重难点解析北师大版9年级数学上册期末试卷附参考答案详解【研优卷】

北师大版9年级数学上册期末试卷考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题24分）一、单选题（6小题，每小题2分，共计12分）1、若点在双曲线上，则该图象必过的点是（

）A． B． C． D．2、如图，正比例函数和反比例函数的图象在第一象限交于点且则的值为（

）A． B． C． D．3、如图，在矩形中，，，是矩形的对称中心，点、分别在边、上，连接、，若，则的值为（

）A． B． C． D．4、如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．5、如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，连结AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，则四边形EMFN是()A．梯形 B．菱形C．矩形 D．无法确定6、已知是方程的一个解，则的值为（

）A．10 B．－10 C．2 D．－40二、多选题（6小题，每小题2分，共计12分）1、如图，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，一次函数的图象经过点A．下列结论正确的是（

）A． B．点B的坐标为C．连接OB，则D．点C为y轴上一动点，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是2、下列命题中的真命题是（

）A．矩形的对角线相等 B．对角线相等的四边形是矩形C．菱形的对角线互相垂直平分 D．对角线互相垂直的四边形是菱形3、如图，△ABC中，D在AB上，E在AC上，下列条件中，不能判定DE∥BC的是（

）．A． B．C． D．4、（多选）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于D于点O，点P为线段AC上一点，连接BP，过点P作交AD于点E，连接BE，若，，下列说法正确的有（

）A． B． C． D．5、在直角坐标系中，已知点A(6，﹣3)，以原点O为位似中心，相似比为，把线段OA缩小为OA′，则点A′的坐标为（

）A．(﹣2，﹣1) B．(﹣2，1) C．(2，1) D．(2，﹣1)6、（多选）若数使关于的一元二次方程有两个不相等的实数解，且使关于的分式方程的解为非负整数，则满足条件的的值为（

）A．1 B．3 C．5 D．7第Ⅱ卷（非选择题76分）三、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、如图，边长为4的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图像均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和是________．2、如图，在边长为1的正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上则下列结论：①CE=CF：②∠AEB=75°；③S△EFC=1；④，其中正确的有______（用序号填写）3、如图，将矩形的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙重叠的四边形，若，，则边的长是____．4、如图是用杠杆撬石头的示意图，是支点，当用力压杠杆的端时，杠杆绕点转动，另一端向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的端必须向上翘起，已知杠杆的动力臂与阻力臂之比为6：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端向下压______．5、在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），D，E分别是线段AO，AB上的点，以DE所在直线为对称轴，把△ADE作轴对称变换得△A′DE，点A′恰好在x轴上，若△OA′D与△OAB相似，则OA′的长为________.（结果保留2个有效数字）6、如图，点E是菱形ABCD边AB的中点，点F为边AD上一动点，连接EF，将△AEF沿直线EF折叠得到△A'EF，连接A'D，A'C．已知BC＝4，∠B＝120°，当△A'CD为直角三角形时，线段AF的长为______．7、《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端D观察水岸C，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么井深为______米．8、关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是__________．四、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根．(1)若这个方程有一个根为-1，求m的值；(2)若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m的取值范围；(3)已知Rt△ABC的一边长为7，x1，x2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m的值．2、解关于y的方程：by2﹣1＝y2+2．3、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，∠BAC=90°）．（1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积、、之间的数量关系是（

