第三章 §3.4　导数与函数的极值

§3.4导数与函数的极值01数学

大一轮复习1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会利用极值点(极值)求参数.课标要求第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型01内容索引02课时精练目录落实主干知识02单击此处添加章节副标题1.函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f'(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧

，右侧

，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.2.函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f'(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧

，右侧

，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.3.极小值点、极大值点统称为

，极小值和极大值统称为

.f'(x)<0f'(x)>0f'(x)>0f'(x)<0极值点极值1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.(

)(2)函数的极小值一定小于函数的极大值.(

)(3)单调函数没有极值.(

)(4)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点.(

)√√×√2.如图是f(x)的导函数f'(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为A.1 B.2C.3 D.4√由导函数f'(x)的图象知，在x＝－2处，f'(－2)＝0，且其两侧导数f'(x)的符号为左正右负，所以－2是f(x)的极大值点；在x＝－1处，f'(－1)＝0，且其两侧导数f'(x)的符号为左负右正，所以－1是f(x)的极小值点；在x＝0处，f'(0)＝0，且其两侧导数f'(x)的符号均为正，所以0不是f(x)的极值点；在x＝2处，f'(2)＝0，且其两侧导数f'(x)的符号为左正右负，所以2是f(x)的极大值点.综上，f(x)的极小值点的个数为1.

184.若函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有两个极值点，则实数a的取值范围是__________________________.

解题时灵活应用以下几个关键点(1)极值点不是点，若函数f(x)在x＝x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1).(2)极值是个“局部”概念，只能在定义域内部取得.(3)有极值的函数一定不是单调函数.(4)f'(x0)＝0是x0为可导函数f(x)的极值点的必要不充分条件.例如，f(x)＝x3，f'(0)＝0，但0不是极值点.返回微点提醒探究核心题型03单击此处添加章节副标题例1

(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数g(x)＝xf'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A.f(x)有两个极值点B.f(0)为f(x)的极大值C.f(x)有两个极小值点D.f(－1)为f(x)的极小值√题型一√根据函数图象判断极值根据g(x)＝xf'(x)的图象，可得当x<－2时，g(x)＝xf'(x)>0，可得f'(x)<0，即f(x)单调递减，当－2<x<0时，g(x)＝xf'(x)<0，可得f'(x)>0，即f(x)单调递增，当0<x<1时，g(x)＝xf'(x)<0，可得f'(x)<0，即f(x)单调递减，当x>1时，g(x)＝xf'(x)>0，可得f'(x)>0，即f(x)单调递增，因此f(x)在x＝－2和x＝1处取得极小值，在x＝0处取得极大值，共3个极值点，A错误，C正确；f(0)为f(x)的极大值，B正确；f(－1)不是f(x)的极小值，D错误.由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f'(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f'(x)的图象可以看出y＝f'(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.思维升华

√观察图象可得函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，2)上单调递减，在区间(2，3]上单调递增，则1为函数f(x)的极大值点，2为函数f(x)的极小值点，所以当x∈(1，2)时，f'(x)<0；当x∈(0，1)∪(2，3]时，f'(x)>0；当x＝1或x＝2时，f'(x)＝0，所以不等式f'(x)<0的解集为(1，2).求已知函数的极值点、极值题型二例2已知函数f(x)＝ln(1＋x)－mx，求函数f(x)的极值.

运用导数求函数f(x)极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求导函数f'(x).(3)解方程f'(x)＝0，求出导函数在定义域内的所有零点.(4)判断f'(x)的正负，求f(x)的单调区间.(5)求出极值.思维升华跟踪训练2

(1)函数f(x)＝x3(3x－4)的极值点是A.0 B.1C.1或0 D.(1，－1)√函数f(x)＝x3(3x－4)的定义域为R，导函数为f'(x)＝12x3－12x2＝12x2(x－1)，令f'(x)＝0，可得x＝0或x＝1，当x<0时，f'(x)<0，函数f(x)在(－∞，0)上单调递减；当0<x<1时，f'(x)<0，函数f(x)在(0，1)上单调递减；当x>1时，f'(x)>0，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取得极小值，函数f(x)没有极大值，所以函数f(x)＝x3(3x－4)的极值点是1.

