；（3）依据勾股定理的逆定理进行证明即可．(1)解：∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴11，60，61；故答案为：60，61；(2)解：第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为；则用含a的代数式表示第三个数为；故答案为：；(3)解：∵，，∴，又∵a为奇数，且a≥3，∴由a，，三个数组成的数是勾股数．【考点】本题考查的是勾股数之间的关系，属规律型问题，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、证明即可．3、（1）见解析

（2）；理由见解析

（3）【解析】【分析】（1）根据ASA证明得BE=BC，得，进一步可得结论；（2）根据ASA证明得BE=BC，得；（3）连结，分别求出∠AEB=∠ADE=∠ACB=22．5°,再证明AE=CD，∠ADC=90°，由勾股定理可得AC，由EC=EA+AC可得结论．【详解】解：（1）证明平分，在和中，，；．理由：平分，在和中，，．连结，，，，且，由得，，，．【考点】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，连接AD是解答此题的关键．4、大樱桃批发市场E应建在离A站20千米的地方【解析】【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方分别求出和，列等式求解即可．【详解】解：设大樱桃批发市场E应建在离A站x千米的地方，则千米．在直角中，根据勾股定理得：，∴，在