）．（2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积、、之间的数量关系是（

），请说明理由．（3）如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＋∠BCD=90°，BC=2AD，分别以AB、CD、AD、BC为边向四边形外作正方形，其面积分别为、、、，则、、、之间的数量关系式为（），请说明理由．4、如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．①计算小亮在路灯D下的影长；②计算建筑物AD的高．5、已知关于的方程有实根．（1）求的取值范围；（2）设方程的两个根分别是，，且，试求的值．6、如图,在△ABC中,AB=AC，点P在BC上．(1)求作:△PCD,使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC，求证:PD//AB．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】把已知点代入反比比例函数解析式求出k，然后判断各选项点的坐标是否符合即可．【详解】解：∵点（2，3）在上，∴k=2×3=6，A选项1×6=k，符合题意；故选：A．【考点】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入计算即可．2、D【解析】【分析】根据点在直线正比例函数上，则它的坐标应满足直线的解析式，故点的坐标为．再进一步利用了勾股定理，求出点的坐标，根据待定系数法进一步求解．【详解】解：作轴于．设A点坐标为，在中，即，解得（舍去）、；∴点坐标为，将代入数得：．故选：．【考点】此题考查了正比例函数图象上点的坐标特征和用待定系数法求函数解析式，构造直角三角形求出点A坐标是解题关键，构思巧妙，难度不大．3、D【解析】【分析】连接AC，BD，过点O作于点，交于点，利用勾股定理求得的长即可解题．【详解】解：如图，连接AC，BD，过点O作于点，交于点，四边形ABCD是矩形，同理可得故选：D．【考点】本题考查中心对称、矩形的性质、勾股定理等知识，学会添加辅助线，构造直角三角形是解题关键．4、B【解析】【分析】根据菱形的中心对称性，A、C坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可．【详解】∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点，∴A、C坐标关于原点对称，∴C的坐标为，故选C．【考点】本题考查了菱形的中心对称性质，原点对称，熟练掌握菱形的性质，关于原点对称点的坐标特点是解题的关键．5、B【解析】【分析】求出四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，根据平行四边形的性质得出BE∥FD，即ME∥FN，同理可证EN∥MF，得出四边形EMFN为平行四边形，求出ME=MF，根据菱形的判定得出即可．【详解】连接EF．∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵E，F分别为AD，BC中点，∴AE∥BF，AE=BF，ED∥CF，DE=CF，∴四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，∴BE∥FD，即ME∥FN，同理可证EN∥MF，∴四边形EMFN为平行四边形，∵四边形ABFE为平行四边形，∠ABC为直角，∴ABFE为矩形，∴AF，BE互相平分于M点，∴ME=MF，∴四边形EMFN为菱形．故选B．【考点】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，综合性比较强．6、B【解析】【分析】将a代入方程得到，再将其整体代入所求代数式即可得解．【详解】∵a是方程的一个解，∴有，即，，∴，故选：B．【考点】本题考查了一元二次方程的解的定义，此类题的特点是利用方程的解的定义找到相等关系，再将其整体代入所求代数式，即可快速作答，盲目解一元二次方程求a值再代入计算，此方法耗时费力不可取．二、多选题1、AC【解析】【分析】联立求得的坐标，然后根据待定系数法即可求解反比例函数解析式，然后可得点B的坐标，则有根据割补法进行求解三角形面积，进而根据轴对称的性质可求解当△ABC的周长最小时点C的坐标【详解】解：联立，解得，点坐标为．将代入，得．．反比例函数的表达式为；∴联立，解得或．．在中，令，得．故直线与轴的交点为．如图，过、两点分别作轴的垂线，交轴于、两点，则．过点A作y轴的对称点D，连接BD，交y轴于点C，此时△ABC的周长为最小，如图所示：∴，设直线BD的解析式为，则有：，解得：，∴直线BD的解析式为，令x=0时，则有，∴；综上所述：正确的有AC选项；故选AC【考点】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，体现了方程思想，数形结合是解题的关键．2、AC【解析】【分析】根据菱形的判定与性质，矩形的判定和性质即可进行判断．【详解】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题，不符合题意；C、菱形的对角线互相垂直平分，是真命题，符合题意；D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是假命题，不符合题意；故选AC．【考点】本题考查了，矩形的判定，菱形的判定与性质，解题的关键是掌握所学的定理．3、BCD【解析】【分析】利用各选项给定的条件，结合再证明,可得,逐一分析各选项，从而可得答案．【详解】解：A、而则故A不符合题意；B、与不一定相似，则与不一定相等，不一定平行，故B符合题意；C、，而而不一定相等，故不一定平行，故C符合题意；D、与不一定相似，则与不一定相等，不一定平行，故D符合题意；故选：BCD．