难点解析-人教版8年级数学下册《平行四边形》专项练习试卷（详解版）

人教版8年级数学下册《平行四边形》专项练习考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在矩形ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O作线段EF交AD于F，交BC于E，OB＝EB，点G为BD上一点，满足EG⊥FG，若∠DBC＝30°，则∠OGE的度数为（）A．30° B．36° C．37.5° D．45°2、如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB＝9，AD，则四边形CDFE的面积是（）A． B． C． D．543、下面四个命题：①直角三角形的两边长为3，4，则第三边长为5；②，③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；④若四边形中，ADBC，且，则四边形是平行四边形．其中正确的命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．34、如图，将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形，若，则的长为（）A．2 B． C．4 D．5、如图，已知是平分线上的一点，，，是的中点，，如果是上一个动点，则的最小值为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（5小题，每小题6分，共计30分）1、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是对角线AC上一点，若点P、A、B组成一个等腰三角形时，△PAB的面积为___________．2、如图所示，正方形ABCD的面积为6，△CDE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一动点K，则KA+KE的最小值为_____________．3、如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴，AD=4，∠A=60°．将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是_____________．4、点D、E、F分别是△ABC三边的中点，△ABC的周长为24，则△DEF的周长为______．5、如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，E为BC边上一动点，F、G为AD边上两个动点，且∠FEG＝30°，则线段FG的长度最大值为_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、阅读探究小明遇到这样一个问题：在中，已知，，的长分别为，，，求的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即的3个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法，（1）图1中的面积为________．实践应用参考小明解决问题的方法，回答下列问题：（2）图2是一个的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为，，的格点．②的面积为________（写出计算过程）．拓展延伸（3）如图3，已知，以，为边向外作正方形和正方形，连接．若，，，则六边形的面积为________（在图4中构图并填空）．2、如图，在正方形中，是直线上的一点，连接，过点作，交直线于点，连接．（1）当点在线段上时，如图①，求证：；（2）当点在直线上移动时，位置如图②、图③所示，线段，与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．3、如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连接AE、DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF．（1）求证：AD＝CE．（2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面积．4、如图：在中，，，点为的中点，点为直线上的动点（不与点，重合），连接，，以为边在的上方作等边，连接．（1）是________三角形；（2）如图1，当点在边上时，运用（1）中的结论证明；（3）如图2，当点在的延长线上时，（2）中的结论是否依然成立？若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由．5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，．（1）试判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论；（2）若∠ABC＝30°，AB＝4，则四边形BDCE的面积为．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据矩形和平行线的性质，得；根据等腰三角形和三角形内角和性质，得；根据全等三角形性质，通过证明，得；根据直角三角形斜边中线、等腰三角形、三角形内角和性质，推导得，再根据余角的性质计算，即可得到答案．