难点详解浙江省桐乡市中考数学真题分类（勾股定理）汇编必考点解析试卷（含答案详解）

浙江省桐乡市中考数学真题分类（勾股定理）汇编必考点解析考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题14分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、如图，△ABC中，，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（

）A．以BC为边的正方形面积 B．以AC为边的正方形面积C．以AB为边的正方形面积 D．△ABC的面积2、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（

）A．20dm B．25dm C．30dm D．35dm3、如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（

）A．29 B．32 C．36 D．454、在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（

）A． B． C． D．5、如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是（）A．13米 B．12米 C．5米 D．米6、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．67、如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）A． B．2 C．2 D．3第Ⅱ卷（非选择题86分）二、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为．2、如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的长为______．3、如图，在四边形ABCD中，，，，，，那么四边形ABCD的面积是___________．4、如图，在中，，分别以，，边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，阴影部分的面积为________．5、如图，将一个长方形纸片沿折叠，使C点与A点重合，若，则线段的长是_________．6、如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．7、如图，在的网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点、、都在格点上，点为边的中点，则线段的长为________．8、如图，一个高，底面周长的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少为___________长．三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？2、我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈八，末折抵地，去本6尺.问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈八，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部6尺远．问：折处离地还有多高的竹子？（1丈=10尺）3、在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？4、2020年春季“新冠肺炎”在武汉全面爆发，蔓延全国，危及到人民生命安全，为了积极响应国家防控政策，双流区某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传防控措施，如图，笔直公路的一侧点处有一村庄，村庄到公路的距离为600米，假设宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上沿方向行驶时：（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？5、阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．【初步运用】（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为；（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．6、（1）如图１是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；（2）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试证明过程．说明：．7、如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，，，于A，于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】如图所示，过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，证明△ADE≌△CAN得到，AE=CN同理可证△BGH≌△CBN，得到，BH=CN，则，即可推出由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点C作CN⊥AB于N，延长AB、BA分别交正方形两边于H、E，∴∠CNA=∠DEA=∠DAC=90°，∴∠DAE+∠EDA=∠DAE+∠CAN=90°，∴∠ADE=∠CAN，又∵AD=CA，∴△ADE≌△CAN（AAS），∴，AE=CN同理可证△BGH≌△CBN，∴，BH=CN∴，∴，∴只需要知道△ABC的面积的面积即可求出阴影部分的面积，故选D【考点】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形．2、B【解析】【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得x=25．故选B．【考点】本题考查了平面展开——最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．3、D【解析】【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）＝AC2−AB2＝45．故选：D．【考点】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．4、A【解析】【分析】根据题意可知，的面积为，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可．【详解】解：中，，，，所对的边分别为a，b，c，，∵，，∴，，故A正确．故选：A．【考点】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方公式变形求出ab的值．5、A【解析】【分析】根据题意，画出图形，构造直角三角形，用勾股定理求解即可.【详解】如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E,∵AB=13，CD=8，又∵BE=CD，DE=BC，∴AE=AB−BE=AB−CD=13−8=5,∴在Rt△ADE中，DE=BC=12,∴∴AD=13（负值舍去）,故小鸟飞行的最短路程为13m,故选A.【考点】考查勾股定理，画出示意图，数形结合是解题的关键.6、C【解析】【详解】解：如图所示，∵（a+b）2=21∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，即：a2+b2=13，∴2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选C．7、A【解析】【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．【详解】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝，∵点D为BC中点，∴BD＝CD，在△BFD与△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC时，最大值为，综上所述，AE+BF的最大值为．故选：A．【考点】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．二、填空题1、7【解析】【分析】根据勾股定理求得BC，再根据折叠性质得到AE=CE，进而由三角形的周长=AB+BC求解即可．【详解】∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC=.∵△ADE是△CDE翻折而成，∴AE=CE，∴AE+BE=BC=4，∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．故答案是：7．【考点】本题考查勾股定理、折叠性质，熟练掌握勾股定理是解答的关键．2、3【解析】【分析】在中，由正弦定义解得，再由勾股定理解得DE的长，根据同角的余角相等，得到，最后根据正弦定义解得CD的长即可解题．【详解】解：在中，在矩形中，故答案为：3．【考点】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3、+24【解析】【分析】连结BD，可求出BD=6，再根据勾股定理逆定理，得出△BDC是直角三角形，两个三角形面积相加即可．【详解】解：连结BD，∵，∴，∵，，∴BD=6，∵BD2=36，CD2=64，BC2=100，BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，S△ABD=，S△BDC=，四边形ABCD的面积是=S△ABD+S△BDC=+24故答案为：+24．【考点】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4、24【解析】【分析】根据勾股定理得到AC2=AB2-BC2，先求解AC，再根据阴影部分的面积等于直角三角形的面积加上以AC，BC为直径的半圆面积，再减去以AB为直径的半圆面积即可．【详解】解：由勾股定理得，AC2=AB2-BC2=64，则阴影部分的面积，故答案为24．【考点】本题考查的是勾股定理、半圆面积计算，掌握勾股定理和半圆面积公式是解题的关键．5、【解析】【分析】根据折叠的性质和勾股定理即可求得．【详解】解：∵长方形纸片，∴，，根据折叠的性质可得，，，设，，根据勾股定理，即，解得，故答案为：．【考点】本题考查折叠与勾股定理．能正确表示直角三角形的三边是解题关键．6、【解析】【分析】设，在中利用勾股定理求出x即可解决问题．【详解】解：∵是的中点，，，∴，由折叠的性质知：，设，则，在中，根据勾股定理得：，即：，解得，∴．故答案为：【考点】本题考查翻折变换、勾股定理，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会转化的思想，利用方程的去思考问题，属于中考常考题型．7、2.5【解析】【分析】由勾股定理得AC2=20，BC2=5，AB2=25，则AC2+BC2=AB2，再由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．【详解】解：由勾股定理得：AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=42+32=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AB=5，∵点O为AB边的中点，∴CO=AB=2.5，故答案为：2.5．【考点】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．8、20m．【解析】【分析】试题分析：要求登梯的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】将圆柱表面按一周半开展开呈长方形，

