第一章　培优点1　集合中的创新问题

数学

大一轮复习培优点1集合中的创新问题汇报人：第一章数学思维的创新是思维品质的最高层次，以集合为背景的创新问题是新高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依托，考查学生理解问题、解决创新问题的能力.

重点解读

√题型一√√集合中的新概念

对于D选项，在A选项的基础上进行证明：任意数域P，都有有理数集Q⊆P.因为0，1是任意数域中的元素，而且任意整数都可以看成有限个0或1的和或差，故所有整数都属于数域P，又任意有理数均能表示成两个整数的商，故所有有理数都属于数域P，即Q⊆P，所以Q⊆M，Q⊆N，即Q⊆M∩N，故D正确.新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，可以利用原有集合的相关知识解题.思维升华跟踪训练1

设全集U={2，3，5，6，9}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依此类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第23位的子集是

.

{3，5，9}不含任何元素的子集有1个，含有1个元素的子集有5个，含有2个元素的子集有10个，含有3个元素的子集有10个，因为1+5+10=16<23，且1+5+10+10=26>23，故排在第23位的子集含有3个元素，第26位的子集为{5，6，9}，第25位的子集为{3，6，9}，第24位的子集为{2，6，9}，第23位的子集为{3，5，9}.例2

(多选)(2024·泰州模拟)对任意A，B⊆R，记A⊕B={x|x∈A∪B，x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差.例如：若A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A⊕B={1，4}.下列命题中，为真命题的是A.若A，B⊆R且A⊕B=B，则A=∅B.若A，B⊆R且A⊕B=∅，则A=BC.若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆BD.存在A，B⊆R，使得A⊕B≠∁RA⊕∁RB题型二√√集合中的新运算对于A，因为A⊕B=B，所以B={x|x∈A∪B，x∉A∩B}，所以A⊆B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A=∅，即A正确；对于B，因为A⊕B=∅，所以∅={x|x∈A∪B，x∉A∩B}，即A∪B与A∩B是相同的，所以A=B，即B正确；对于C，因为A⊕B⊆A，所以{x|x∈A∪B，x∉A∩B}⊆A，所以B⊆A，当A≠B时，A⊆B不成立，即C错误；对于D，由于(∁RA)⊕(∁RB)={x|x∈(∁RA)∪(∁RB)，x∉(∁RA)∩(∁RB)}={x|x∈∁R(A∩B)，x∉∁R(A∪B)}={x|x∈A∪B，x∉A∩B}，而A⊕B={x|x∈A∪B，x∉A∩B}，故A⊕B=(∁RA)⊕(∁RB)，即D错误.新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则.按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等进行解答.思维升华

√

例3

(2024·江门模拟)将2024表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和，得到方程x1+x2+x3+x4+x5=2024①，称五元有序数组(x1，x2，x3，x4，x5)为方程①的解，对于上述的五元有序数组(x1，x2，x3，x4，x5)，当1≤i，j≤5时，若max(xi-xj)=t(t∈N)，则称(x1，x2，x3，x4，x5)是t-密集的一组解.(1)方程①是否存在一组解(x1，x2，x3，x4，x5)，使得xi+1-xi(i=1，2，3，4)等于同一常数？若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；题型三集合中的新性质

(2)方程①的解中共有多少组是1-密集的？

新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合的有关知识点.思维升华跟踪训练3

(2025·山东名校联盟联考)已知集合S={0，1，2，…，5n}(n∈N*)，集合T⊆S，记T的元素个数为|T|.若集合T中存在三个元素a，b，c(a<b<c)，使得c+2a>3b，则称T为“理想集”.(1)若n=1，分别判断集合T1={0，2，3，5}，T2={0，1，2，5}是否为“理想集”，并说明理由；T1不是“理想集”，T2是“理想集”，理由如下：由题意，令a=0，b=2，c=3，则3+2×0<3×2；令a=0，b=2，c=5，则5+2×0<3×2；令a=0，b=3，c=5，则5+2×0<3×3；令a=2，b=3，c=5，则5+2×2=3×3，所以T1不是“理想集”.令a=1，b=2，c=5，则5+2×1>3×2，所以T2是“理想集”.(2)若n=1，写出所有的“理想集”T的个数并列举；共16个“理想集”.若n=1，有S={0，1，2，3，4，5}.当|T|=3时，若a=0，则b≥1，由c+2a>3b可知c>3b≥3，故(b，c)=(1，4)或(1，5)；若a=1，则b≥2，由c+2a>3b可知c+2>3b≥6，则4<c≤5，故(b，c)=(2，5).故含有三个元素的“理想集”T={0，1，4}，{0，1，5}，{1，2，5}，共3个.当|T|=4时，T={0，1，2，4}，{0，1，3，4}，{0，1，2，5}，{0，1，3，5}，{0，1，4，5}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，共7个.当|T|=5时，T={0，1，2，3，4}，{0，1，2，3，5}，{0，1，2，4，5}，{0，1，3，4，5}，{1，2，3，4，5}，共5个.当|T|=6时，T={0，1，2，3，4，5}，共1个.综上所述，所有“理想集”T的个数为16，分别为{0，1，4}，{0，1，5}，{1，2，5}，{0，1，2，4}，{0，1，3，4}，{0，1，2，5}，{0，1，3，5}，{0，1，4，5}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{0，1，2，3，4}，{0，1，2，3，5}，{0，1，2，4，5}，{0，1，3，4，5}，{1，2，3，4，5}，{0，1，2，3，4，5}.(3)若|T|=4n+2，证明：集合T必为“理想集”.