【详解】∵矩形ABCD∴∴∵OB＝EB，∴∴∵点O为对角线BD的中点，∴和中∴∴∵EG⊥FG，即∴∴∴故选：C．【点睛】本题考查了矩形、平行线、全等三角形、等腰三角形、三角形内角和、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、全等三角形、等腰三角形、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．2、C【解析】【分析】过点F作，分别交于M、N，由F是AE中点得，根据，计算即可得出答案．【详解】如图，过点F作，分别交于M、N，∵四边形ABCD是矩形，∴，，∵点E是BC的中点，∴，∵F是AE中点，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查矩形的性质与三角形的面积公式，掌握是解题的关键．3、B【解析】【分析】①直角三角形两直角边长为3，4，斜边长为5；②x的取值范围不同；③对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形；④熟记平行四边形的判定定理进行证明．【详解】解：①3，4没说是直角边的长还是斜边的长，故第三边答案不唯一，故①错误．②等式左边的值小于0，等式右边的值大于或等于0，故②错误．③必须加上平分这个条件，否则不会是正方形，故③错误．④延长CB至E，使BE=AB，延长AD至F，使DF=DC，则四边形ECFA是平行四边形，∴∠E=∠F，由∠ABC=2∠E，∠ADC=2∠F，知∠ABC=∠ADC，又AD∥BC，故∠ABC+∠BAD=180°，即∠ADC+∠BAD=180°，∴AB∥CD，四边形ABCD是平行四边形．故④正确．故选：B．【点睛】本题考查判断命题正误的能力以及掌握勾股定理，正方形的判定定理，平行四边形的判定定理以及化简代数式注意取值范围等．4、D【解析】【分析】根据菱形及矩形的性质可得到∠BAC的度数，从而根据直角三角形的性质求得BC的长．【详解】解：∵四边形AECF为菱形，∴∠FCO=∠ECO，EC=AE，由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，在Rt△EBC中，EC=2EB，又∵EC=AE，AB=AE+EB=6，∴EB=2，EC=4，∴Rt△BCE中，，故选：D．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质，解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据30°的直角三角形中各边之间的关系求得BC的长．5、C【解析】【分析】根据题意由角平分线先得到是含有角的直角三角形，结合直角三角形斜边上中线的性质进而得到OP，DP的值，再根据角平分线的性质以及垂线段最短等相关内容即可得到PC的最小值．【详解】解：∵点P是∠AOB平分线上的一点，，∴，∵PD⊥OA，M是OP的中点，∴，∴∵点C是OB上一个动点∴当时，PC的值最小，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，∴最小值，故选C．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、含有角的直角三角形的选择，直角三角形斜边上中线的性质、垂线段最短等相关内容，熟练掌握相关性质定理是解决本题的关键．二、填空题1、或或3【解析】【分析】过B作BM⊥AC于M，根据矩形的性质得出∠ABC＝90°，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出高BM，分为三种情况：①AB＝BP＝3，②AB＝AP＝3，③AP＝BP，分别画出图形，再求出面积即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，由勾股定理得：，有三种情况：①当AB＝BP＝3时，如图1，过B作BM⊥AC于M，S△ABC＝，，解得：，∵AB＝BP＝3，BM⊥AC，∴，∴AP＝AM+PM＝，∴△PAB的面积＝；②当AB＝AP＝3时，如图2，∵BM＝，∴△PAB的面积S＝；③作AB的垂直平分线NQ，交AB于N，交AC于P，如图3，则AP＝BP，BN＝AN＝，∵四边形ABCD是矩形，NQ⊥AC，∴PN∥BC，∵AN＝BN，∴AP＝CP，∴，∴△PAB的面积;即△PAB的面积为或或3．故答案为：或或3．【点睛】本题主要是考查了矩形的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理求边长，熟练掌握矩形的性质，利用等腰三角形的判定，分成三种情况讨论，是解决本题的关键．2、【解析】【分析】根据正方形的性质可知C、A关于BD对称，推出CK＝AK，推出EK+AK≥CE，根据等边三角形性质推出CE＝CD，根据正方形面积公式求出CD即可．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴C、A关于BD对称，即C关于BD的对称点是A，如图，连接CK，则CK＝AK，∴EK+CK≥CE，∵△CDE是等边三角形，∴CE＝CD，∵正方形ABCD的面积为6，∴CD＝，∴KA+KE的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称-最短路径问题，等边三角形的性质等知识点的应用，解此题的关键是确定K的位置和求出KA+KE的最小值是CE．3、或##或【解析】【分析】分当D落在x轴正半轴时和当D落在x轴负半轴时，两种情况讨论求解即可．