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文档简介

学会和各种人愉快的相处1.2

矩阵运算一、

矩阵的乘法二、

矩阵的转置返回三、

矩阵的逆一、矩阵的乘法

例1

某电子集团生产三种型号的彩电，第一季度各40万台,20万台,30万台,第二季度各30万台,10万台,50万台,每万台的利润分别是400万元,300万元,500万元,第一,二季度各类产品的利润是多少?

解矩阵的乘法：=

cijC

.A……..第i行第

j列BA的第i行与B的第j列相乘相加得到C的第i

j个元素例3解注：A×B要满足的条件！！！！

A的列数一定要等于B的行数解例4例5解=(）例6解

且

AB=O

A=O

或

B=O但是

IA=A=AI(kI)A=kA=

A(kI)(矩阵乘法不适合消去律)例7线性方程组的矩阵形式例8：写出线性方程组的矩阵形式解：矩阵乘法的运算规律：(AB)C=A(BC)k(AB)=(kA)B=A(kB)A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA

定义（方阵的幂）注意例9

已知矩阵

，求

及．解：

二、矩阵的转置定义（转置）行和列交换位置例性质：①(AT)T=A②(A+B)T=AT+BT

③(kA)T=kAT④(AB)T=BTAT

(A1A2……Ak)T=ATk

ATk-1……AT1

例8解

对称矩阵：AT=A反对称矩阵：例8证明：任意矩阵都可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和．

证

设A为一个矩阵，令

那么

类似地，

即B为对称矩阵，C为反对称矩阵．容易验证

从而，A可以表示为对称矩阵B与反对称矩阵C之和．三、逆矩阵一、逆矩阵的概念与性质数a≠0：aa-1=a-1a=1?:?矩阵A:A(?)=I定义设A为n阶矩阵，若存在n阶矩阵B，使得

AB=BA=I,

则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵，

记为A-1=B.若A可逆，则A-1存在，且AA-1=A-1A=I.定理

设A可逆，则它的逆是唯一的.证设有B和C满足

AB=BA=I,AC=CA=I.注意若A,B均为方阵，且AB=I(或BA=I),则A可逆且B=A-1.单位阵I

:对角阵:

I-1

=I例8

证明矩阵

是不可逆矩阵．证

用反证法.设是A的逆矩阵,那么有

这个线性方程组无解，这是因为由第一个方程与第三个方程可以得到一个矛盾的方程０=３．

所以，矩阵是不可逆矩阵．利用矩阵的乘法及矩阵相等的概念可以得到线性方程组例

证明矩阵

是可逆矩阵，并且求．解

设有矩阵，使得

由此可以得到线性方程组这个线性方程组有唯一的解

．于是，，容易验证

．

所以，A是可逆矩阵，且

例1

设方阵A满足A2-A-2I=O,证明：

A和I-A都可逆，证性质设A,B

均为n阶可逆矩阵，数λ≠0，则证

3:4：1.A-1可逆，且(A-1)-1=A

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