题型三例3

(1)(2025·肇庆模拟)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝－2处取极小值，则c等于A.－6 B.－2C.－6或－2 D.－4√已知极值(点)求参数

当c＝－6时，令f'(x)>0，可得x<－6或x>－2；令f'(x)<0，可得－6<x<－2，所以函数f(x)在(－∞，－6)上单调递增，在(－6，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在x＝－2处取极小值，符合题意，综上可得，c＝－6.(2)(2024·苏州质检)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)在(0，＋∞)上有两个极值，则实数a的取值范围为

.

根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)验证：求解后验证根的合理性.思维升华跟踪训练3

(1)已知函数f(x)＝aex＋bx在x＝0处取得极小值1，则f'(2)等于A.e2－2 B.2－e2

C.e2－1 D.e2√

(2)(2024·北京模拟)若函数f(x)＝2＋axlnx存在极大值，则实数a的取值范围是A.a<0 B.a>0

C.a≤0 D.a≥0√

微拓展三次函数是一类重要的函数，其规律性强，内容相对独立，且有一些独有的结论和技巧.如果能得当运用三次函数的有关结论，可以大大简化解题过程.三次函数的性质

√√√

返回课时精练04单击此处添加章节副标题答案123456789101112题号1234567答案BDBBACBCD3题号81112答案(2，＋∞)

CBD对一对答案123456789101112

9.答案123456789101112

9.答案123456789101112(1)当a＝1时，则f(x)＝ex－x－1，f'(x)＝ex－1，可得f(1)＝e－2，f'(1)＝e－1，即切点坐标为(1，e－2)，切线斜率k＝e－1，所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0.10.答案123456789101112(2)方法一因为f(x)的定义域为R，且f'(x)＝ex－a，若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立，可知f(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意；若a>0，令f'(x)>0，解得x>lna，令f'(x)<0，解得x<lna，可知f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，则f(x)有极小值f(lna)＝a－alna－a3，无极大值，10.答案123456789101112

10.答案123456789101112方法二因为f(x)的定义域为R，且f'(x)＝ex－a，若f(x)有极小值，则f'(x)＝ex－a有零点，令f'(x)＝ex－a＝0，可得ex＝a，可知y＝ex与y＝a有交点，则a>0，令f'(x)>0，解得x>lna；令f'(x)<0，解得x<lna，可知f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，10.答案123456789101112则f(x)有极小值f(lna)＝a－alna－a3，无极大值，符合题意，由题意可得，f(lna)＝a－alna－a3<0，即a2＋lna－1>0，令g(a)＝a2＋lna－1，a>0，因为y＝a2，y＝lna－1在(0，＋∞)上均单调递增，所以g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，不等式a2＋lna－1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1，所以a的取值范围为(1，＋∞).10.一、单项选择题1.(2025·楚雄模拟)已知定义域为[－3，5]的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)的图象如图所示，则A.f(x)在(－2，2)上先增后减B.f(x)有极小值f(2)C.f(x)有2个极值点D.f(x)在x＝－3处取得最大值123456789101112知识过关答案√123456789101112答案由f'(x)的图象可知，当x∈(－2，2)或x∈(4，5)时，f'(x)<0，则f(x)单调递减，故A错误；当x∈(－3，－2)或x∈(2，4)时，f'(x)>0，则f(x)单调递增，所以当x＝2时，f(x)有极小值f(2)，故B正确；由f'(x)的图象结合单调性可知，当x＝－2，2，4时，f(x)有极值，所以f(x)有3个极值点，故C错误；当x∈(－3，－2)时，f'(x)>0，则f(x)单调递增，所以f(－3)<f(－2)，f(x)在x＝－3处不取得最大值，故D错误.123456789101112答案

