第三章　进阶篇　不等式证明方法　进阶4　极值点偏移(一)

数学

大一轮复习进阶篇不等式证明方法汇报人：WPS第三章极值点偏移(一)01单击此处添加章节副标题1.极值点偏移的定义极值点偏移是函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数的图象不具有对称性.例如我们学过的二次函数为标准的对称结构，有对称轴，但是有些函数没有对称轴，即关于类对称轴对称的两点横坐标之和不等于对称点横坐标的两倍，我们把这种现象叫做极值点偏移.2.从图形角度理解极值点偏移(x0为极值点，且x1<x2)(1)左右对称，无偏移，如二次函数；若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2x0.(2)左陡右缓，极值点向左偏移；若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2>2x0.(3)左缓右陡，极值点向右偏移；若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2<2x0.例1

(2024·南充模拟)已知函数f(x)＝x－lnx－a有两个不同的零点x1，x2.(1)求实数a的取值范围；题型一对称化构造法(和型)

(2)求证：x1＋x2>2.不妨设x1<x2，由(1)可知，0<x1<1<x2，则2－x1>1，要证x1＋x2>2，只需证2－x1<x2，又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，f(x1)＝f(x2)＝0，所以只需证f(2－x1)<f(x2)，即证f(2－x1)<f(x1).记g(x)＝f(2－x)－f(x)＝2－2x－ln(2－x)＋lnx，x∈(0，1)，

证明x1＋x2>2x0的步骤(1)求极值点x0：求出函数f(x)的极值点x0，结合函数f(x)的图象，由f(x1)＝f(x2)得出x1，x2的取值范围.(2)构造函数：对结论为x1＋x2>2x0的情况，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x).①F'(x)＝f'(x)＋f'(2x0－x)>0，则F(x)单调递增；②注意到F(x0)＝0，则F(x1)＝f(x1)－f(2x0－x1)<0即f(x1)<f(2x0－x1)；③f(x2)＝f(x1)<f(2x0－x1)，根据f(x)在(x0，＋∞)上单调递减，则x2>2x0－x1；④得到结论x2＋x1>2x0.思维升华跟踪训练1已知f(x)＝lnx－2x，若f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>1.

题型二对称化构造法(积型)

(2)若方程f(x)＝1有两个不同的根x1，x2，求实数a的取值范围，并证明：x1x2>1.

思维升华跟踪训练2

(2025·江苏联考)已知函数f(x)＝xlnx＋t在点(1，f(1))处的切线经过原点.(1)求t的值；因为f'(x)＝lnx＋1，所以f'(1)＝1，因为f(1)＝t，所以切线方程为y－t＝x－1，即y＝x＋t－1.因为切线经过原点，所以0＝0＋t－1，所以t＝1.

课时精练02单击此处添加章节副标题答案12

1.答案12

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2.答案12

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2.答案12当0<t<1时，M(t)<M(1)=0，当t>1时，M(t)>M(1)=0，故引理得证.因为函数f(x)有两个极值点，由(1)可知0<a<1，设g(x)=f'(x)=1+lnx-ax，则x1，x2(x1<x2)是g(x)的两个变号零点，2.答案12

2.答案12

2.答案12

2.1.已知f(x)＝lnx－ax，其中a>0.(1)若f(x)有两个零点，求a的取值范围；12答案12答案

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12答案

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