上海市复旦大学附中2026届高三数学一轮复习单元训练：圆锥曲线与方程

第页复旦大学附中2026届高三数学一轮复习单元训练：圆锥曲线与方程本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是()A．2<k<5 B．k>5 C．k<2或k>5 D．以上答案均不对【答案】C2．若圆上每个点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是()A． B． C． D．【答案】C3．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数的值是()A． B． C． D．【答案】A4．在椭圆中，F，A，B分别为其左焦点，右顶点，上顶点，O为坐标原点，M为线段OB的中点，若FMA为直角三角形，则该椭圆的离心率为()A． B． C． D．【答案】A5．已知椭圆和双曲线＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()A．x＝± B．y＝± C．x＝± D．y＝±【答案】D6．椭圆的离心率是()A． B． C． D．【答案】A7．已知直线交抛物线于、两点，则△()A为直角三角形B为锐角三角形C为钝角三角形D前三种形状都有可能【答案】A8．设双曲线交双曲线的两渐近线于点A、B，且，则双曲线的离心率为()A． B． C． D．【答案】B9．双曲线的右焦点是抛物线的焦点，两曲线的一个公共点为P，且|PF|=5，则该双曲线的离心率为()A． B． C．2 D．【答案】C10．已知直线y＝kx－2(k＞0)与抛物线C：x2＝8y相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝4|FB|，则k＝()A．3 B．eq\f(5,4) C．eq\f(3,4) D．eq\f(3eq\r(2),2)【答案】B11．若直线过点与双曲线只有一个公共点，则这样的直线有()A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C12．若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为()A． B． C． D．【答案】D第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知椭圆的焦点为F1、F2，直线CD过焦点F1，则∆F2CD的周长为_______【答案】2014．已知、是椭圆和双曲线的公共顶点。是双曲线上的动点,是椭圆上的动点（、都异于、），且满足，其中，设直线、、、的斜率分别记为、、、,,则________.【答案】-515．若点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：(x－2)2＋y2＝1上，点O为坐标原点，则的最大值是．【答案】16．已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为.【答案】三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．过点C(0，1)的椭圆的离心率为，椭圆与x轴交于两点、，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．(I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；(Ⅱ）当点P异于点B时，求证：为定值．【答案】（Ⅰ）由已知得，解得，所以椭圆方程为．椭圆的右焦点为，此时直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，代入直线的方程得，所以，故．(Ⅱ）当直线与轴垂直时与题意不符．设直线的方程为．代入椭圆方程得．解得，代入直线的方程得，所以D点的坐标为．又直线AC的方程为，又直线BD的方程为，联立得因此，又．所以．故为定值．18．已知双曲线C：的离心率为，且过点P（，1）求出此双曲线C的方程；【答案】19．已知椭圆的中心在原点，焦点为F1，F2（0，），且离心率。(I）求椭圆的方程；(II）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为，求直线l的斜率的取值范围。【答案】（I）设椭圆方程为解得a=3，所以b=1，故所求方程为解得又直线l与坐标轴不平行故直线l斜率的取值范围是{k∣}20．在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点.(1）求实数的取值范围；(2）设椭圆与轴正半轴，轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量共线？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.【答案】(2）设则由方程①，知，②又，③由得.∴共线等价于将②③代入，解得由①知故不存在符合题意的常数．21．若直线l：与抛物线交于A、B两点，O点是坐标原点。(1)当m=－1,c=－2时，求证：OA⊥OB；(2)若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标。(3)当OA⊥OB时，试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论。【答案】设A(x1,y1)、B(x2,y2)，由得可知y1+y2=－2my1y2=2c∴x1+x2=2m2—2cx1x2=c2(1) 当m=－1,c=－2时，x1x2+y1y2=0所以OA⊥OB.(2) 当OA⊥OB时，x1x2+y1y2=0于是c2+2c=0∴c=－2(c=0不合题意),此时，直线l：过定点(2,0).(3) 由题意AB的中点D(就是△OAB外接圆圆心)到原点的距离就是外接圆的半径。而(m2—c+)2－[(m2—c)2+m2]=由(2)知c=－2∴圆心到准线的距离大于半径,故△OAB的外接圆与抛物线的准线相离。22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，焦点为F（1，0）．过抛物线在轴上方的不同两点、作抛物线的切线、，与轴分别交于、两点，且与交于点，直线与直线交于点．(1）求抛物线的标准方程；(2）求证：轴；(3）若直线与轴的交点恰为F（1，0），求证：直线过定点．【答案】（1）设抛物线的标准方程为，由题意，得，即．所以抛物线的标准方