√123456789101112答案

123456789101112答案3.(2024·赤峰模拟)已知函数f(x)＝xlnx－ax有极值－e，则a等于A.1 B.2

C.e

D.3√123456789101112答案由题目条件可得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝lnx＋1－a.令f'(x)>0，得x>ea－1；令f'(x)<0，得0<x<ea－1.所以函数f(x)在区间(0，ea－1)上单调递减，在区间(ea－1，＋∞)上单调递增.则函数f(x)的极小值点是ea－1，无极大值点，故f(ea－1)＝ea－1lnea－1－aea－1＝－e，解得a＝2.123456789101112答案

√123456789101112答案

123456789101112答案当x<－1时，g'(x)>0，g(x)单调递增，所以当x＝－1时，g(x)取得极大值g(－1)＝e，又当x>－2时，g(x)>0恒成立，则函数y＝g(x)的图象与直线y＝a如图所示，故0<a<e.123456789101112答案二、多项选择题5.(2025·武汉模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数g(x)＝x·f'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A.f(x)有两个极值点B.f(－2)为函数的极大值C.f(x)有一个极大值D.f(－1)为f(x)的极小值√√123456789101112答案g(x)＝x·f'(x)，并结合其图象，可得到如下情况，当x<－2时，g(x)>0，f'(x)<0，f(x)在(－∞，－2)上单调递减；当－2<x<0时，g(x)<0，f'(x)>0，f(x)在(－2，0)上单调递增；当0<x<1时，g(x)>0，f'(x)>0，f(x)在(0，1)上单调递增；当x>1时，g(x)<0，f'(x)<0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴f(x)在x＝－2处取得极小值，在x＝1处取得极大值，f(x)有两个极值点，故B，D错误，A，C正确.123456789101112答案

√√√123456789101112答案

123456789101112答案

三、填空题7.已知函数f(x)＝(x2＋x－5)e3－x，则函数f(x)的极大值点为

.

123456789101112答案由题意，函数f(x)＝(x2＋x－5)e3－x，则f'(x)＝－(x2－x－6)·e3－x＝－(x－3)(x＋2)·e3－x，令f'(x)>0，得－2<x<3；令f'(x)<0，得x<－2或x>3，所以函数f(x)的单调递增区间是(－2，3)，单调递减区间为(－∞，－2)，(3，＋∞)，当x＝3时，函数f(x)取得极大值，即函数f(x)的极大值点为3.3123456789101112答案

(2，＋∞)123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案四、解答题9.(2025·盐城模拟)已知函数f(x)＝ex－aln(x＋1)的图象在点(0，f(0))处的切线过点(2，1).(1)求实数a的值；

123456789101112答案

(2)求f(x)的极值.123456789101112答案10.(2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ax－a3.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；当a＝1时，则f(x)＝ex－x－1，f'(x)＝ex－1，可得f(1)＝e－2，f'(1)＝e－1，即切点坐标为(1，e－2)，切线斜率k＝e－1，所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0.123456789101112答案(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.方法一因为f(x)的定义域为R，且f'(x)＝ex－a，若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立，可知f(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意；若a>0，令f'(x)>0，解得x>lna，令f'(x)<0，解得x<lna，可知f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，则f(x)有极小值f(lna)＝a－alna－a3，无极大值，123456789101112答案123456789101112答案

123456789101112答案方法二因为f(x)的定义域为R，且f'(x)＝ex－a，若f(x)有极小值，则f'(x)＝ex－a有零点，令f'(x)＝ex－a＝0，可得ex＝a，可知y＝ex与y＝a有交点，则a>0，令f'(x)>0，解得x>lna；令f'(x)<0，解得x<lna，可知f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，123456789101112答案则f(x)有极小值f(lna)＝a－alna－a3，无极大值，符合题意，由题意可得，f(lna)＝a－alna－a3<0，即a2＋lna－1>0，令g(a)＝a2＋lna－1，a>0