第二章　§2.6　二次函数与幂函数

§2.6二次函数与幂函数01数学

大一轮复习1.通过具体实例,了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).课标要求第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型01内容索引02课时精练落实主干知识02单击此处添加章节副标题1.幂函数(1)幂函数的定义一般地,函数

叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象y＝xα(3)幂函数的性质①幂函数在(0,＋∞)上都有定义；②当α>0时,幂函数的图象都过点

和

,且在(0,＋∞)上单调递增；③当α<0时,幂函数的图象都过点

,且在(0,＋∞)上单调递减；④当α为奇数时,y＝xα为

；当α为偶数时,y＝xα为

.(1,1)(0,0)(1,1)奇函数偶函数2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝

.顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0),顶点坐标为

.零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的

.ax2＋bx＋c(a≠0)(m,n)零点函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)

定义域___值域___________________________对称轴x＝______R

(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)顶点坐标______________奇偶性当b＝0时是

函数,当b≠0时是非奇非偶函数单调性

偶减增增减

√×××

√

√

4.已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞,－3]上单调递减,则实数a的取值范围是

.

(－∞,4]1.幂函数的性质(1)当α<0时,幂函数在区间(0,＋∞)上单调递减.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于＋∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.(2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点,或不相交,任何幂函数的图象都不过第四象限.(3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1),(0,0),(－1,1),(－1,－1)外,其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.微点提醒

返回微点提醒探究核心题型03单击此处添加章节副标题例1

(1)下列命题中正确的是A.当m＝0时,函数y＝xm的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点C.幂函数y＝xm的图象不可能在第四象限内D.若幂函数y＝xm为奇函数,则y＝xm是定义域内的增函数√题型一幂函数的图象与性质对于A,当m＝0时,函数y＝xm的图象是直线y＝1除去点(0,1),所以A项不正确；对于B,幂函数的幂指数小于0时,图象不经过点(0,0),所以B项不正确；对于C,幂函数y＝xm的图象不可能在第四象限内,所以C项正确；对于D,当m＝－1时,幂函数y＝xm为奇函数,但在定义域内不是增函数,所以D项不正确.

√

(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x＝1,y＝1,y＝x所分区域.根据α<0,0<α<1,α＝1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.思维升华

√由题意可知,m2－m－1＝1,解得m＝－1或m＝2,当m＝－1时,f(x)＝x－3,函数f(x)在(0,＋∞)上单调递减,成立；当m＝2时,f(x)＝x3,函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增,不成立,所以m＝－1.

√√

例2已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式.题型二二次函数的解析式

求二次函数解析式的三个策略(1)已知三个点的坐标,宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式.(3)已知图象与x轴的两交点的坐标,宜选用零点式.思维升华跟踪训练2已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),对称轴为直线x＝2,且方程f(x)＝0的两个根的平方和为10,则f(x)的解析式为

.

f(x)＝x2－4x＋3

例3

(多选)函数f(x)＝ax2－2x＋1与g(x)＝xa在同一直角坐标系中的图象不可能为命题点1二次函数的图象题型三√√二次函数的图象与性质

微拓展一元二次方程根的分布典例已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m的取值范围；

(2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围.

例4

(2025·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求a的取值范围；命题点2二次函数的单调性与最值

(2)若a>0,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式.04单击此处添加章节副标题

二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.思维升华

√

(2)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a,b]上的值域为[－2,2],则b－a的取值范围是.[2,4]解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2,得x＝0或x＝4,解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2,得x＝2,由于函数f(x)在区间[a,b]上的值域为[－2,2].若函数f(x)在区间[a,b]上单调,则[a,b]＝[0,2]或[a,b]＝[2,4],此时b－a取得最小值2；若函数f(x)在区间[a,b]上不单调,且当b－a取最大值时,[a,b]＝[0,4],所以b－a的最大值为4,所以b－a的取值范围是[2,4].返回课时精练05单击此处添加章节副标题答案1234567891011121314题号12345678答案DACCDBADABC题号91013