课时精练01单击此处添加章节副标题答案12345题号1234答案BCABC(1)100110

(2)4对一对答案12345

5.答案12345(2)先证明必要性：当集合A是集合Sn的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的a，b，c∈Sn，使得a+b，b+c，c+a∈A，不妨设a<b<c，令x=a+b，y=c+a，z=b+c，则x<y<z，即性质P中的①成立；又x+y-z=(a+b)+(c+a)-(b+c)=2a>0，所以x+y>z，即性质P中的②成立；因为x+y+z=(a+b)+(c+a)+(b+c)=2(a+b+c)，所以x+y+z为偶数，即性质P中的③成立，所以集合A具有性质P.5.答案12345

5.一、单项选择题1.(2025·深圳模拟)定义两集合M，N的差集：M-N={x|x∈M且x∉N}，已知集合A={2，3，5}，B={3，5，8}，则A-(A-B)的子集个数是A.2B.4

C.8

D.16√12345答案12345答案因为A={2，3，5}，B={3，5，8}，所以A-B={2}，所以A-(A-B)={3，5}，有两个元素，则A-(A-B)的子集个数是22=4.2.(2024·怀化模拟)给定整数n≥3，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集T={|a-b||a，b∈S，a≠b}，如果min(T)=1，则称集合S为规范数集(注：min(X)表示数集X中的最小数).对于集合M={-0.1，-1.1，2，2.5}，N={-1.5，-0.5，0.5，1.5}，则A.M是规范数集，N不是规范数集B.M是规范数集，N是规范数集C.M不是规范数集，N是规范数集D.M不是规范数集，N不是规范数集12345√答案12345答案集合M={-0.1，-1.1，2，2.5}中，2∈M，2.5∈M，则|2-2.5|=0.5<1，即M的相伴数集中的最小数不是1，因此M不是规范数集；集合N={-1.5，-0.5，0.5，1.5}，|-1.5-(-0.5)|=1，|-0.5-0.5|=1，|0.5-1.5|=1，|-1.5-0.5|=|-0.5-1.5|=2，|-1.5-1.5|=3，即N的相伴数集中的最小数是1，因此N是规范数集.一、多项选择题3.设U是一个非空集合，F是U的子集构成的集合，如果F同时满足：①∅∈F，②若A，B∈F，则A∩(∁UB)∈F且A∪B∈F，那么称F是U的一个环.则下列说法正确的是A.若U={1，2，3，4，5，6}，则F={∅，{1，3，5}，{2，4，6}，U}是U

的一个环B.若U={a，b，c}，则存在U的一个环F，F含有8个元素C.若U=Z，则存在U的一个环F，F含有4个元素且{2}，{3，5}∈FD.若U=R，则存在U的一个环F，F含有7个元素且[0，3]，[3，5]∈F√12345答案√√12345答案由题意知，①∅∈F，②若A，B∈F，则A∩(∁UB)∈F且A∪B∈F.对于A，全集U={1，2，3，4，5，6}且F={∅，{1，3，5}，{2，4，6}，U}，满足∅∈F且当A，B∈F时，可得A∩(∁UB)∈F且A∪B∈F，所以A正确；对于B，由{U的所有子集}={∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}共含8个元素，若F是U的所有子集构成的集合，则集合F是U的一个环且有8个元素，所以B正确；12345答案对于C，若{2}∈F，{3，5}∈F，可得{2}∪{3，5}={2，3，5}∈F，所以F={∅，{2}，{3，5}，{2，3，5}}是U的一个环，其中F中含有4个元素，所以C正确；对于D，若[0，3]∈F，[3，5]∈F，可得[0，3]∩(∁R[3，5])=[0，3)∈F，[3，5]∩(∁R[0，3])=(3，5]∈F，[3，5]∪[0，3]=[0，5]∈F，[0，3]∩(∁R[0，3))={3}∈F，[0，5]∩(∁R{3})=[0，3)∪(3，5]∈F，且∅∈F，所以集合F中至少有8个元素，所以D错误.三、填空题4.设全集U={1，2，3，4，5，6}，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如{1，3}表示的是从左往右第1个字符为1，第3个字符为1，其余均为0的6位字符串101000，并规定空集表示的字符串为000000.(1)若N={2，3，6}，则∁UN表示的6位字符串为

；

12345答案100110因为U={1，2，3，4，5，6}，N={2，3，6}，所以∁UN={1，4，5}，所以∁UN表示的6位字符串为100110.(2)若B={5，6}，集合A∪B表示的字符串为011011，则满足条件的集合A的个数为

.

12345答案4因为集合A∪B表示的字符串为011011，所以A∪B={2，3，5，6}，又B={5，6}，所以集合A可能为{2，3}，{2，3，5}，{2，3，6}，{2，3，5，6}，即满足条件的集合A的个数为4.四、解答题5.已知集合Sn={1，2，3，…，2n}(n∈N*，n≥4)，对于集合Sn的非空子集A，若Sn中存在三个互不相同的元素a，b，c，使得a+b，b+c，c+a均属于A，则称集合A是集合Sn的“期待子集”.(1)判断集合A1={3，4，5}，A2={3，5，