重难点解析云南省个旧市中考数学真题分类（勾股定理）汇编专项测试试题（含答案解析版）

云南省个旧市中考数学真题分类（勾股定理）汇编专项测试考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题14分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是（

）A． B．C． D．2、如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（

）A． B． C． D．3、《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（）A．x2+52＝（x+1）2 B．x2+102＝（x+1）2C．x2﹣52＝（x﹣1）2 D．x2﹣102＝（x﹣1）24、如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底墙到左墙角的距离为1.5m，顶端距离地面2m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面0.7m，那么小巷的宽度为（

）A．3.2m B．3.5m C．3.9m D．4m5、下列四组数中，是勾股数的是（）A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，6、在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=（）A．4 B．5 C．6 D．77、下列各组数：①3、4、5

②4、5、6

③2.5、6、6.5

④8、15、17，其中是勾股数的有(

)A．4组 B．3组 C．2组 D．1组第Ⅱ卷（非选择题86分）二、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为．2、《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．则芦苇长_____尺．3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在AB上，AD=AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是________________.4、《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思为：今有墙高1丈，倚木杆于墙，使木之上端与墙平齐，牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上．问木杆是多长？（1丈=10尺）设木杆长为x尺根据题意，可列方程为______．5、如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为________．6、如图，已知中，，，动点M满足，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为_________．7、把两个同样大小含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点在同一直线上．若，则____．8、若△ABC中，cm，cm，高cm，则BC的长为________cm．三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C会受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？2、《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”(注：1步＝5尺)译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长．”3、如图，点是内一点，把绕点顺时针旋转得到，且，，.（1）判断的形状，并说明理由；（2）求的度数.4、如图，，两个工厂位于一段直线形河道的异侧，工厂至河道的距离为，工厂至河道的距离为，经测量河道上、两地间的距离为，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂．(1)设，请用的代数式表示的长______；（结果保留根号）(2)为了使，两厂到污水处理厂的排污管道之和最短，请在图中画出污水厂位置，并求出排污管道最短长度？(3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你求出的最小值为多少？5、在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？6、一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？7、如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处．（1）求小明家离小红家的距离；（2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】由题意根据图形的面积得出的关系，即可证明勾股定理，分别分析即可得出答案【详解】解：A、不能利用图形面积证明勾股定理；B、根据面积得到；C、根据面积得到，整理得；D、根据面积得到，整理得.故选：A.【考点】本题考查勾股定理的证明，熟练掌握利用图形的面积得出的关系，即可证明勾股定理.2、C【解析】【分析】找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可．【详解】解：如图，，，，均可与点和组成直角三角形．，故选：C．【考点】本题考查了概率公式，解题的关键是掌握如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率（A）．3、C【解析】【分析】首先设芦苇长x尺，则水深为（x−1）尺，根据勾股定理可得方程（x−1）2＋52＝x2．【详解】解：设芦苇长x尺，由题意得：（x−1）2＋52＝x2，即x2﹣52＝（x﹣1）2故选：C．【考点】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，从题中抽象出勾股定理这一数学模型．4、C【解析】【分析】如图，在Rt△ACB中，先根据勾股定理求出AB，然后在Rt△A′BD中根据勾股定理求出BD，进而可得答案．【详解】解：如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝1.5米，AC＝2米，∴AB2＝1.52+22＝6.25，∴AB=2.5米，在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝0.7米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+0.72＝6.25，∴BD2＝5.76，∵BD＞0，∴BD＝2.4米，∴CD＝BC+BD＝1.5+2.4＝3.9米．故选：C．【考点】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键．5、A【解析】【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【详解】解：A、52+122＝132，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；B、42+52≠62，不是勾股数，故此选项不合题意；C、22+32≠42，不是勾股数，故此选项不合题意；D、，不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；故选：A．【考点】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数．6、A【解析】【详解】解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，S2+S3=2，S3+S4=3，S1+S2+S3+S4=4，故选A．【考点】勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．7、C【解析】【详解】解：∵32+42=52，①符合勾股数的定义；∵42+52≠62，②不符合勾股数的定义；∵2.5和6.5不是正整数，③不符合勾股数的定义；∵82+152=172，④符合勾股数的定义，是勾股数的有：①④，共2组，故选：C．二、填空题1、7【解析】【分析】根据勾股定理求得BC，再根据折叠性质得到AE=CE，进而由三角形的周长=AB+BC求解即可．【详解】∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC=.∵△ADE是△CDE翻折而成，∴AE=CE，∴AE+BE=BC=4，∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．故答案是：7．