第三章 §3.2　导数与函数的单调性(一)

§3.2导数与函数的单调性(一)01数学

大一轮复习1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).课标要求第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型01内容索引02课时精练目录落实主干知识02单击此处添加章节副标题条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f'(x)>0f(x)在区间(a，b)上__________f'(x)<0f(x)在区间(a，b)上__________f'(x)＝0f(x)在区间(a，b)上是__________单调递增单调递减常数函数1.函数的单调性与导数的关系2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数f(x)的

；第2步，求出导数f'(x)的

；第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.定义域零点1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.(

)(2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f'(x)>0.(

)(3)在(a，b)内f'(x)≤0且f'(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.(

)(4)函数f(x)＝x－sinx在R上是增函数.(

)√√×√2.函数y＝f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是A.f(x)在(－3，1)上单调递增B.f(x)在(1，3)上单调递减C.f(x)在(2，4)上单调递减D.f(x)在(3，＋∞)上单调递增√当x∈(－3，0)时，f'(x)<0，故f(x)在(－3，0)上单调递减；当x∈(0，2)时，f'(x)>0，故f(x)在(0，2)上单调递增；当x∈(2，4)时，f'(x)<0，故f(x)在(2，4)上单调递减；当x∈(4，＋∞)时，f'(x)>0，故f(x)在(4，＋∞)上单调递增，显然C正确，其他选项错误.

√

3

谨防四个易误点(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间时，要坚持“定义域优先”原则.(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增(或递减)区间写成并集形式.(3)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增(或递减)，可得f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f'(x)>0(或f'(x)<0)恒成立，“＝”不能少.必要时还需对“＝”进行检验.(4)若函数f(x)在(a，b)内存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)内存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)<0有解.返回微点提醒探究核心题型03单击此处添加章节副标题例1

(1)(2025·盐城模拟)已知函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图，则其导函数f'(x)的图象可能为题型一√函数的单调性与导函数图象之间的关系观察图象知，当x<0时，f(x)单调递减，f'(x)<0，选项B，D不满足；当x>0时，函数f(x)先单调递增，再单调递减，然后又单调递增，则f'(x)的值先正，再负，然后又为正，有两个不同的零点，A满足，C不满足.(2)(2024·南京模拟)若定义在R上的函数y＝x3f'(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的单调递增区间为A.[0，1]B.[0，2]C.(－∞，0]D.(－∞，2]√由题图可得，当0≤x≤2时，由y＝x3f'(x)≥0得f'(x)≥0，y＝f(x)在[0，2]上单调递增；当x>2时，由y＝x3f'(x)<0得f'(x)<0，y＝f(x)在(2，＋∞)上单调递减；当x<0时，由y＝x3f'(x)>0得f'(x)<0，y＝f(x)在(－∞，0)上单调递减，综上，函数y＝f(x)的单调递增区间为[0，2].(1)由原函数图象识别导函数图象的依据若f(x)单调递增，则f'(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f'(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f'(x)＝0.(2)由导函数图象识别原函数图象的依据若f'(x)>0，则f(x)单调递增，若f'(x)<0，则f(x)单调递减.思维升华

√

不含参函数的单调性

√题型二

(0，1)

确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.思维升华跟踪训练2

(1)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是A.f(x)＝sin2x

B.f(x)＝xexC.f(x)＝x3－x

D.f(x)＝－x＋lnx

√(2)已知定义在区间[0，π]上的函数f(x)＝x＋2cosx，判断函数f(x)的单调性.

题型三例3

(2025·扬州模拟)已知函数f(x)＝ax2－(a＋4)x＋2lnx，其中a≠0.试讨论f(x)的单调性.含参数的函数的单调性

(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.思维升华跟踪训练3已知函数f(x)＝aex－x，a∈R.试讨论函数f(x)的单调性.因为f(x)＝aex－x，a∈R，x∈R，所以f'(x)＝aex－1，当a≤0时，f'(x)＝aex－1<0，则f(x)在R上单调递减；当a>0时，令f'(x)＝0，得x＝－lna，当x<－lna时，f'(x)<0，当x>－lna时，f'(x)>0，所以f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增.综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；当a>0时，f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增.返回课时精练04单击此处添加章节副标题答案123456789101112题号1234567答案ACCBCDBCD(1，＋∞)题号81112答案－2CD对一对答案123456789101112

9.答案123456789101112

9.答案123456789101112

10.答案123456789101112

10.一、单项选择题1.函数f(x)＝2x－cosx在R上是A.增函数

B.减函数C.先增后减

D.不确定123456789101112知识过关答案∵f(x)＝2x－cosx，∴f'(x)＝2＋sinx>0在R上恒成立，∴f(x)在R上是增函数.√123456789101112答案2.设f'(x)是函数f(x)的导函数，y＝f'(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能是√123456789101112答案由y＝f'(x)的图象可知，当x<0和x>2时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当0<x<2时，f'(x)<0，f(x)单调递减，结合选项可知，只有C中图象符合要求.123456789101112答案3.函数f(x)＝x－2ln(2x)的单调递减区间为A.(1，＋∞) B.(0，1)C.(0，2) D.(2，＋∞)

√123456789101112答案

√123456789101112答案

123456789101112答案二、多项选择题5.如图为y＝f(x)的导函数f'(x)的图象，给出下列四个说法，其中正确的是A.f(x)有三个单调区间B.f(－2)<f(－1)C.f(－1)<f(1)D.f(x)在[－1，2]上单调递增，在(2，4]上单调递减√√123456789101112答案对于A，由图象可以看出，f'(x)的符号是先负后正，再负再正，所以函数f(x)有四个单调区间，故A错误；对于B，当x∈[－2，－1]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以f(－2)>f(－1)，故B错误；对于C，当x∈[－1，2]时，f'(x)≥0，函数f(x)单调递增，所以f(－1)<f(1)，故C正确；对于D，当x∈(2，4]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减，显然D正确.123456789101112答案

√√√123456789101112答案

三、填空题7.函数f(x)＝ex－ex的单调递减区间为

.

123456789101112答案f'(x)＝e－ex，令f'(x)<0，解得x>1，所以f(x)的单调递减区间为(1，＋∞).(1，＋∞)123456789101112答案

f'(x)＝x2＋2mx＋n，由f(x)的单调递减区间是(－3，1)，得f'(x)<0的解集为(－3，1)，则－3，1是f'(x)＝0的解，∴－2m＝－3＋1＝－2，n＝1×(－3)＝－3，可得m＝1，n＝－3，故m＋n＝－2.－2123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案