14答案-2a1<a2<a3A对一对答案1234567891011121314

11.答案1234567891011121314

11.答案1234567891011121314(1)由题意，函数f(x)是二次函数，且f(0)=f(2)，可得函数f(x)的对称轴为直线x=1，又由最小值为1，可设f(x)=a(x-1)2+1(a>0)，又f(0)=3，即a(0-1)2+1=3，解得a=2，所以函数的解析式为f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3.12.答案1234567891011121314(2)因为当x∈[-1，1]时，f(x)>2x+2m+1恒成立，即当x∈[-1，1]时，2x2-4x+3>2x+2m+1恒成立，即当x∈[-1，1]时，m<x2-3x+1恒成立，设函数g(x)=x2-3x+1，x∈[-1，1]，则g(x)在区间[-1，1]上单调递减，所以g(x)在区间[-1，1]上的最小值为g(1)=-1，所以m<-1，故实数m的取值范围为(-∞，-1).12.

√1234567891011121314知识过关答案1234567891011121314答案

1234567891011121314答案

√

√1234567891011121314

答案4.已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋5)xm－2是R上的偶函数,且函数g(x)＝f(x)－(2a－6)x在区间[1,3]上单调递减,则实数a的取值范围是A.(－∞,4) B.(－∞,4]C.[6,＋∞) D.(－∞,4]∪[6,＋∞)√1234567891011121314答案1234567891011121314因为幂函数f(x)＝(m2－5m＋5)xm－2是R上的偶函数,则m2－5m＋5＝1,解得m＝1或m＝4,当m＝1时,f(x)＝x－1,该函数是定义域为{x|x≠0}的奇函数,不符合题意；当m＝4时,f(x)＝x2,该函数是定义域为R的偶函数,符合题意.所以f(x)＝x2,则g(x)＝x2－(2a－6)x,其对称轴方程为x＝a－3,因为g(x)在区间[1,3]上单调递减,则a－3≥3,解得a≥6.答案5.已知m>1,点(1－m,y1),(m,y2),(m＋1,y3)都在二次函数y＝x2－2x的图象上,则A.y1<y2<y3

B.y3<y2<y1C.y1＝y3<y2

D.y2<y1＝y3√1234567891011121314答案1234567891011121314二次函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1,其图象的对称轴方程为x＝1,而(1－m)＋(1＋m)＝2,所以f(1－m)＝f(1＋m),即y1＝y3,当x>1时,f(x)单调递增,因为m>1,所以m＋1>m>1,所以f(m＋1)>f(m),即y2<y3,综上,y2<y1＝y3.答案6.已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(2,2),且截x轴所得线段的长度是4,将函数f(x)的图象向右平移2个单位长度,得到抛物线y＝g(x)的图象,则抛物线y＝g(x)的图象与y轴的交点坐标为A.(0,－8) B.(0,－6)C.(0,－2) D.(0,0)√1234567891011121314答案

1234567891011121314答案二、多项选择题7.幂函数f(x)＝(2m2＋m－2)xm－3,m∈N*,则下列结论正确的有A.m＝1B.函数f(x)在定义域内单调递减C.f(－2)<f(3)D.函数f(x)的值域为(0,＋∞)1234567891011121314√答案√

1234567891011121314答案8.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分,其对称轴是直线x＝－1,且过点(－3,0),下列说法正确的是A.abc<0B.2a－b＝0C.3a＋c＝0D.若(－5,y1),(3,y2)是抛物线上两点,则y1>y2√1234567891011121314答案√√1234567891011121314答案

三、填空题9.(2024·南京模拟)已知函数f(x)＝x2＋mx,若∀x∈R,f(1－x)＝f(1＋x),则m＝

.

1234567891011121314答案－2

1234567891011121314答案a1<a2<a31234567891011121314答案

1234567891011121314答案1234567891011121314答案

(2)求满足(2a＋1)－m<(3－2a)－m的实数a的取值范围.1234567891011121314答案

12.已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)＝f(2)＝3.(1)求f(x)的解析式；1234567891011121314答案由题意,函数f(x)是二次函数,且f(0)＝f(2),可得函数f(x)的对称轴为直线x＝1,又由最小值为1,可设f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0),又f(0)＝3,即a(0－1)