重难点解析鲁教版（五四制）7年级数学下册期末试卷（培优A卷）附答案详解

鲁教版（五四制）7年级数学下册期末试卷考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（10小题，每小题2分，共计20分）1、下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）A．a＝5，b＝12，c＝13 B．a：b：c＝3：4：5C．∠A+∠B＝80° D．∠A：∠B：∠C＝1：1：22、下列命题错误的个数有（）①实数与数轴上的点一一对应；②无限小数就是无理数；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3、如图，已知直角三角形ABC中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个4、已知为整数，且满足，则的值为（）A．5 B．6 C．25 D．265、如图，在等边三角形中，为边上的高，与的平分线交于点.已知的面积为2，则的面积为（）A．18 B．12 C．9 D．66、下列事件中，属于必然事件的是（）A．购买一张彩票，中奖B．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，神奇C．篮球队员在罚球线投篮一次，投中D．实心铅球投入水中，下沉7、在中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（）A． B． C． D．8、下列命题是假命题得是（）A．对顶角相等B．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等C．同位角相等D．等腰三角形两腰上的高线相等9、下列各组图形中是全等三角形的一组是（）A． B．C． D．10、下列命题是真命题的是（）A．如果数，的积，那么，都是正数B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C．有公共点的两个角是对顶角D．两直线平行，同旁内角互补第Ⅱ卷（非选择题80分）二、填空题（10小题，每小题2分，共计20分）1、明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）．这个问题中共有__________两银子．2、如图，在中，，，过点作于，交于点，于，，，，的周长为__．3、如果一个等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，那么此三角形的周长为________cm．4、如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是_______．5、如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=___．6、某视听节目从200名打通热线电话的听众中抽取10名“幸运听众”，则打通一次热线电话的听众成为“幸运听众”的概率是__________．7、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是___．8、如图，M为∠AOB内一定点，E、F分别是射线OA、OB上一点，当MEF周长最小时，若∠OME＝40°，则∠AOB＝_____．9、如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．已知∠ADC＝120°，∠ABC＝60°，小婵同学得到如下结论：①△ABC是等边三角形；②BD＝2AD；③S四边形ABCD＝AC•BD；④点M、N分别在线段AB、BC上，且∠MDN＝60°，则MN＝AM+CN，其中正确的结论有_____．（填写所有正确结论的序号）10、如图，在四边形BCEF中，BF∥AD∥CE，S△ABC＝3，则△DEF的面积是___．三、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P沿射线AB运动，点Q沿折线BC-CA运动，且它们的速度都为1cm/s．当点Q到达点A时，点P随之停止运动．连接PQ，PC，设点P的运动时间为t（s）．(1)当点Q在线段BC上运动时，BQ的长为（cm），BP的长为（cm）（用含t的式子表示）；(2)当PQ与△ABC的一条边垂直时，求t的值；(3)在运动过程中，当△CPQ是等腰三角形时，直接写出t的值．2、如图，点A在射线CE上，AD∥BC，∠C=∠D．求证：BD∥AC．3、如图，在中，，BE平分，AD为BC边上的高，且．(1)求证：(2)试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．4、已知，如图，，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．(1)求证：；(2)连接CE，若CE平分∠BCF，求∠FEC的度数．5、如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：(1)∠AEB的度数为；(2)线段AD、BE之间的数量关系是．(3)当点A、D、E不在同一直线上，∠AEB的度数会发生变化吗？（填写“变化”或“不变”）．6、如图，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，BC＝6，D为直线BC上一动点（不与点B、点C重合），向AB的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．(1)当点D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAE；(2)在（1）的条件下，当AC⊥DE时，求BD的长；(3)当CE∥AB时，若△ABD中有最小的内角为23°，试求∠AEC的度数．（直接写结果，无需写出求解过程）-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断选项A和选项B，根据三角形的内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C和选项D．