【考点】本题考查的是相似三角形的判定与性质，平行线的判定，掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．4、ABC【解析】【分析】由∠DBP+∠BPO=90°，∠APE+∠BPO=90°，可判断结论A正确；过P作PK⊥AD于K，PT⊥AB于T，证明△PKE≌△PTB（ASA），可判定结论B正确；延长KP交BC于M，可得△CPM是等腰直角三角形，CP=PM=CP=1，即可得AE=AD-DK-KE=4，判断结论C正确；在Rt△BPM中，BP=，可得S△PBE=BP•PE=13，可判断结论D错误．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOP=90°，∴∠DBP+∠BPO=90°，∵PE⊥PB，∴∠APE+∠BPO=90°，∴∠APE=∠DBP，故结论A正确；过P作PK⊥AD于K，PT⊥AB于T，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC，又PK⊥AD，PT⊥AB∴PK=PT，∵∠KPT=90°=∠EPB，∴∠KPE=∠BPT，∵∠PKE=90°=∠PTB，∴△PKE≌△PTB（ASA），∴PE=PB，故结论B正确；延长KP交BC于M，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠ACB=45°，∴PM⊥BC，∴△CPM是等腰直角三角形，∴CP=PM=CP=1，∴DK=CM=1，KE=PM=1，∴AE=AD-DK-KE=4，故结论C正确；∵BC=6，CM=1，∴BM=5，在Rt△BPM中，BP==，∴PE=BP=，∴S△PBE=BP•PE=13，故结论D错误，故选：ABC．【考点】本题考查正方形的性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质及应用等知识，解题的关键是作辅助线，证明△PKE≌△PTB．5、BD【解析】【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k解答．【详解】解：∵点A的坐标为（−6，3），以原点为位似中心将△ABO缩小，位似比为，∴点A的对应点的坐标为：（−6×，3×）或（−6×（−），3×（−）），即（−2，1）或（2，−1），故选：BD．【考点】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．6、AC【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式及分式有意义的条件和分式方程的解为非负整数分别求出a的取值范围，即可得答案．【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数解，∴，解得：，∵，∴，解得：，∵关于的分式方程的解为非负整数，∴且，解得：且，∴且a≠3，∵是整数，∴a=1或5，故选：AC．【考点】本题考查一元二次方程根的判别式、解分式方程及分式有意义的条件，正确得出两个不等式的解集是解题关键，注意分式的分母不为0的隐含条件，避免漏解．三、填空题1、8【解析】【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，且AB∥x轴，BC∥y轴，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积．【详解】解：根据题意：观察图形可得，图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O顺时针旋转90°，正好和以A、C为顶点的小空白部分重合，所以阴影的面积是图中正方形面积的一半，且AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数与的图象均与正方形ABCD的边相交，而边长为4的正方形面积为16，所以图中的阴影部分的面积是8．故答案为：8．【考点】本题主要考查反比例函数图象和性质的应用，关键是要分析出其图象特点，再结合性质作答．2、①②④【解析】【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据等边三角形的边长求得直角三角形的边长，从而求得面积③的正误，根据勾股定理列方程可以判断④的正误．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC-BE=CD-DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；∵正方形ABCD的边长为1，③说法错误，∵∠AEB=75°，∠AEF=60°，∴∠CEF=45°，∴△CEF是等腰直角三角形，设BE=DF=x，∴CE=CF=1-x，（不合题意，舍去），∴EF=；④说法正确；∴正确的有①②④．故答案为①②④．【考点】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大．3、【解析】【分析】由折叠的性质和矩形的性质可得∠HEF=90°，EA=EB=3，证明△HNG≌△FME，求出HF，设AH=x，在△AEH，△BEF和△EFH中，利用勾股定理列出方程，求出x，即可得到EH．