第六章 §6.7　子数列问题

第六章数学

大一轮复习202X/01/01§6.7子数列问题子数列是数列问题中的一种常见题型.将原数列转化为子数列问题一般适用于某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即项不变化，项数变化.重点解读

题型一奇数项与偶数项问题由题意，得当n∈N*时，a2n＝2a2n－1－1，

①a2n＋1＝a2n＋1，

②将①代入②，得a2n＋1＝2a2n－1，所以数列{a2n－1}是首项为1，公比为2的等比数列.

(2)求数列{an}的前100项和S100.数列中的奇、偶项问题的常见题型(1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；(2)含有(－1)n的类型；(3)含有{a2n}，{a2n－1}的类型.思维升华跟踪训练1

(2024·西安模拟)已知正项数列{an}中，a3＝4，a2a5＝32，且lnan，lnan＋1，lnan＋2成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足bn＝an＋(－1)nlog2an＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.

数列的公共项

题型二

(2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn.

两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两个等差数列公差的最小公倍数，两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数.思维升华跟踪训练2

(2025·沈阳模拟)已知数列an＝2n－1，bn＝3n－2，由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为{cn}，则数列{cn}的通项公式为A.cn＝3n－2 B.cn＝4n－1C.cn＝5n－3 D.cn＝6n－5因为数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，而数列{bn}是首项为1，公差为3的等差数列，则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列{cn}是首项为1，公差为6的等差数列，故cn＝1＋(n－1)×6＝6n－5.√题型三例3

(2024·滨州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝7，S5＝25.(1)求数列{an}的通项公式；因为数列{an}为等差数列，则S5＝5a3＝25，即a3＝5，可得公差d＝a4－a3＝2，a1＝a3－2d＝1，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.数列增减项(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1(k＝1，2，…)之间插入2k－1个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，求{bn}的前50项和T50.

对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入(减少)了多少项(运用等差等比求和或者项数公式去看)，再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项.思维升华跟踪训练3

已知数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，在等比数列{an}中，a1＝b1，a4＝b8.(1)求数列{bn}与{an}的通项公式；∵Sn＝n2＋n，∴当n≥2且n∈N*时，bn＝Sn－Sn－1＝2n.又b1＝S1＝2也符合上式，∴bn＝2n.∵a1＝b1＝2，a4＝b8＝16，∴等比数列{an}的公比为2，∴an＝2n.(2)若数列{bn}中去掉{an}中的项后余下的项按原顺序组成数列{cn}，求{cn}的前20项和.

课时精练01单击此处添加章节副标题答案1234(1)因为数列{an}为等差数列，且a2与a8的等差中项为5，所以a2+a8＝2×5＝2a5，解得a5＝5，因为a4a6＝24，所以(5－d)(5+d)＝24，解得d＝±1，因为d>0，所以d＝1，所以an＝a5+(n－5)d＝5+(n－5)＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n.1.答案1234

1.答案1234

2.答案1234

2.答案1234(1)因为Sn＝2an－n，

①所以当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，Sn－1＝2an－1－(n－1)，

②①－②得an＝2an－1+1，所以an+1＝2(an－1+1)，又a1+1＝2，所以数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，则an+1＝2n，即an＝2n－1.3.答案1234

3.答案1234

4.答案1234∵an+an－1>0，∴an－an－1＝2(n≥2)，∴数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，∴an＝2n+1，n∈N*.4.答案1234

4.1.(2024·佳木斯模拟)已知等差数列{an}的公差d>0，a2与a8的等差中项为5，且a4a6＝24.(1)求数列{an}的通项公式；1234知识过关答案1234答案因为数列{an}为等差数列，且a2与a8的等差中项为5，所以a2＋a8＝2×5＝2a5，解得a5＝5，因为a4a6＝24，所以(5－d)(5＋d)＝24，解得d＝±1，因为d>0，所以d＝1，所以an＝a5＋(n－5)d＝5＋(n－5)＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n.

1234答案1234答案

1234答案2.(2024·北京首都师范大学附属中学模拟)已知等差数列{an}满足a3＝5，且a5－2a2＝3.又数列{bn}中，b1＝3且3bn－bn＋1＝0(n＝1，2，3，4，…).(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；1234答案

1234答案(2)若ai＝bj，则称ai(或bj)是{an}，{bn}的公共项.①直接写出数列{an}，{bn}的前4个公共项；由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n，则a2＝b1＝3，a5＝b2＝9，a14＝b3＝27，a41＝b4＝81，所以数列{an}，{bn}的前4个公共项依次为3，9，27，81.1234答案②从数列{an}的前100项中将数列{an}与{bn}的公共项去掉后，求剩下所有项的和.

1234答案3.(2025·马鞍山模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－n(n∈N*).(1)求证：数列{an＋1}是等比数列，并求{an}的通项公式；1234答案因为Sn＝2an－n，

①所以当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，Sn－1＝2an－1－(n－1)，

②①－②得an＝2an－1＋1，所以an＋1＝2(an－1＋1)，又a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，则an＋1＝2n，即an＝2n－1.1234答案(2)在ak和ak＋1(k∈N*)中插入k个数构成一个新数列{bn}：a1，2，a2，4，6，