【详解】解：A．∵a=5，b=12，c=13，∴a2+b2=52+122=25+144=169，c2=132=169，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵a：b：c=3：4：5，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵∠A+∠B=80°，∴∠C=180°-（∠A+∠B）=100°＞90°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；D．∵∠A：∠B：∠C=1：1：2，∠A+∠B+∠C=180°，∴最大角∠C=×180°=90°，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理是解此题的关键．2、B【解析】【分析】根据实数与数轴的关系可判断①为真命题；根据无理数定义可判断②为假命题；根据三角形的一个外角性质可判断③为真命题；根据平行线性质可判断④为假命题即可．【详解】解：实数与数轴上的点一一对应，所以①为真命题；无限不循环小数是无理数，所以②为假命题；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，所以③为真命题；两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，所以④为假命题；∴命题不正确的有两个．故选：B．【点睛】本题考查实数与数轴的关系，无理数定义，三角形外角性质，平行线性质，掌握实数与数轴的关系，无理数定义，三角形外角性质，平行线性质是解题关键．3、B【解析】【分析】分三种情况讨论：画出符合题意的图形，从而可得答案.【详解】解：如图，当时，为等腰三角形，当时，为等腰三角形，当时，而所以是等边三角形，当时，为等腰三角形，符合条件的点有5个，故选B【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，等边三角形的判定，清晰的分类讨论是解本题的关键.4、C【解析】【分析】由可得关于a的一元一次不等式组，得出24＜＜26，即可得出a的值．【详解】解：∵，∴，∴24＜＜26，∵为整数，∴a＝25．故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，估算无理数的大小，得出a的取值范围是解题的关键．5、B【解析】【分析】在等边三角形中，为边上的高，可知，EC为的角平分线，可知，可知为等腰三角形，可知．在中，，所以，在和中，高相等，所以，所以．【详解】∵等边三角形中，是边上的高，∴．∵EC为的角平分线，∴．∴∴为等腰三角形，∴．在中，，∴，在和中，高相等，∴，在等边三角形中，是边上的高，∴是的垂直平分线（三线合一）∴，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查了等边三角形三线合一的性质，还需要记住角所对的直角边是斜边的一半，灵活的运用三角形面积公式，通过高和底的比确定面积的比例，最终轻松求解．6、D【解析】【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．【详解】A.购买一张彩票，中奖，是随机事件，不符合题意；B.从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，神奇，是不可能事件，不符合题意；C.篮球队员在罚球线投篮一次，投中，是随机事件，不符合题意；D.实心铅球投入水中，下沉，是必然事件，符合题意；故选D【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．7、A【解析】【分析】根据垂线段最短解答即可．【详解】解：∵线段AP是BC边上在的高线，∴根据垂线段最短得：PA≤AQ，PA≤AR，故选：A．【点睛】本题考查三角形的高、中线和角平分线、垂线段最短等知识，熟练掌握垂线段最短是解答的关键．8、C【解析】【分析】根据对顶角相等，垂直平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的对称性逐项分析判断即可．【详解】解：A.对顶角相等，故该选项是真命题，不符合题意；B.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故该选项是真命题，不符合题意；C.两直线平行，同位角相等，故该选项是假命题，符合题意；D.等腰三角形两腰上的高线相等，故该选项是真命题，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了判断真假命题，掌握对顶角相等，垂直平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的对称性是解题的关键．9、B【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【详解】解：A．不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；B．符合全等三角形的判定定理SAS，能推出两三角形全等，故本选项符合题意；C．只有一个角相等，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；D．只有一条边相等，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．10、D【解析】【分析】根据有理数乘积的符号确定，平行线的性质，对顶角的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A、如果数，的积，那么，同号，则本选项是假命题，故本选项不符合题意；B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，则本选项是假命题，故本选项不符合题意；C、因为有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，所以有公共点的两个角不一定是对顶角，则本选项是假命题，故本选项不符合题意；D、两直线平行，同旁内角互补，则本选项是真命题，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了有理数乘积的符号确定，平行线的性质，对顶角的定义，判断命题的真假，熟练掌握有理数乘积的符号确定方法，平行线的性质定理，有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角是解题的关键．