新教材学案第2章2

PAGE第2课时不等式的证明学习任务核心素养1.掌握综合法、分析法证明问题的过程和推理特点,能灵活选用综合法、分析法证明简单问题.(重点、难点)2．了解反证法的定义,掌握反证法的推理特点,掌握反证法证明问题的一般步骤,能用反证法证明一些简单的命题．(难点、易错点)2.了解反证法的定义，掌握反证法的推理特点，掌握反证法证明问题的一般步骤，能用反证法证明一些简单的命题.(难点、易错点)2．了解反证法的定义，掌握反证法的推理特点，掌握反证法证明问题的一般步骤，能用反证法证明一些简单的命题．(难点、易错点)1.通过综合法、分析法的证明,提升逻辑推理能力.2．通过反证法的学习,提升数学抽象、逻辑推理能力.2.通过反证法的学习，提升数学抽象、逻辑推理能力.2．通过反证法的学习，提升数学抽象、逻辑推理能力.知识点一综合法从已知条件出发,综合利用各种结果,经过逐步推导最后得到结论的方法,在数学中通常称为综合法.综合法最重要的推理形式为p⇒q,其中p是已知或者已得出的结论,所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论.知识点二分析法从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、公理、定理等)为止.分析法最重要的推理形式为p⇐q,其中p是需要证明的结论,所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件.知识点三反证法首先假设结论的否定成立,然后由此进行推理得到矛盾,最后得出假设不成立.这种得到数学结论的方法通常称为反证法.
1．思考辨析(正确的打"√",错误的打"×")(1)综合法是从结论向已知的逆推证法. ()(2)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程.分析法的推理过程实际上是寻求使结论成立的充分条件的过程. ()(3)用反证法证明结论"a＞b"时,应假设"a≤b". ()(4)用反证法证明时,推出的矛盾不能与假设矛盾． ()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×
2.将下面用分析法证明

≥ab的步骤补充完整:要证

≥ab,只需证a2＋b2≥2ab,也就是证________,即证________,由于________显然成立,因此原不等式成立.a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥0[用分析法证明

≥ab的步骤为：要证

≥ab成立,只需证a2＋b2≥2ab,也就是证a2＋b2－2ab≥0,即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立,所以原不等式成立．]类型1综合法的应用综合法证明不等式的基本思路是什么?[提示]从已知条件出发,综合利用各种结果,经逐步推导,最后得出结论．【例1】若a＞b＞0,c＜d＜0,e＜0,求证:

＞

.[思路点拨]可结合不等式的基本性质,分析所证不等式的结构,有理有据地导出证明结果.[证明]∵c＜d＜0,∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0,∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.两边同乘以

,得

＜

.又e＜0,∴

＞

.本例条件不变的情况下,求证:

＞

.[证明]∵c＜d＜0,∴－c＞－d＞0.∵a＞b＞0,∴a－c＞b－d＞0,∴0＜eq\f(1,a－c)＜eq\f(1,b－d).又∵e＜0,∴

＞

.综合法证明不等式综合法证明不等式就是从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证.而得出命题成立,它是顺推的证法或由因导果.eq\o([跟进训练])1.若bc－ad≥0,bd＞0,求证:

≤

.[证明]∵bc－ad≥0,∴ad≤bc,∵bd＞0,∴

≤

,∴

＋1≤

＋1,∴eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).类型2分析法的应用【例2】已知a＞0,证明:

－

≥a＋

－2.[证明]要证

－

≥a＋

－2,只需证

≥

－(2－

).因为a＞0,所以

－(2－

)＝

＋

＞0,所以只需证

≥

2,即2(2－

)

≥8－4

,只需证a＋eq\f(1,a)≥2.因为a＞0,所以a＋

－2＝

＝

≥0,所以a＋

≥2显然成立(当a＝1时等号成立),所以要证的不等式成立.分析法证明不等式分析法证明命题时,就是从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实,这是一种执果索因的思考和证明方法.eq\o([跟进训练])2.若a,b∈(1,＋∞),证明:

＜

.[证明]要证

＜

,只需证(

)2＜(

)2,只需证a＋b－1－ab＜0,即证(a－1)(1－b)＜0.因为a＞1,b＞1,所以a－1＞0,1－b＜0,即(a－1)(1－b)＜0成立,所以原不等式成立.类型3反证法的应用【例3】已知x∈R,a＝x2＋

,b＝2－x,c＝x2－x＋1,试证明a,b,c至少有一个不小于1.[证明]假设a,b,c均小于1,即a＜1,b＜1,c＜1,则有a＋b＋c＜3,而a＋b＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2)))＋(2－x)＋(x2－x＋1)＝2x2－2x＋eq\f(7,2)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋3≥3.这与a＋b＋c＜3矛盾,假设不成立,故a,b,c至少有一个不小于1．反证法证明问题的一般步骤eq\o([跟进训练])3.若x＞0,y＞0,且x＋y＞2,求证:

与

至少有一个小于2.[证明]假设

与

都不小于2,即

≥2,

≥2.∵x＞0,y＞0,∴1＋y≥2x,1＋x≥2y,两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y).∴x＋y≤2,这与已知中x＋y＞2矛盾.∴假设不成立,原命题成立．故eq\f(1＋y,x)与eq\f(1＋x,y)至少有一个小于2.1.用反证法证明某命题时,对结论"自然数a,b,c中恰有一个偶数"正确的反设是()A.自然数a,b,c中至少有两个偶数B.自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数C.自然数a,b,c都是奇数D.自然数a,b,c都是偶数B[反证法证明命题时,反设是设结论的反面成立,即否定结论,故B正确．]2.求证:

－1＞

－

.证明:要证

－1＞

－

,只需证

＋

＞

＋1,即证7＋2

＋5＞11＋2

＋1,即证

＞

,∵35＞11,∴原不等式成立．以上证明应用了()A.分析法B.综合法C.分析法与综合法配合使用D.反证法A[证明过程用的是分析法.]3．(多选题)应用反证法推出矛盾的推导过程中,可以把下列哪些作为条件使用()A.结论的反设 B.已知条件C.定义、公理、定理等 D.原结论ABC[反证法推矛盾的过程中,可以把结论的反设,已知条件,定义、定理、公理等作为已知条件使用,故选ABC.]4.(多选题)下列命题中,不正确的是()A.若a＜b＜0,则

＞

B.若ac＞bc,则a＞bC.若

＜

,则a＜bD．若a＞b,c＞d,则a－c＞b－dABD[由不等式的性质可知选项ABD不正确.]5．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