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，由折叠可知：△EAH≌△EMH，△HNG≌△HDG，△FBE≌△FME，∴EA=EM，AH=MH，HD=HN，EB=EM，FB=FM，∠AEH=∠MEH，∠BEF=∠MEF，∠BME=∠B=90°，∠HNG=∠D=90°，∴EA=EB=AB=3，∵∠AEH+∠MEH+∠BEF+∠MEF=180°，∴2∠MEH+2∠MEF=180°，∴∠HEF=90°，同理可知：∠EHG=∠EFG=∠HGF=90°，∴四边形EHGF是矩形，∴HG∥FE，HG=FE，∴∠GHN=∠EFM，在△HNG和△FME中，，∴△HNG≌△FME（AAS），∴HN=FM，∴HD=FM，∴HF=HM+FM=AH+HD=AD=10，设AH=x，则HD=FM=FB=10-x，∵，，，∴，即，解得：x=1或x=9（舍），∴AH=1，∴，故答案为：．【考点】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键．4、60【解析】【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点A向下压的长度．【详解】解：如图；AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；易知：△ACM∽△BCN；∴，∵AC与BC之比为6：1，∴，即AM=6BN；∴当BN≥10cm时，AM≥60cm；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A向下压60cm．故答案为：60．【考点】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确的构造相似三角形是解题的关键．5、2.0或3.3【解析】【分析】由点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），可得OA=5，OB=7，AB=4，然后分别由△OA′D∽△OAB与△OA′D∽△OBA，根据相似三角形的对应边成比例，即可得答案．【详解】∵点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），∴OA==5，OB=7，AB==4，若△OA′D∽△OAB，则，设AD=x，则OD=5﹣x，A′D=x，即，解得：x≈2.2，∴，∴OA′=2.0；若△OA′D∽△OBA，则，同理：可得：OA′≈3.3．故答案为2.0或3.3．【考点】此题考查了相似三角形的性质与折叠的知识．注意数形结合与方程思想的应用，小心别漏解是解题关键．6、2或【解析】【分析】分当时和当时两种情况讨论求解即可．【详解】解：如图1所示，当时，取CD中点H，连接，∴，∵四边形ABCD是菱形，E为AB中点，∴，∠A=180°-∠B=60°，，由折叠的性质可知，，∴，连接EH，∵，∴四边形AEHD是平行四边形，∴，，∵由三角形三边的关系可知，当点不在线段EH上时，必有，这与矛盾，∴E、、H三点共线，∴，∴△AEF为等边三角形，∴；如图2所示，当时，连接BD，ED，过点F作FG⊥AB于G，∵∠ABC=120°，四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∵E是AB中点，∴DE⊥AB，∴∠ADE=30°，∴∠EDC=90°，∴此时三点共线，由翻折的性质可得，∵FG⊥AE，∠A=60°，∠AEF=45°，∴∠AFG=30°，∠GFE=45°，∴AF=2AG，EG=FG，∴，∵，∴，∴，故答案为：2或．【考点】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形三边的关系，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．7、7【解析】【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∵米，米，米，∴，解得米，故井深AC为7米．【考点】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．8、-3【解析】【分析】由题意可把x=2代入一元二次方程进行求解a的值，然后再进行求解方程的另一个根．【详解】解：由题意把x=2代入一元二次方程得：，解得：，∴原方程为，解方程得：，∴方程的另一个根为-3；故答案为-3．【考点】本题主要考查一元二次方程的解及其解法，熟练掌握一元二次方程的解及其解法是解题的关键．四、解答题1、(1)m的值为1或-2(2)-2＜m＜1(3)m＝或m＝【解析】【分析】（1）把x=-1代入方程，列出m的一元二次方程，求出m的值；（2）首先用m表示出方程的两根，然后列出m的不等式组，求出m的取值范围；（3）首先用m表示出方程的两根，分直角△ABC的斜边长为7或2m+3,根据勾股定理求出m的值.(1)解：∵x1，x2是一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根，这个方程有一个根为-1，∴将x＝-1代入方程x2-4mx+4m2-9＝0，得1+4m+4m2-9＝0．解得m＝1或m＝-2．∴m的值为1或-2．(2)解：∵x2-4mx+4m2＝9，∴(x-2m)2＝9，即x-2m＝±3．∴x1＝2m+3，x2＝2m-3．∵2m+3＞2m-3，∴解得-2＜m＜1．∴m的取值范围是-2＜m＜1．(3)解：由(2)可知方程x2-4mx+4m2-9＝0的两根分别为2m+3，2m-3．若Rt△ABC的斜边长为7，则有49＝(2m+3)2+(2m-3)2．解得m＝±．∵边长必须是正数，∴m＝．若斜边为2m+3，则(2m+3)2＝(2m-3)2+72．解得m＝．综上所述，m＝或m＝．【考点】本题主要考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是熟练掌握根与系数关系以及根的判别式的知识，此题难度一般.2、当b＞1时，原方程的解为y＝±；当b≤1时，原方程无实数解．【解析】【分析】把b看做常数根据解方程的步骤：先移项，再合并同类项，系数化为1，即可得出答案．【详解】解：移项得：by2﹣y2＝2+1，合并同类项得：（b﹣1）y2＝3，当b＝1时，原方程无解；当b＞1时，原