第二章 §2.5　函数性质的综合应用

第二章数学

大一轮复习202X/01/01§2.5函数性质的综合应用函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查.重点解读例1

(2025·大连模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x1，x2∈[0，＋∞)，当x1>x2时，f(x1)－f(x2)>4(x1＋x2)(x1－x2)恒成立，f(2)＝16，则满足f(m)≤4m2的实数m的取值范围为

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题型一[－2，2]函数的奇偶性与单调性

且g(2)＝f(2)－4×22＝16－16＝0，由f(m)≤4m2，可得f(m)－4m2≤0，即g(m)≤g(2)，即|m|≤2，解得－2≤m≤2，所以实数m的取值范围为[－2，2].(1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组).(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小.思维升华跟踪训练1已知函数f(x＋1)是R上的偶函数，且f(x)在(－∞，1]上单调递减，a＝f(－1)，b＝f(e2)，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系为A.a>b>c

B.b>c>aC.a>c>b

D.b>a>c√因为函数f(x＋1)是R上的偶函数，所以函数f(x＋1)的图象关于y轴对称，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，因为函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，因为a＝f(－1)＝f(3)，b＝f(e2)，c＝f(2)，e2>3>2，所以f(e2)>f(3)>f(2)，即b>a>c.例2

(多选)(2024·苏州模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2，则A.f(2024)＝－1B.f(x)的值域为[－1，2]C.f(x)在[4，6]上单调递减D.f(x)在[－6，6]内有8个零点题型二√√函数的奇偶性与周期性函数f(x)满足f(x－2)＝f(x＋2)，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是一个周期为4的周期函数，对于A，f(2024)＝f(506×4)＝f(0)＝－1，所以A正确；对于B，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增，所以当x∈[0，2]时，f(x)的值域为[－1，2]，由于函数是偶函数，所以f(x)在[－2，0]上的值域也为[－1，2]，又f(x)是一个周期为4的周期函数，所以f(x)的值域为[－1，2]，所以B正确；对于C，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－2单调递增，又f(x)的一个周期是4，所以f(x)在[4，6]上单调递增，所以C错误；对于D，令f(x)＝2x－2＝0，得x＝1，所以f(1)＝f(－1)＝0，由于f(x)的一个周期为4，所以f(5)＝f(－5)＝0，f(3)＝f(－3)＝0，所以f(x)在[－6，6]内有6个零点，所以D错误.周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解.思维升华

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例3

(多选)(2024·海口模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且满足以下三个条件：①f(－x)＋f(x)＝0；②f(x)＝f(2－x)；③f(1)＝2，则下列说法正确的有A.f(x)的图象关于直线x＝－1对称B.f(x)的图象关于点(2，0)对称C.f(x＋4)＝f(x)D.f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(17)＝10√题型三√√函数的奇偶性与对称性∵f(－x)＋f(x)＝0，f(x)的定义域为R，∴f(x)为奇函数，又∵f(x)＝f(2－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1.A选项，∵f(x)＝f(2－x)，∴－f(x)＝－f(2－x)，∴f(－x)＝f(x－2)，∴f(x)的图象关于直线x＝－1对称，故A正确；C选项，由A选项分析可知，f(x－2)＝－f(x)，∴f(x－4)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，故C正确；B选项，方法一∵f(－x)＋f(x)＝0，∴f(－x)＋f(4＋x)＝0，∴f(x)的图象关于点(2，0)对称.方法二∵f(x)为奇函数，∴f(x)的图象关于点(0，0)对称，又f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(x)的图象关于点(2，0)对称，故B正确；D选项，∵f(1)＝2，f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(4)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(17)＝4[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＝2，故D错误.解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时，要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再判断函数图象的对称轴或对称中心；也可利用图象变换关系得出函数图象的对称性.思维升华跟踪训练3

(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝0，则下列命题成立的是A.f(x)的图象关于点(－1，0)对称B.f(3)＝0C.函数f(x＋4)为奇函数D.函数f(x＋1)为奇函数√√√因为f(2－x)＋f(x)＝0，所以f(2－x)＝－f(x)，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，又f(x)为定义在R上的偶函数，所以函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称，且f(－1)＝0，A选项正确；因为函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，又函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)的一个周期为4，所以f(3)＝f(－1)＝0，B选项正确；因为偶函数f(x)的一个周期为4，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x＋4)为偶函数，C选项错误；f(x＋1)的图象可以由f(x)的图象向左平移一个单位长度得到，则f(x＋1)的图象关于点(0，0)对称，f(x＋1)为奇函数，D选项正确.

√题型四√√函数性质的综合应用

函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题.思维升华

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课时精练01单击此处添加章节副标题答案12345678910题号1234567答案ABBCDDBD题号8910答案ABC2对一对一、单项选择题1.已知f(x)是R上的偶函数，且f(x)＋f(x＋2)＝0，当0≤x≤1时，f(x)＝1－x2，则f(2025.5)等于A.－0.75 B.－0.25C.0.25 D.0.75√12345678910答案12345678910答案由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)，则f(x＋4)＝f(x)，所以4是f(x)的一个周期，故f(2025.5)＝f(1.5)＝－f(－0.5)＝－f(0.5)＝－(1－0.52)＝－0.75.12345678910答案

√12345678910答案

3.定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1，2]上单调递减，则函数f(x)A.在区间[0，1]上单调递增，在区间[－2，－1]上单调递减B.在区间[0，1]上单调递增，在区间[－2，－1]上单调递增C.在区间[0，1]上单调递减，在区间[－2，－1]上单调递减D.在区间[0，1]上单调递减，在区间[－2，－1]上单调递增√12345678910答案∵f(x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∵f(x)在区间[1，2]上单调递减，∴f(x)在区间[0，1]上单调递增，又∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)，∴f(2－x)＝f(－x)，∴f(x)是周期为2的函数，∴f(x)在区间[－2，－1]上也单调递增.12345678910答案4.(2025·西安模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，则下列说法错误的是A.f(0)＝0B.f(x)是周期函数，且2是其一个周期C.f(2025)＝1D.f(3)＝f(4)＋f(5)√12345678910答案12345678910答案选项A，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，选项A正确；选项B，由f(x)＝f(x＋2)，知f(x)是周期函数，且2是其一个周期，选项B正确；选项C，因为f(2025)＝f(1＋2×1012)＝f(1)，又f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，f(－1)＝－f(1)，所以f(1)＝0，所以f(2025)＝0，选项C错误；选项D，f(3)＝f(1)＝0，f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0，选项D正确.5.已知定义域为R的函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(x＋2)为奇函数，若f(1)＝2，则f(2026)＋f(2027)等于A.－1 B.0

C.2

D.－2√12345678910答案123456789101112函数f(x＋2)为奇函数，所以函数f(x＋2)的图象关于点(0，0)对称，所以函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，又函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故函数f(x)的一个周期为4，因为函数f(x)的图象