【考点】本题考查勾股定理、折叠性质，熟练掌握勾股定理是解答的关键．2、13【解析】【分析】将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知B'C＝5尺，设水深AC＝x尺，则芦苇长（x+1）尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．【详解】解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺，在Rt△CAB′中，AC2+B′C2＝AB′2，即x2+52＝（x+1）2，解得：x＝12，∴x+1＝13，故芦苇长13尺，故答案为：13【考点】本题考查勾股定理，和列方程解决实际问题，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键．3、1.5【解析】【分析】连接DF，由勾股定理求出AB=5，由等腰三角形的性质得出∠CAF=∠DAF，由SAS证明△ADF≌△ACF，得出CF=DF，∠ADF=∠ACF=∠BDF=90°，设CF=DF=x，则BF=4-x，在Rt△BDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】连接DF，如图所示：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理求得AB=5，∵AD=AC=3，AF⊥CD，∴∠CAF=∠DAF，BD=AB-AD=2，在△ADF和△ACF中，∴△ADF≌△ACF（SAS），∴∠ADF=∠ACF=90°，CF=DF，∴∠BDF=90°，设CF=DF=x，则BF=4-x，在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2=BF2，即x2+22=（4-x）2，解得：x=1.5；∴CF=1.5；故答案为1.5．【考点】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，证明△ADF≌△ACF得到CF=DF，在Rt△BDF中利用勾股定理列方程是解决问题的关键．4、102+（x-1）2=x2【解析】【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为x尺，则木杆底端离墙有（x-1）尺，根据勾股定理可列出方程．【详解】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x-1）尺，在Rt△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，∴102+（x-1）2=x2，故答案为：102+（x-1）2=x2．【考点】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．5、2.5m【解析】【详解】设木棒的长为xm，根据勾股定理可得：x2=22+1.52，解得x=2.5．故木棒的长为2.5m．故答案为2.5m．6、##【解析】【分析】证明△AMC≌△BNC，可得，再根据三角形三边关系得出当点N落在线段AB上时，最小，求出最小值即可．【详解】解：∵线段绕点C顺时针旋转得到线段，∴，，∵，，∴，∴△AMC≌△BNC，∴，∵∴的最小值为；故答案为：．【考点】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是证明三角形全等，得出，根据三角形三边关系取得最小值．7、．【解析】【分析】如图，先利用等腰直角三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．【详解】如图，过点作于，在中，，，，两个同样大小的含角的三角尺，，在中，根据勾股定理得，，，故答案为．【考点】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．8、28或8##8或28【解析】【分析】高的位置不确定，应分情况进行讨论：（1）高在内部；（2）高在外部，依此即可求解．【详解】解：如图（1）cm，cm，，则，，则；如图（2），由（1）得，，则．则的长为或．故答案为或．【考点】此题考查了勾股定理，本题需注意高的位置不确定，应根据三角形的形状分两种情况讨论．三、解答题1、（1）会，理由见解析；（2）7h【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，从而判断出海港C是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【详解】解：（1）如图所示，过点C作CD⊥AB于D点，∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴，∴△ABC为直角三角形，∴，∴，∴，∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C会受到台风影响；（2）由（1）得CD=240km，如图所示，当EC=FC=250km时，即台风经过EF段时，正好影响到海港C，此时△ECF为等腰三角形，∵，∴EF=140km，∵台风的速度为20km/h，∴140÷20=7h，∴台风影响该海港持续的时间有7h．【考点】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．2、尺【解析】【分析】设秋千的绳索长为x尺，根据题意可得AB=（x-4）尺，利用勾股定理可得x2=102+（x-4）2，解之即可．【详解】解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为：x2=102+（x-4）2，解得：x=，∴秋千的绳索长为尺．【考点】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AB、AC的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．3、（1）是直角三角形，理由见解析；（2）150°.【解析】【分析】（1）求出DE，CE，CD长，根据勾股逆定理可知的形状；（2）由等边三角形角的性质和全等三角形角的性质可知的度数【详解】解：（1）是直角三角形理由如下：绕点顺时针旋转得到，，，，是等边三角形，，又，，是直角三角形.（2）由（1）得，，是等边三角形，，，.【考点】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的证明和性质、等边三角形的性质和判定、勾股逆定理，熟练应用等边三角形的性质求线段长及角度是解题的关键.4、(1)+；(2)污水厂位置见解析，排污管道最短长度为10km；(3)13【解析】【分析】（1）依据ED＝x，AC⊥CD、BD⊥CD，故根据勾股定理可用x表示出AE＋BE的长；（2）根据两点之间线段最短可知连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．过点B作BF⊥AC于F，构造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的长；（3）根据AE＋BE＝＋＝AB＝10，可猜想所求代数式的值为13．(1)解：在Rt△ACE和Rt△BDE中，根据勾股定理可得AE＝，BE＝，∴AE+BE＝+；(2)解：根据两点之间线段最短可知，连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置，如图：过点B作BF⊥AC于F，则有BF＝CD＝8，BD＝CF＝1，∴AF＝AC＋CF＝6，在Rt△ABF中，BA＝＝＝10，∴排污管道最短长度10km；(3)解：根据以上推理，可作出下图：设ED＝x，AC＝3，DB＝2，CD＝12．当A、E、B共线时求出AB的值即为原式最小值．当A、E、B共线时，＝＝13，即其最小值为13．故答案为：13．【考点】本题考查了最短路线问题，综合利用了勾股定理，及用数形结合的方法求代数式的值的方法，利用两点之间线段最短是解决问题的关键．5、第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．【解析】【分析】根据题意求出OA、OB，根据勾股定理的逆定理求出∠AOB＝90°，即可得出答案．【详解】解：根据题意得：OA＝16海里/时×1.5小时＝24海里；OB＝12海里/时×1.5小时＝18海里，∵OB2＋OA2＝242＋182＝900，AB2＝302＝900，∴OB2＋OA2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∵艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，∴∠BOD＝50°，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．【考点】本题考查了方向角，勾股定理的逆定理的应用，能熟记定理的内容是解此题的关键，注意：如果三角形两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．6、（