【详解】解：如图1所示，当D落在x轴正半轴时，∵O是菱形ABCD对角线BD的中点，∴AO⊥DO，∴当D落在x轴正半轴时，A点在y轴正半轴，∴同理可得A、B、C三点均在坐标轴上，且点C在y轴负半轴，∵∠BAD=60°，∴∠OAD=30°，∴，∴，∴点C的坐标为（0，）；如图2所示，当D落在x轴负半轴时，同理可得，∴点C的坐标为（0，）；∴综上所述，点C的坐标为（0，）或（0，），故答案为：（0，）或（0，）．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．4、12【解析】【分析】据D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，可以判断DF、FE、DE为三角形中位线，利用中位线定理求出DF、FE、DE与AB、BC、CA的长度关系即可解答．【详解】解：∵如图所示，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴ED、FE、DF为△ABC中位线，∴DFBC，FEAB，DEAC，∴△DEF的周长=DF+FE+DEBCABAC（AB+BC+CA）24＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，根据中点判断出中位线，再利用中位线定理是解题的基本思路．5、【解析】【分析】如图所示，在中，FG边的高为AB=2，∠FEG=30°，为定角定高的三角形，故当E与B点或C点重合，G与D点重合或F与A点重合时，FG的长度最大，则由矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2可知，∠ABD=60°，故∠ABF=60°-30°=30°，则AF=，则FG=AD-AF=．【详解】如图所示，在中，FG边的高为AB=2，∠FEG=30°，为定角定高的三角形故当E与B点或C点重合，G与D点重合或F与A点重合时，FG的长度最大∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2∴∠ABD=60°∴∠ABF=60°-30°=30°∴AF=∴FG=AD-AF=．故答案为：．【点睛】本题考查了四边形中动点问题，图解法数学思想依据是数形结合思想．它的应用能使复杂问题简单化、抽象问题具体化．特殊四边形的几何问题，很多困难源于问题中的可动点．如何合理运用各动点之间的关系，同学们往往缺乏思路，常常导致思维混乱．实际上求解特殊四边形的动点问题，关键是是利用图解法抓住它运动中的某一瞬间，寻找合理的代数关系式，确定运动变化过程中的数量关系，图形位置关系，分类画出符合题设条件的图形进行讨论，就能找到解决的途径，有效避免思维混乱．三、解答题1、（1）；（2）①作图见详解；②8；（3）在网格中作图见详解；31．【分析】（1）根据网格可直接用割补法求解三角形的面积；（2）①利用勾股定理画出三边长分别为、、，然后依次连接即可；②根据①中图形，可直接利用割补法进行求解三角形的面积；（3）根据题意在网格中画出图形，然后在网格中作出，，进而可得，得出，进而利用割补法在网格中求解六边形的面积即可．【详解】解：（1）△ABC的面积为：，故答案为：；（2）①作图如下（答案不唯一）：②的面积为：，故答案为：8；（3）在网格中作出，，在与中，，∴，∴，，六边形AQRDEF的面积=正方形PQAF的面积+正方形PRDE的面积+的面积，故答案为：31．【点睛】本题主要考查勾股定理、正方形的性质、割补法求解面积及二次根式的运算，熟练掌握勾股定理、正方形的性质、割补法求解面积及二次根式的运算是解题的关键．2、（1）见解析；（2）图②中，图③中【分析】（1）在上截取，连接，可先证得，则，，进而可证得△AED为等腰直角三角形，即可得证；（2）仿照（1）的证明思路，作出相应的辅助线，即可证得对应的，与之间的数量关系．【详解】解：（1）证明：如图，在上截取，连接．∵四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，∴△ECF是等腰直角三角形，在中，，，；

（2）图②：，理由如下：如下图，在延长线上截取，连接．

∵四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，∴△ECF是等腰直角三角形，在中，，，；图③：如图，在DE上截取DF=BE，连接．

∵四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，∴△ECF是等腰直角三角形，在中，，，．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形、勾股定理等相关知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．3、（1）见解析；（2）39【分析】（1）首先根据CF⊥DE，DF＝EF得出CF为DE的中垂线，然后根据垂直平分线的性质得到CD＝CE，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD＝AD，即可证明AD＝CE；（2）由（1）得CD＝CE=AB=5，由勾股定理求出BC，然后结合三角形的面积公式进行计算．【详解】（1）证明：∵DF＝EF∴点F为DE的中点又∵CF⊥DE∴CF为DE的中垂线∴CD＝CE又∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线∴CD＝=AD∴AD＝CE（2）解：由（1）得CD＝CE==5∴AB=10∴在Rt△ABC中，BC==8∴EB=EC+BC=13∴．【点睛】此题考查了垂直平分线的判定和性质，直角三角形性质，三角形