∵圆柱高16m，底面周长8m，设螺旋形登梯长为xm，∴x2=（1×8+4）2+162=400，∴登梯至少=20m故答案为：20m【考点】本题考查圆柱形侧面展开图新问题，涉及勾股定理，掌握按要求将圆柱侧面展开图形的方法，会利用圆周，高与对角线组成直角三角形，用勾股定理解决问题是关键．三、解答题1、（1）12米；（2）7米【解析】【分析】（1）由题意易得AB=CD=13米，OB=5米，然后根据勾股定理可求解；（2）由题意得CO=5米，然后根据勾股定理可得求解．【详解】解：（1）由题意得，AB=CD=13米，OB=5米，在Rt，由勾股定理得：AO2=AB2-OB2=132-52=169-25=144，解得AO=12米，答：这个梯子的顶端距地面有12米高；（2）由题意得，AC=7米，由（1）得AO=12米，∴CO=AO-AC=12-7=5米，在Rt，由勾股定理得：OD2=CD2-CO2=132-52=169-25=144，解得OD=12米∴BD=OD-OB=12-5=7米，答：梯子的底端在水平方向滑动了7米．【考点】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2、尺【解析】【分析】设原处还有尺高的竹子，由题意得到折后竹子竖直高度+斜倒部分的长度=18尺，再运用勾股定理列方程即可求解．【详解】解：设折处离地还有尺高的竹子,如图，在中，AC=x尺，则AB=一丈八-AC=(18-x)尺由勾股定理得，所以，解得：．答：折处离地还有尺高的竹子．【考点】此题考查勾股定理解决实际问题．此题中的直角三角形只知道一直角边，另两边未知往往要列方程求解．3、第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．【解析】【分析】根据题意求出OA、OB，根据勾股定理的逆定理求出∠AOB＝90°，即可得出答案．【详解】解：根据题意得：OA＝16海里/时×1.5小时＝24海里；OB＝12海里/时×1.5小时＝18海里，∵OB2＋OA2＝242＋182＝900，AB2＝302＝900，∴OB2＋OA2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∵艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，∴∠BOD＝50°，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．【考点】本题考查了方向角，勾股定理的逆定理的应用，能熟记定理的内容是解此题的关键，注意：如果三角形两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．4、（1）村庄能听到宣传，理由见解析；（2）村庄总共能听到8分钟的宣传．【解析】【分析】（1）直接比较村庄到公路的距离和广播宣传距离即可；（2）过点作于点，利用勾股定理运算出广播影响村庄的路程，再除以速度即可得到时间．【详解】解：（1）村庄能听到宣传，理由：∵村庄到公路的距离为600米1000米，∴村庄能听到宣传；（2）如图：过点作于点，假设当宣讲车行驶到点开始影响村庄，行驶点结束对村庄的影响，则米，米，∴（米），∴米，∴影响村庄的时间为：（分钟），∴村庄总共能听到8分钟的宣传．【考点】本题主要考查了垂线的性质，勾股定理，仔细审题获取相关信息合理作出图形是解题的关键．5、【初步运用】（1）5：9；（2）28；（3）24；（4）；【迁移运用】a2+b2﹣ab＝c2，证明见解析【解析】【分析】初步运用：（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可；（2）根据空白部分的面积=小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可；（3）可设AC=x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；（4）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．迁移运用：根据大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．