成都理工大学附中2025高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测：空间几何体

第页成都理工大学附中2025高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测：空间几何体本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．向量=(－2,－3,1),=(2,0,4),=(－4,－6,2),下列结论正确的是()A．∥,⊥ B．∥,⊥C．∥,⊥ D．以上都不对【答案】C2．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：）可得这个几何体的体积为()A． B． C． D．【答案】D3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，底面边长为2的等腰三角形，那么原平面图形的面积是()A． B． C． D．【答案】C4．给出下列命题：①底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等；②棱台的各侧棱不一定相交于一点；③如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行，则连结它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台；④圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线.其中正确的个数为()A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C5．已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线上的动点，则两点的最短距离是()A． B． C．3 D．【答案】B6．正三棱锥P-ABC的三条棱两两互相垂直,则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为()A．1:3 B．1: C． D．【答案】D7．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为()A．75° B．60° C．45° D．30°【答案】C8．下列命题中正确的是()A．若a∥a，a⊥b，则a⊥b B．a⊥b，b⊥g，则a⊥gC．a⊥a，a⊥b，则a∥b D．a∥b，aÌa则a∥b【答案】D9．平面的一个法向量为，则y轴与平面所成的角的大小为()A． B． C． D．【答案】B10．如图，正方体的棱长为1，O是底面的中心，则O到平面的距离为()A． B． C． D．【答案】B11．已知空间四边形ABCD的对角线为AC、BD，设G是CD的中点，则＋等于()A． B． C． D．【答案】A12．下列正确命题个数是：①梯形的直观图可能是平行四边形②三棱锥中，四个面都可以是直角三角形③如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，这个棱锥不可能是六棱锥④底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥。⑤底面是矩形的平行六面体是长方体()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是条【答案】614．已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，点E是上底面A1B1C1D1（包括边界）内的任一点，若满足的关系式为：。【答案】15．已知点A(-2,3,4),在y轴上求一点B,使|AB|=7,则点B的坐标为【答案】(0,16．给出下列命题：①已知，则；②为空间四点，若不构成空间的一个基底，那么共面；③已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底；④若共线，则所在直线或者平行或者重合．正确的结论为【答案】①②④三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．在如图的多面体中，⊥平面，,，，，，，是的中点．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求证：；(Ⅲ)求二面角的余弦值.【答案】(Ⅰ)∵，又∵,是的中点，∴四边形是平行四边形，∵平面，平面，∴平面.(Ⅱ)解法1证明：∵平面，平面，又，平面，∴平面.过作交于，则平面.∵平面，∴.∵，∴四边形平行四边形，∴，又，∴四边形为正方形，又平面，平面,∴⊥平面.∵平面,解法2∵平面，平面，平面，∴，，又,∴两两垂直.以点E为坐标原点，分别为轴建立如图的空间直角坐标系.由已知得，（0，0，2），（2，0，0），（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），（2，2，0）.(Ⅲ)由已知得是平面的法向量.设平面的法向量为，∵，∴，即，令,得.设二面角的大小为，则，∴二面角的余弦值为18．如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，AD＝CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点．(1)证明：PA∥平面BDE；(2)证明：平面PAC⊥平面PDB.【答案】(1)如图，连结AC，交BD于O，连结OE.∵DB平分∠ADC，AD=CD，∴AC⊥BD且OC=OA.又∵E为PC的中点，∴OE∥PA，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE.(2)由(1)知AC⊥DB，∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD，∵PD，BD⊂平面PDB，PD∩DB=D，∴AC⊥平面PDB，又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PDB.19．四面体D-ABC,中，AB=BC,在侧面DAC中，中线AN⊥中线DM，且DB⊥AN(1）求证：平面ACD⊥平面ABC；(2）若AN=4，DM=3，BD=5，求四面体D-ABC的体积。【答案】(1)且又且为中点(2)过作,设则又,20．如图，平行四边形中，，正方形所在的平面和平面垂直，是的中点，是的交点.(1）求证：平面；(2）求证：平面．【答案】⑴是的交点，∴是中点，又是的中点，∴中，，又∵∴平面⑵平面平面，交线为，∴平面，又∵，21．如图，已知AB⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点。(I）求证：AF//平面BCE；(II）求证：平面BCE⊥平面CDE；(III）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小。【答案】（I）取CE中点P，连结FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP//DE，且FP=又AB//DE，且AB=∴AB//FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP。又∵AF平面BCE，BP平面BCE，∴AF//平面BCE。(II）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD。∵AB⊥平面ACD，DE//AB，∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，∴DE⊥AF。又AF⊥CD，CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE。又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。又∵BP平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE。(III）由（II），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2，则C（0，—1，0），显然，为平面ACD的法向量。设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°。22．如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1，B，M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.(Ⅰ）求证：EM∥平面A1B1C1D1；(Ⅱ）求二面角B—A1N—B1的正切值.【答案】解法一：(Ⅰ）证明：取A1B1的中点F，连EF，C1F∵E为A1B中点∴EF∥BB1又∵M为CC1中点∴EF∥C1M∴四边形EFC1M为平行四边形∴EM∥FC1而EM平面A1B1C1D1.FC1平面A1B1C1D1.∴EM∥平面A1B1C1D1(Ⅱ）由（Ⅰ）EM∥平面A1B1C1D1EM平面A1BMN平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N∴A1N//EM//FC1∴N为C1D1中点过B1作B1H⊥A1N于H，连BH，根据三垂线定理BH⊥A1N∠BHB1即为二面角B—A1N—B1的平面角设AA1=a，则AB=2a，∵A1B1C1D1为正方形∴A1H=又∵△A1B1H∽△NA1D1∴B1H=在Rt△BB1H中，tan∠BHB1=即二面角B—A1N—B1的正切值为解法二:(Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2a,AA1=a(a>0)，则A1（