二、填空题1、46【解析】【分析】根据题意，列二元一次方程组并求解，即可得到答案．【详解】根据题意，设分银子的人数为：x人，银子总共有y两∴②-①，得：移项并合并同类项，得：∴故答案为：46．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法，从而完成求解．2、【解析】【分析】由等边对等角解得，再根据两直线平行内错角相等得到，继而得到，接着证明，由全等三角形对应边相等解得，最后根据线段的和差解题．【详解】解：，，，，，，，，在与中，，，，的周长，故答案为：11．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证得是解题的关键．3、15【解析】【分析】先根据三角形的三边关系判断出等腰三角形另一边的长，再根据周长公式即可得出结论．【详解】解：当等腰三角形的另一边为6cm时，6-3＜6＜6+3，符合三角形的三边关系，此三角形的周长=6+6+3=15（cm）；当等腰三角形的另一边为3cm时，3+3=6，不符合三角形的三边关系，故此种情况不存在．故答案为：15．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．4、【解析】【分析】过点作，，根据平行线的性质，可得，，，继而可得，化简即可求得关系式．【详解】解：如图，过点作，，，，即故答案为：【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质是解题的关键．5、2【解析】【分析】过P点作PE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得到PE=PD，再利用平行线的性质得到∠PCE=∠AOB=30°，接着根据含30度的直角三角形三边的关系得到PE=PC=2，从而得到PD的长．【详解】解：过P点作PE⊥OB于E，如图，∵∠AOP=∠BOP=15°，∴OP平分∠AOB，∠AOB=30°，而PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD，∵PC∥OA，∴∠PCE=∠AOB=30°，∴PE=PC=×4=2，∴PD=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度的直角三角形的性质和平行线的性质．6、【解析】【分析】某视听节目从200名打通热线电话的听众中抽取10名“幸运听众”，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：∵某视听节目从200名打通热线电话的听众中抽取10名“幸运听众”，∴打通一次热线电话的听众成为“幸运听众”的概率是：＝．故答案为：．【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．7、4【解析】【分析】作于，先利用角平分线的性质得到，再根据即可得．【详解】解：如图，作于，平分，，，，，解得，故答案为：4．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．8、50°##50度【解析】【分析】分别作关于的对称点，连接,当分别为与的交点时，MEF周长最小，进而根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求得．【详解】分别作关于的对称点，连接,当分别为与的交点时，MEF周长最小，连接，,，，，对称，，，∠OME＝40°，，，．故答案为：50°【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边对等角，轴对称的性质，根据轴对称求线段和最短，掌握轴对称的性质是解题的关键．9、故答案为：70或1【点睛】此题主要考查三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用，熟练掌握这两个定理是解决问题的关键．10．①②④【解析】【分析】由“筝形”的性质可得AB=BC，AD=CD，可证△ABC是等边三角形，故①正确；由“SSS”可证△ABD≌△CBD，可得∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠BDC=60°，由直角三角形的性质可得BD=2AD，故②正确；由面积关系可求S四边形ABCD=×AC×BD，故③错误；延长BC到E，使CE=AM，连接DE，由“SAS”可证△MDN≌△EDN，可得MN=EN，由线段和差关系可得MN=AM+CN，故④正确，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是“筝形”四边形，∴AB=BC，AD=CD，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，故①正确；∴∠BAC=∠BCA=60°，∵AD=CD，∠ADC=120°，∴∠DAC=∠DCA=30°，∴∠DAB=90°，∵AD=CD，AB=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠BDC=60°，∴BD=2AD，故②正确；∵∠DOC=∠DAC+∠ADB=60°+30°=90°，∴AC⊥BD，∵S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB，∴S四边形ABCD=×AC×OD+×AC×OB=×AC×BD，故③错误；延长BC到E，使CE=AM，连接DE，如图所示：∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠DAB=∠DCE=90°，又∵AM=CE，AD=CD，∴△ADM≌△CDE（SAS），∴∠ADM=∠CDE，DM=DE，∵∠ADC=120°，∵∠MDN=60°，∴∠ADM+∠CDN=∠ADC-∠MDN=60°，∴∠CDE+∠CDN=∠EDN=60°，∴∠EDN=∠MDN，又∵DN=DN，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=EN，∵EN=CE+CN=AM+CN，∴AM+CN=MN，故④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．10、6【解析】【分析】根据题意利用平行线间距离即所有垂线段的长度相等，可以求得S△ADF=S△ABD，S△ADE=S△ACD，S△CEF=S△BCE，利用面积相等把S△DEF转化为已知△ABC的面积，即可求解．【详解】解：∵BF∥AD∥CE，∴S△ADF=S△ABD，S△ADE=S△ACD，S△CEF=S△BCE，∴S△AEF=S△CEF-S△ACE=S△BCE-S△ACE=S△ABC，S△DEF=S△ADF+S△ADE+S△AEF=S△ABD+S△ACD+S△ABC=S△ABC+S△ABC=2S△ABC=2×3=6，故答案为：6．【点睛】本题考查平行线的推论，注意掌握平行线间距离即所有垂线段的长度相等并利用三角形面积相等，把S△DEF转化为已知△ABC的面积．三、解答题1、(1)t，6-t；(2)满足条件的t的值为2或4或8；(3)满足条件的t的值为3．【解析】【分析】（1）根据路程，时间，速度关系求解即可；（2）分三种情形：如图1中，当PQ⊥BC时，如图2中，当QP⊥AB时，同法可得QB=2BQ，如图3中，当PQ⊥AC时，同法可得AP=2AQ，分别求解即可；（3）如图4-1中，过点C作CT⊥AB他点T，高点Q作QH⊥AB于点H．分别用t表示出PC2，PQ2，分别构建方程求解；如图4-2中，当PQ=PC时，过点P作PT⊥AC于T，构建方程求解．(1)解：由题意BQ=tcm，PB=（6-t）cm．故答案为：t，6-t；(2)解：如图1中，当PQ⊥BC时，∵∠PQB=90°，∠B=60°，∴∠BPQ=30°，∴PB=2BQ，∴6-t=2t，∴t=2；如图2中，当QP⊥AB时，同法可得QB=2BQ，∴t=2（6-t），∴t=4；如图3中，当PQ⊥AC时，同法可得AP=2AQ，∴t=2（12-t），∴t=8，综上所述，满足条件的t的值为2或4或8；(3)（3）如图4-1中，过点C作CT⊥AB他点T，高点Q作QH⊥AB于点H．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°．∵CT⊥AB，∴AT=TB=3，∴CT=，∴PC2=（3）2+（3-t）2，∵QB=t，∠QHB=90°，∠B=60°，∴∠HQB=30°，∴BH=BQ=t，QH=t，∴PQ2=（t）2+（6-t-t）2，当PC=CQ时，（3）2+（3-t）2=（6-t）2，∴t=0（不合题意舍去）．当PC=PQ时，（3）2+（3-t）2=（t）2+（6-t-t）2，解得t=0或6（都不合题意舍去），当CQ=PQ时，（t）2+（6-t-t）2=（6-t）2，∴t=3或0（0不合题意舍去），如图4-2中，当PQ=PC时，过点P作PT⊥AC于T，∵PC=PQ，PT⊥CQ，∴CT=QT，∴AT-AQ=CQ，∴（6+t）-（12-t）=（t-6），∴t=6（不符合题意舍去），综上所述，满足条件的t的值为3．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．2、见解析【解析】【分析】根据AD∥BC，可得∠DAE=∠C，再根据∠C=∠D，即可得到∠DAE=∠D，进而判定BD∥AC．【详解】证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠C，又∵∠C=∠D，∴∠DAE=∠D，∴BD∥AC．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．3、(1)见解析(2)AB=BD+CD，理由见解析【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABE=∠CBE，AE=EC，BE⊥AC，由余角的性质可得结论；（2）由“AAS”可证△ADC≌△BDH，可得DH=DC，即可得结论．【小题1】解：证明：∵AB=BC，BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，AE=EC，BE⊥AC，∴∠BEC=∠ADC=90°，∴∠C+∠DAC=∠C+∠EBC=90°，∴∠EBC=∠DAC，∴∠ABE=∠DAC；【小题2】AB=BD+CD，理由如下：在△ADC和△BDH中，，∴△ADC≌△BDH（AAS），∴DH=DC，∴BD+DH=DB+DC=BC=AB．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形的全等是解题的关键．4、(1)见解析；(2)20°．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ACB＝60°，继而得到，∠BCF的度数，再根据∠EFC＝140°，即可得到∠BCF+∠EFC＝180°，最后根据同旁内角互补，两直线平行解题；（2）由角平分线的性质得到∠BCE=∠ECF=20°，结合，最后根据两直线平行，内错角相等解题．(1)证明：，∠DAC+∠ACB＝180°，∠DAC＝120°∠ACB＝60°，∠ACF＝20°，∠BCF=60°-20°=40°，∠EFC＝140°，∠BCF+∠EFC＝180°，；(2)CE平分∠BCF，∠BCF=40°∠BCE=∠ECF=20°，∠FEC=∠BCE=20°．【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．5、(1)60°(2)AD＝BE(3)变化【解析】【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数；（2）根据全等三角形的对应边相等可得结论；（3）分类讨论当点E在内部和当点E在外部时